《International Journal of Heat and Mass Transfer》：GPU-accelerated solution to the transient phonon Boltzmann Transport Equation (BTE) with application to finFETs
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自热效应会通过加速老化和电路延迟来恶化晶体管的性能，并因静电放电事件敏感性的增加而对可靠性产生不利影响。自热通常会随着晶体管尺寸的缩小而恶化，这源于峰值电场总体上的增大，但从平面晶体管几何结构向诸如鳍式场效应晶体管（finFET）和环栅场效应晶体管等三维几何结
自热效应会通过加速老化和电路延迟来恶化晶体管的性能，并因静电放电事件敏感性的增加而对可靠性产生不利影响。自热通常会随着晶体管尺寸的缩小而恶化，这源于峰值电场总体上的增大，但从平面晶体管几何结构向诸如鳍式场效应晶体管（finFET）和环栅场效应晶体管等三维几何结构的转变，会通过增加器件内部热阻而进一步加剧这一效应。在这些受限几何结构中，晶体管体内的热输运主要呈弹道特性，由载流子发射的热声子仅在围绕晶体管体的界面处（无论是栅氧化层界面还是源漏接触界面）发生热化。在仅有几纳米的极小长度尺度以及声子尚未热化的非平衡条件下，估算温升在理论和建模层面均构成挑战。其次，除了稳态温升之外，瞬态热行为也直觉上更为复杂。尽管晶体管的热质量变得极小，弹道输运的主导地位意味着将热时间常数估算为电阻-电容（R-C）乘积已不再合理。因此，在此类晶体管尺寸下，分立晶体管热时间常数的估算仍是一个未解决的问题。
工业技术计算机辅助设计（TCAD）仿真采用多尺度模型分析芯片中的热输运，其中声子玻尔兹曼输运方程（BTE）在近似条件下求解，但物理细节随后被抽象化，并替换为分立器件的有效热导率。弹道效应导致体内局部温度分布远高于热扩散预测结果的现象早已被认识到。近期对finFET的计算表明，采用声子BTE预测的最大温升高达约100开尔文（K），而热扩散估算值仅为约10 K。即使辅以有效热导率，傅里叶定律仍依赖于热流密度与局部温度梯度之间的线性关系，而这种线性关系在温度于远短于声子平均自由程的距离上发生显著变化时已被证明是 erroneous 的。因此，声子BTE对于预测缩放后finFET的热行为是必要的。与此同时，从完全时间分辨的角度，在与现代器件工作相关的时间尺度上考察finFET自热的研究相对较少。随着finFET尺寸缩小至10纳米以下且开关频率增加，热响应日益由亚纳秒至皮秒时间尺度的非平衡声子动力学所主导，这强烈影响早期热点形成和温度演化。
尽管对皮秒分辨、非平衡、谱分辨输运建模存在明确需求，完整的三维瞬态声子BTE求解器在计算成本和内存需求方面仍然高昂。例如，要求解7纳米技术节点的声子输运，采用传统的基于Krylov子空间的离散纵标法（DOM）或有限角法（FAM）求解声子BTE估计需要超过50 GB的内存，若考虑finFET的多指结构，内存需求将进一步增加。因此，有必要开发面向先进finFET相关几何结构的瞬态BTE高效求解策略，尤其是易于在GPU上并行化的方法。
虽然数值求解器的GPU加速传统上依赖于计算统一设备架构（CUDA）等底层编程模型，但近期计算流体流动与传热领域的研究日益采用基于指令的OpenACC等方法。OpenACC通过编译器指令实现对现有科学代码的增量并行化，从而与CUDA相比显著降低了开发工作和编程复杂性。同时，它能在现代加速硬件上提供具有竞争力的性能，并保持跨异构计算平台（包括多核CPU和GPU）的可移植性。这些特性使得OpenACC对于大规模瞬态声子BTE仿真尤其具有吸引力，因为计算效率、代码可维护性和可移植性都是重要考量。据研究人员所知，基于OpenACC的BTE求解器加速仅在Perturbo框架中针对电子输运和非平衡电子-声子动力学有近期报道。相比之下，针对晶格热输运的OpenACC声子BTE求解器实现尚未见文献报道。
基于上述考量，本研究开发了一种基于DOM的可扩展显式瞬态声子BTE求解器，并使用OpenACC在GPU上加速。显式公式特别具有吸引力，因为它局域地更新分布函数随时间的变化，避免了与许多隐式和基于Krylov子空间方法相关的全局线性求解和大型辅助向量存储需求，并天然地在空间单元、声子模式和角度方向之间暴露出高度并行性。这些特性使其计算结构能够高效映射到现代GPU架构上。基于研究人员在GPU加速数值方法方面的既有经验，所提出的框架证明，对实际finFET几何结构的大规模瞬态声子BTE仿真可以在单个GPU上高效执行。具体而言，该求解器能够在48 GB GPU内存内处理涉及约31亿未知数的finFET自热仿真，实现具有亚皮秒时间分辨率的瞬态热输运详细表征。
本文结构安排如下。第2节简要概述求解声子BTE的前沿方法，随后描述本工作所采用的基于显式DOM的瞬态BTE求解器的数值算法。第3节将该求解器应用于硅纳米线和8纳米宽finFET中的瞬态热传导问题。最后，第4节给出结论，并讨论时间相关声子输运对纳米器件热管理的影响。本工作是一系列研究中的第一篇，旨在开发用于先进半导体技术节点中亚连续热输运建模的GPU加速实用计算框架。
**GPU加速瞬态声子玻尔兹曼输运方程求解与纳米尺度晶体管热管理**
**一、研究背景与问题提出**
随着晶体管特征尺寸不断缩小，自热效应（self-heating）对器件性能和可靠性的影响日益显著。自热通过加速老化和增加电路延迟来恶化晶体管性能，并通过增加对静电放电事件的敏感性而影响可靠性。从平面晶体管几何结构向三维结构（如鳍式场效应晶体管，finFET）的转变，进一步增加了器件内部热阻，使得热管理问题更加突出。在finFET等受限几何结构中，晶体管体内的热输运主要由弹道输运主导，载流子发射的热声子仅在栅氧化层或源漏接触等界面处才发生热化。在这种仅几纳米的长度尺度下，声子处于非平衡状态，传统的傅里叶扩散模型不再适用。
工业技术计算机辅助设计（TCAD）仿真通常采用多尺度模型，通过近似求解声子玻尔兹曼输运方程（BTE）并抽象为有效热导率来分析芯片热输运。然而，研究表明弹道效应导致的局部温度分布远高于热扩散预测，例如在finFET中，基于声子BTE预测的最大温升可达约100 K，而热扩散估算仅为约10 K。此外，现有的大多数研究仅关注稳态温升，而随着finFET尺寸缩小至10 nm以下、开关频率不断增加，热响应日益由亚纳秒至皮秒时间尺度的非平衡声子动力学主导。因此，对皮秒分辨、非平衡、谱分辨的瞬态输运建模存在明确需求。
然而，完整的三维瞬态声子BTE求解器在计算成本和内存需求方面面临巨大挑战。使用传统的基于Krylov子空间的离散纵标法（DOM）或有限角法（FAM）求解7 nm技术节点的声子输运，估计需要超过50 GB内存，若考虑多指结构则需求更高。虽然图形处理器（GPU）加速已被广泛用于数值求解器，但传统上依赖计算统一设备架构（CUDA）等底层编程模型，开发复杂且可移植性差。基于指令的OpenACC方法能够通过编译器指令实现现有科学代码的增量并行化，降低开发成本并保持跨平台可移植性，但此前尚未有将其应用于声子BTE求解器的报道。因此，本研究旨在开发一种基于OpenACC的GPU加速显式瞬态声子BTE求解器，以满足先进finFET器件大规模瞬态热输运仿真的需求。
**二、研究内容与主要结论**
研究人员开发了一种基于DOM的可扩展显式瞬态声子BTE求解器，并采用OpenACC在GPU上实现加速。该显式公式通过局域更新分布函数，避免了隐式方法所需的全局线性求解和大型辅助向量存储，天然具备跨空间单元、声子模式和角度方向的高度并行性。该求解器能够处理涉及约31亿未知数的finFET自热仿真，在单个48 GB GPU上实现亚皮秒时间分辨率的瞬态热输运表征。
研究结果表明，在8 nm宽finFET中，热点温度在稳态时达到约364 K，较初始温度上升约65 K。瞬态热响应中，源、栅、漏三个区域在加热阶段的温度时间常数均约为50 ps，而在冷却阶段分别约为120 ps、55 ps和50 ps。边界条件敏感性研究表明，峰值温度主要受顶部热化边界温度的影响，而热弛豫时间则对顶部表面采用热化还是反射边界条件高度敏感。此外，该求解器在GPU上展现出近线性扩展性，相比CPU执行实现了约37倍至62倍的加速，证明了显式GPU导向公式为大规模瞬态声子BTE仿真提供了实用且内存高效的方法。
**三、关键技术与方法**
本研究采用了以下主要关键技术方法。求解器基于离散纵标法（DOM）对声子BTE进行角度离散，采用有限差分法进行空间离散和显式欧拉法进行时间积分。声子色散和声子寿命等输入参数通过基于密度泛函理论（DFT）的第一性原理计算获得，使用Quantum ESPRESSO软件计算硅在300 K下的声子色散，并通过D3Q计算声子线宽。求解器采用OpenACC指令进行GPU并行化，编译时使用nvc编译器，并在单块NVIDIA RTX A6000 GPU上执行仿真。
**四、研究结果详解**
**1. 硅薄膜与纳米线的稳态热传导验证**
研究人员首先计算了不同厚度（10 nm至10 μm）硅薄膜的跨平面热导率，并与已有研究结果进行对比。结果表明，仅考虑声学声子模式的预测与已有研究吻合良好；当包含光学声子时，亚微米厚度下的有效热导率显著增强，在10 nm厚度时提高达31%。纳米线热导率预测与实验数据吻合良好，验证了求解器的准确性。
**2. 一维瞬态热光栅基准验证**
通过模拟一维瞬态热光栅（TTG）问题，研究人员在从扩散到弹道的广范围克努森数（Knudsen number）下验证了求解器的准确性。网格和时间步长敏感性研究表明，数值误差主要由空间离散控制，时间步长对误差的影响较小，验证了当前一阶格式在所关注参数范围内的充分性。
**3. 硅纳米线瞬态热传导**
在10 μm长、10 nm×10 nm截面的硅纳米线瞬态热传导模拟中，研究人员发现声子BTE解与热扩散方程解在瞬态热流密度上存在交叉现象。在靠近热边界处，BTE预测的热流低于热扩散方程预测值，但在特定距离之后，BTE热流反超。该交叉行为此前未见文献报道，揭示了瞬态纳米尺度热输运的复杂性。
**4. 稳态finFET热传导**
对18 nm栅长、8 nm宽finFET的稳态模拟显示，在5 μW峰值功耗下，峰值温升约65 K。变分网格研究确认2 nm×4 nm×2 nm网格间距足以获得收敛结果，128个离散方向能满足热流精度要求。变鳍宽研究表明，8 nm宽鳍的稳态热阻最大，边界散射显著约束了弹道热输运。
**5. 瞬态finFET热传导**
在瞬态模拟中，热点在皮秒时间尺度内快速形成，峰值温度在稳态时约364 K。热源开启后，源、栅、漏区域在约250 ps内达到稳态，温度响应近似指数形式。温度时间常数在加热阶段均约为50 ps，冷却阶段源区120 ps、漏区55 ps、栅区50 ps。源区较长时间常数归因于其处于弹道输运距离内，持续接收来自栅漏区域的弹道声子。
**6. 顶部边界条件敏感性分析**
边界条件研究表明，顶部热化边界温度直接影响峰值温度（350 K边界对应364 K峰值，325 K边界对应343 K峰值），而反射边界条件下峰值温度均约为338 K。相反，热化与反射边界对时间常数影响显著：反射边界下源、栅、漏区域时间常数增至约258 ps、150 ps、158 ps，而热化边界下约50-120 ps。这表明瞬态响应主要受边界是否热化而非具体的反射模型影响。
**7. 性能分析**
在约4.1亿至30.7亿求解点规模下，GPU相比CPU实现加速约37-62倍，且GPU扩展性呈近线性，每时间步计算成本从粗网格的约0.32 s（或优化后0.14 s）增加到细网格的约2.21 s（或优化后0.99 s），展示了求解器在大规模仿真中的高效性能。
**五、讨论与结论**
讨论部分指出，传统的傅里叶扩散模型无法捕捉纳米尺度受限几何结构中的瞬态弹道输运行为。声子BTE与热扩散方程在瞬态热流上存在交叉点，这种复杂行为强调了在器件尺寸缩小和开关频率增加的背景下，时间分辨的非平衡声子输运建模的重要性。热时间常数不应被简单视为电阻-电容（R-C）乘积，而是声子浴在硅体内冷却的特征时间。
研究结论总结如下：本研究开发了基于GPU加速的DOM显式瞬态声子BTE求解器，结合第一性原理声子特性和OpenACC并行化，为大规模瞬态声子输运仿真提供了可扩展且内存高效的框架。求解器在硅薄膜、纳米线和瞬态热光栅基准问题中均获得验证。应用于8 nm宽finFET的模拟揭示了区域相关的热时间常数（加热约50 ps，冷却约50-120 ps），并表明瞬态自热行为无法仅通过稳态热阻来表征，需要时间分辨的非平衡输运分析。从计算角度，GPU实现展示了近线性扩展性，支持在单块48 GB GPU上模拟约31亿未知数，为实际半导体器件的瞬态声子BTE仿真提供了可行途径。未来工作将扩展到多GPU架构、各向异性声子输运、更真实的电子-声子热生成机制以及耦合BTE-热扩散公式，以进一步提高器件级热仿真的预测能力。
