近场平面天线用于微波激发顺磁量子发射体

《Physical Review Applied》：Near-field planar antenna for microwave excitation of paramagnetic quantum emitters

　　

提出了一种微波平面天线概念，用于激发介电顺磁介质。电极的形状和尺寸经设计可产生平行于单层或多层介电体表面的均匀磁场，且具有特定的谐振频率和带宽。一个或两个电极可为半反射的，以实现对顺磁介质的光学可及性，并可能通过将量子发射体的光发射定向汇聚来增强收集效率。由于微波激发的宽带宽以及光学激发和探测的有利条件，该器件在光探测磁共振中尤为有用。鉴于金刚石中氮-空位中心等发射体具有的顺磁量子特性，特别为其设计了矢量磁测和微波光谱分析方面的应用。

**I. 引言**

微波激发原子、分子或固体缺陷中的量子跃迁在多种应用中十分有用，例如量子比特操控、超精细跃迁光谱学以及光探测磁共振（ODMR）。后者在材料科学以及多种物理参数的微传感和纳米传感中均有用，主要用于矢量磁测[1–2]和射频的检测或光谱分析[3–4]。ODMR利用微波（MW）辐射在受外部磁场作用的顺磁系统上诱导的跃迁。在微波激发顺磁系统时，关键问题包括实现均匀且足够强的微波磁场、优化带宽以及管理功耗与散热，同时保持光学可及性。例如在磁测中，均匀的场分布对于灵敏度至关重要，而灵敏度取决于活性色心的数量。在微波光谱中，外部场梯度必须覆盖一个大区域，在该区域上均匀且强烈的激发磁场可保证宽的光谱带宽。在这些应用中，微波磁场需取得平衡：足够强以保证良好的对比度，又不至于引起功率展宽。另一个关键问题是紧凑性，这对于实现光学集成和器件小型化意义重大。

已采用多种几何结构来设计天线以解决上述问题。例如，直微丝[5]可产生相当强的微波磁场（在1 W功率下最大约……，……阻抗，直径为……的丝），但其均匀性很差。……形丝[6,7]提高了均匀性（在直径为……的线圈中……宽的中心区域……），但以牺牲强度为代价（在1 W功率下线圈中心约8 G，……阻抗）。更复杂的架构利用了平面或共面结构的谐振，该结构既可在印刷电路板上制造（样品固定于其上）[8–12]，也可通过适当的金属层沉积直接在样品上实现[13–15]。在此情形下，天线的品质因数将带通限制在小于GHz的范围，从而限制了微波测量的范围，但可在更大的体积内获得更高、更均匀的磁场（量级为……）。

一般而言，平面方案提高了场均匀性，但以有限的带宽为代价；而基于导线的方案提供了更宽的带宽，但场均匀性有所下降。

本文描述的器件旨在同时匹配宽带宽、场强度和均匀性，并始终保持完全的光学可及性。这通过一种平面架构实现，由两片薄的平行金属电极构成，其电流产生近似均匀的磁场，以谐振频率和带宽振荡，后者可通过对电极的形状、尺寸和厚度进行适当设计加以调谐。顺磁介质（如掺杂有顺磁中心的介电体）像垫片一样置于两电极之间。金属薄膜电极的半透明性，加上其当纳入类似法布里-珀罗的几何结构时可能表现出的光束特性[16]，使得天线电极之间的介电层具有完全的光学可及性。具体而言，我们在此报告了在100 MHz至100 GHz频率范围内至少跨越2个数量级的频段中，于相对于微波波长很薄的层内（例如宽0.1–4 mm、厚……）产生近似均匀、强度为1–10 G的微波磁场的解决方案，从而使整个处于磁场中的体积均可被光学观测。

平面天线概念分两步完成设计。首先，基于电报员方程对一个具有锥形剖面的开路一维（1D）模型进行了应用。锥形线通常用于匹配具有不同阻抗特性的线[17–20]。此处我们更关注锥形如何对作为近场天线的开路的阻抗、带通及磁场剖面进行建模。我们首先开发了单个指数型开路锥形的解析理论。随后，通过连续排列一系列指数锥形剖面，得到了解析解，并计算出天线阻抗以及沿线作为一维位置函数的磁场分布作为频率的函数。最后，利用comsol multiphysics?对天线行为进行了更为严格的完整三维仿真，并将其在带通和磁场分布方面的表现与解析模型进行了比较。

**II. 天线设计**

原则上，一段适当长度的开路矩形平面波导，在一端馈电后可在任意频率下谐振，并在中心区域产生横向近似均匀的磁场。然而，金刚石中氮-空位（NV）中心ODMR通常涉及的频率（约3 GHz）需要约2 cm的长度，这在实践中相当不可行：商用金刚石单晶的尺寸不超过几毫米。毫米尺寸波导在吉赫兹频段附近的谐振需要一个类似LRC电路的结构，其方案如图1所示：第一部分截面较小……，主要充当单位长度电感为……的电感（……为介电层厚度）；第二部分为具有电阻特性的矩形部分，在电极之间产生近似均匀的磁场，单位长度电阻为……（……为电阻率，……分别为接地电极和相位电极的厚度）；第三部分为具有电容作用的大面积部分，单位长度电容为……（……和……具有通常的含义）。

FIG. 1. 近场平面天线方案：1. 接地电极；2. 介电层（含顺磁中心）；3.1. 波导的电感部分；3.2. 产生近似均匀磁场的电阻部分；3.3. 电容部分。……为波导宽度，取决于沿波导的位置；……为电极间距。

当然，三个部分各自均具有电感、电阻和电容特性，在计算波导沿线各点电流作为频率的函数时均需适当考虑。不过，可基于集总常数进行粗略计算，其结果再通过更严格的仿真加以修正和完善。例如，假设电感、电阻和电容部分的长度分别为0.4–0.5 mm和0.75 mm；宽度……分别为0.01、0.4和1.7 mm；金电极厚度分别为15和100 nm；金刚石厚度为……，则在约3 GHz的谐振频率处可得实阻抗约……（阻抗计算时也计入了电感部分的电阻率），3 dB带宽高达30 GHz。在谐振时，200 mA的交流电流（耗散功率1 W）在中心部分产生最大约6.3 G的磁场。由此，我们得到了一个长度不到2 mm的谐振结构（而非矩形波导的20 mm），且带通宽得多。

天线参数的更严格计算分两步进行：
A）采用线性波导近似，解析求解一系列指数锥形段的方程。例如，对于图1所示结构，起始部分为近似恒定截面的电感段，随后为快速增大以匹配下一级电阻段的过渡段，该电阻段的指数剖面略呈递减趋势以补偿电流的递减从而产生均匀的磁感应强度，之后为指数增大宽度、主要起电容作用的段。
B）在第一步中按期望的阻抗、谐振频率和带通完成天线设计后，再进行完整的三维comsol multiphysics?仿真以进一步完善结果。步骤A因其半解析性质，在寻找系统正确工作点方面速度更快；但步骤B是必要的，因为当……的增长率趋近于1时，电流在波导截面上不再均匀，一维模型将失效。

**III. 步骤A：波导的一维模型**

沿……方向的锥形有损线的电报员方程为

(1)

式中，……为电磁辐射在介电介质中的速度，……为扩散常数，……为一个长度尺度，主要取决于……相对于坐标……的增长率。若……在某一区间内为常数，则……对……呈指数依赖关系：

(2)

此时方程(1)可在频域中解析求解为两列反向传播的阻尼行波之和：

(3)

其中……和……分别为

(4)

由方程(2)所定义的单个指数剖面构成的天线，其行为完全由边界条件……和……（开路）确定。沿线方向、垂直于……轴的磁场为……，天线阻抗为……，因为电位……沿线按……变化。例如，长度为……、长度尺度为……、初始宽度为……的单个指数锥形天线的阻抗形式为……，其中

(5)

(6)

以及

(7)

由方程(5)–(7)可为在给定的几何与物理约束下运行的器件确定参数。图2绘出了在不同等效电极厚度下，阻抗在2.87 GHz时为纯实数的天线长度随长度尺度……变化的曲线。

FIG. 2. 对于不同的金电极等效厚度，显示在2.87 GHz谐振的指数锥形天线长度与长度尺度……的关系。

在图3中，对于相同的等效厚度值，给出了满足条件……的初始宽度……的最大值，对应于在2.87 GHz谐振的天线。在图4中，对于由图2和图3给出的……和……各值，将器件阻抗对尺度……作图。

FIG. 3. 对于不同的金电极等效厚度，显示在2.87 GHz谐振且满足……条件的指数锥形天线最大初始宽度……与长度尺度……的关系。

FIG. 4. 对于每个长度尺度……的值，计算给出实阻抗的长度……，以及给出……的天线……的值和对应的电阻……值。图中绘出了多个金电极等效厚度……的值。

图5显示了具有24 nm金厚度、在2.87 GHz处具有……实阻抗的单个指数锥形天线在膜的中截面上产生的磁场分布图。磁场沿天线剖面的不均匀性显而易见，这意味着该器件仅在磁场梯度不构成不利影响时才适用于ODMR。要在相对较大的区域（通常在磁场测量中）获得均匀磁场，锥形必须包含一个宽度近似均匀的区段。

FIG. 5. 沿一个设计为在2.87 GHz处具有……阻抗、耗散1 W电功率、金电极等效厚度为24 nm的天线分布的磁场强度图。剖面初始宽度为……。

设锥形线的剖面在互不相交区间的连续并集的每个元素上均按方程(2)定义（图6给出了包含四个区间的一个相关示例）。

因此，根据公式（3），电流在每个区间内以不同的表达式表达，其中每个区间具有不同的参数值。电流的值必须满足相邻区间之间的边界条件，即电流和电位连续，同时满足特定条件（开路边界）。虽然无法像公式（5）至（7）那样以简洁闭合的形式获得，但可以解析地求得场和阻抗的表达式，并且能够设计具有指定谐振频率、阻抗和产生磁场特性的天线几何结构。

图6描述了天线轮廓的函数的一半（另一半关于轴线对称）。一维模拟考虑的是曲线ABCDEFGH；三维Comsol Multiphysics?模拟考虑的是轮廓ABCDEGI，以便适配直径为2毫米的圆形金刚石膜的形状（参见虚线）。这两种轮廓在终端部分差异较大，其固定方式使得面积EFG与面积GIH等效，从而使终端部分的电容在名义上相同。描述该曲线的参数列于表I中。

IV. 第二步：三维Comsol模拟

电报员方程（公式1）的适用性要求波导的横向截面上的电流密度恒定。如果轮廓截面积的增长速率沿波导全长远小于1，则这一近似是合理的，即对于由公式（2）描述的单斜率波导，该条件成立。若不满足此条件，电流的场线将趋于与轴线形成较大夹角，此时必须采用更严格的完整三维计算。在本研究中，我们使用Comsol Multiphysics?软件对电极之间及周围空间中的电场和磁场进行了计算。我们模拟了电极之间的金刚石膜，将其作为绝缘层，其介电常数与频率无关，周围为真空，并通过二维过渡边界条件来建模沉积在膜上的金电极，指定其电导率，且厚度等于电极的物理厚度（考虑到在感兴趣频率下金的趋肤深度远大于物理厚度）。

相位电极的形状由公式（2）所描述的连续轮廓序列组成，但使用了"连续一阶导数"选项以减缓角点处的收敛问题。对于接地电极，模拟了两种方案：第一种是与相位电极形状相同并与其相对的电极；第二种是无限延伸的导电层。第一种方案由于需要在膜两侧进行微米级的掩膜对齐，在构造上更为复杂。另一方面，由于第二种方案的磁场约束效果较差，尤其是在低频下，两种方案的场均匀性和低频响应会显著不同。馈电通过一个小圆柱体（直径如所述）穿过金刚石层体积来实现，在该圆柱体中强制通过固定幅度和频率的交流电。相应的电压通过对圆柱体两个面之间的电场进行积分来计算，电流则被归一化，以保持每频点馈电电压的恒定幅度。

对于每个频率，计算了对应的天线阻抗以及介质中每一点的磁场值。

V. 案例研究

接下来我们设计一个谐振频率约为3 GHz的天线，带宽至少为30 GHz，在中心区域产生的磁场强度超过5 G，且具有良好均匀性。将研究一系列指数锥化轮廓。此处考虑的轮廓如图6所示，其形状经过确定，使得通过沿天线积分分布常数所计算的电感、电阻和电容（根据简单的LRC模型）确定所需的频率和带宽特性，金刚石膜厚度为给定值，接地和相位电极厚度分别为15 nm和100 nm。

集中常数的值为给定值。由于在低频下电流沿波导趋于减小，因此在中心区域设计了一个瓶颈结构，以使相对于表面电流密度（以及磁场）尽可能恒定。定义各截面的几何参数如表I所示。

表I 定义天线几何形状的参数。

图6中由ABCDEFGH给出的轮廓代表一系列用一维模型建模的指数锥化波导；轮廓ABCDEGI由圆形截面EGI终止，其半径为1毫米。最后一个轮廓（用于三维Comsol Multiphysics?模拟）适配于直径为2毫米的金刚石膜，且与前一轮廓具有相同的表面积。

| 截面 | 长度(mm) | 宽度(mm) | 其他参数(mm) |
|------|----------|----------|--------------|
| AB | 0 | 0.01 | 4 |
| BC | 0.4 | 0.011 | 0.042 |
| CD | 0.55 | 0.393 | |
| DEF | 1.05（最终1.8）| 0.329（最终1.5）| 0.34 |
| EGI | 1.6（最终2.0）| （半径1毫米的圆弧）| |

我们预期，在足够低的频率下，天线的复阻抗近似于RLC电路的阻抗。图7报告了从数百兆赫兹到数百吉赫兹范围内天线的实部和虚部阻抗，由电报员方程推导的一维模型计算得出。可以清楚地看到两种不同的工作区域：一种是RLC类区域，约在20 GHz以下，实部近似恒定，虚部近似为特定形式；另一种是驻波区域，在约30 GHz时明显建立，此时波长接近天线长度的两倍。

图7：天线阻抗的实部（黑色曲线）和虚部（灰色曲线）随频率变化的曲线。虚线：根据RLC近似计算的值，其中参数取特定值。

事实上，该器件的阻抗在高频率下并没有发散，而是发生振荡，甚至达到低于第一个谐振频率典型值以下的更低值。值得探索天线相对于在中心部分产生磁场的带宽是否大于低频模型所预测的带宽。

这里重要的物理量是图6中CD边界限定区域内的磁场强度和均匀性，假设天线以恒定的交流电位激励，在谐振频率下产生固定的功率耗散1 W。

图8报告了选定频率下（包括RLC类区域和驻波区域）沿平面天线的振荡磁场幅度（对数标尺）。显然，在非常高的频率下，磁场强度（在谐振时中心部分大于6 G）可以高于低频时的值。

图8：在产生1 W功率耗散（在谐振频率3 GHz下）的电位差作用下，磁场沿平面天线位置变化的曲线。

事实上，如果天线长度大于约四分之一个波长，则馈电电流会激励在天线平面内部具有最大值的模式，但在这种情况下最大值可能较窄，以均匀性为代价。因此，有必要从平均磁场和最大振荡与平均值之比这两个方面来考虑平面天线的实际性能。

这两个量在图9中作为频率的函数报告。在一维模拟水平上（实线），低频区域（在谐振以上两个倍频程内）与RLC模型一致，而均匀性保证在百分之几的水平以下。在更高频率下，以平均磁场衡量的性能保持不变，远远超过RLC模型的极限，但均匀性逐渐恶化。

图9：案例研究平面天线的性能，以中心区域的平均磁感应场强度（下方图）和均匀性（上方图）表示。实线：解析一维模型。黑点：三维Comsol Multiphysics?模拟，两个电极彼此相同。白点：三维Comsol Multiphysics?模拟，采用无限延伸的接地电极。相同电极天线展现出更好的带宽，但场均匀性略有下降。

三维模拟进一步揭示了平面天线的性能。Comsol Multiphysics?模拟应用于图6中ABCDEGI轮廓而非ABCDEFGH，以便适配直径为2毫米金刚石膜的实际尺寸。EGH表面的面积被设计为等于HGI的面积，从而使最后一段的电容保持不变。

图10以灰色调报告了两个特定频率下两个电极之间中平面上磁场强度的分布图。标尺在超过10 G时饱和，以展示行为，特别是中心区域的行为。

图10：平面天线中平面上两个不同频率下的磁场幅度分布图：（左图）2.87 GHz，在谐振处，对应于金刚石NV色心基态自旋子能级之间的能量差，处于RLC类范围内；（右图）256 GHz，深入驻波范围。灰度映射在10 G处饱和，因此薄初始电感段落的映射不够精确。

在图9中，还报告了通过三维模拟计算的平均磁场和相对振荡幅度。

相同电极情况更精确地由一维解析模型近似，并很好地遵循其预测，从低频一直到谐振以上约四个倍频程，远超RLC模型的有效性范围（后者仅限于一对倍频程，图9中的虚线）。另一方面，延伸接地电极情况由于低频下磁场约束效果较差而表现出低频截断。然而，如从图9上方图所见，延伸接地电极平面天线的实际磁场均匀性略好。

在图11中，还展示了在谐振频率2.87 GHz（分量）下沿垂直对称平面和沿平行于该平面、距圆形膜中心特定距离的平面的磁场强度分布图。显然，沿该方向场高度均匀，而沿另一方向的场变化在图9所规定的范围内。关于一维解析模型与完整三维模拟的比较，从图10可以明显看出，在某一参数与另一参数相当或更大的区域中，磁场的等值线实际上并非如在一维模型中假设的那样垂直。特别是在中心部分（由CD限定，见图6）的起始处，这改变了场的分布，因此平均场和振荡在更有限的区域上计算，图中用白色矩形标示。

图11：由Comsol Multiphysics?模拟计算的2.87 GHz频率下，磁场强度变化（分量）沿平面（上方图，金属电极之间）和沿平面（下方图）的分布图。标尺为便于观察进行了十倍扩展。灰度选择用于突出约20%的全局变化。排除靠近电极边缘的受限区域（边界效应发生处），沿该方向的场变化可以忽略不计。

这种形变也影响了器件的电阻。由于电流趋于沿系统轴集中，阻抗也更高。

为了修正这种效应，将感应部分AB的初始区段厚度由15 nm归定为100 nm，以便在谐振时恢复阻抗。从构造角度来看，这一措施不会引入过多的复杂性；只需在第一段波导上延长金属沉积，并在第二段前方插入一屏蔽板即可。对于相同电极的情况，该初始区段的长度为；对于扩展接地电极的情况则为。

从图10中还可以看出高频下驻波效应的影响。该结构的几何谐振使得器件各部分沿电流远高于低频区的特征值，但每个峰值都相当窄，且均匀性并未覆盖整个中心区段。

六、结论

本文提出了一种用于刺激顺磁量子系统的微波近场天线概念，允许对电极间区域进行光学寻址，并在宽广的微波谱范围内实现良好的均匀性和振荡磁场强度。此处呈现的案例研究对金刚石中的NV中心特别有用，允许在商用样品的足迹范围内，在100 MHz至100 GHz区间内实现超过2个数量级的带通。与在同等功耗水平下位于样品外部的微波天线相比，其带通和磁场强度均显著更高，从而实现了更高程度的集成度。本文所展示器件的制造取决于可获得几毫米大、几微米厚的金刚石薄膜，多晶材料已比较容易获得（参见参考文献[21]及相关文献），但单晶材料更具挑战性[22]。然而，本文提出的原理和方法允许将该概念应用于不同的强度和频率范围以及其他材料，如碳化硅，这些材料也可获得大面积、薄膜样品，通过改变平面天线的尺寸和形状以及介电厚度来实现。