洛伦兹-闵可夫斯基平面中一个欧拉问题的推广

《Expositiones Mathematicae》：Extension of a problem of Euler in Lorentz-Minkowski plane

　　

摘要
在本文中，我们研究洛伦兹 - 闵可夫斯基空间 $L^2$ 中关于原点的惯性矩的临界曲线。这扩展了欧拉在洛伦兹设定中提出的问题。我们获得了 $L^2$ 中驻曲线的显式解，区分了曲线是类空还是类时的。我们还给出一种方法，通过对称性和关于光锥的反演，将驻类空曲线转化为驻类时曲线，反之亦然。最后，我们解决了在所有连接两个与原点共线的给定点的类空曲线中最大化能量的问题。

章节片段
问题的引入
1744 年，欧拉提出了研究欧氏平面中的曲线 $\gamma$，使其能量 $E_\alpha[\gamma]=\int_\gamma|\gamma(s)|^\alpha ds$ 最小化或最大化，其中 $\alpha \in \mathbb{R}$ 是参数，$s$ 是弧长参数 [2]。当 $\alpha=0$ 时，能量 $E_0[\gamma]$ 是 $\gamma$ 的长度。对于 $\alpha=2$，能量 $E_2[\gamma]$ 是 $\gamma$ 关于 $\mathbb{R}^2$ 原点的惯性矩。假设 $\gamma$ 不包含原点，$E_\alpha$ 的临界点由曲线的曲率 $\kappa$ 刻画，即 $\kappa=\frac{\alpha\langle N,\gamma\rangle}{|\gamma|^2}$，其中 $N$ 为单位法向量。

欧拉 - 拉格朗日方程与例子
在本节中，我们首先推导能量 (1) 的欧拉 - 拉格朗日方程，接着展示驻曲线的例子，最后应用切点原理来估计远离光锥的 $\alpha$-驻类空曲线的 $\alpha$ 值。欧拉 - 拉格朗日方程源自变分法中的标准论证。设 $\gamma:I \to L^2$ 为一条类空曲线。局部地，它可以重新参数化为 $(x,y(x))$，其中 $x \in [a,b]$，我们将一直假设如此。

驻曲线之间的两个关系
命题 2.3 提供了关于驻（类空和类时）圆的类似陈述。这可以从一个更一般的角度获得，如下所示。定义映射 $\Phi:L^2 \to L^2, \Phi(x,y)=(y,x)$。该映射是一个对合映射，即 $\Phi^2=1_{L^2}$。显然，$\Phi$ 将类空（类时）向量映射为类时（类空）向量。此外，$\langle \Phi(p),\Phi(p)\rangle=-\langle p,p\rangle$。因此，$\Phi$ 将包含在 $C^+$（分别为 $C^-$）中的类空曲线映射为包含在 $C^-$（分别为 $C^+$）中的类时曲线。反向过程也成立。

驻曲线的参数化
在本节中，我们获得 $L^2$ 中驻（类空和类时）曲线的显式参数化。我们从获得所有包含在 $C^-$ 中的驻类空曲线开始：见图 2。
定理 4.1 在线性等距变换和 $L^2$ 的伸缩变换下，包含在 $C^-$ 中的 $\alpha$-驻类空曲线由 $\gamma(s)=\rho(s)(\sinh(s),\cosh(s))$ 参数化，其中 $\rho(s)=\begin{cases} \text{sech}((1+\alpha)s)^{\frac{1}{1+\alpha}}, & \alpha \neq -1 \\ e^{cs}, & \alpha = -1, 0 < c < 1 \end{cases}$。
此外，
(1) 如果 $\alpha<-1$，则 $\gamma$ 的两个分支渐近于光锥 $C$ 的垂直平移。
(2) 如果 $\alpha=-1$，（原文截断）

最大化能量的问题
我们回到欧拉在 $L^2$ 中的初始问题：给定两个点 $P_1, P_2 \in L^2$，找到一条最大化能量 $E_\alpha$ 的类空曲线 $\gamma$。通常，第一种方法是找到连接这两点的能量临界点，它们是 $E_\alpha$ 的潜在最大化点。在 $\mathbb{R}^2$ 中，寻找 $E_\alpha$ 最小化的问题对于 $\alpha=2$ 的值已由 Mason 解决 [6]，并且最近对于所有 $\alpha$ 值的通用方法在 [4] 中获得。在这些结果中，如同极值场之类的技术，在某种意义上（原文截断）

CRediT 作者贡献声明
Muhittin Evren Aydin：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原始草稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，研究，经费获取，形式分析，数据整理，概念化。
Rafael López：写作 - 审阅与编辑，写作 - 原始草稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，研究，经费获取，形式分析，数据整理，（原文截断）

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
作者非常感谢匿名审稿人，他们细致入微的审稿和建设性的建议帮助纠正了多处不准确之处，并极大地改进了稿件的最终版本。Rafael López 部分支持来自 MINECO/ MICINN/FEDER 赠款号 PID2023-150727NB-I00，以及"María de Maeztu"卓越单位 IMAG，参考号 CEX2020-001105- M，由 MCINN/AEI/ 10.13039/501100011033/ CEX2020-001105-M 资助。

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