利用嵌入顺磁性色心的平面波导产生和放大微波信号

《Physical Review Applied》：Generation and amplification of microwave signals via planar waveguides with embedded paramagnetic color centers

　　

本文提出了一种基于嵌入式顺磁性色心薄层的紧凑型平面波导中微波（MW）放大与激射产生的概念方案。色心的基态可以通过光学或电学方式进行自旋极化，而通过塞曼效应将其中一个自旋子能级下移至已占据的能级以下即可实现粒子数反转。沿波导传播的信号若与自旋跃迁发生共振，则可以被放大，或者可以产生自持的微波振荡。本文针对富含氮空位的金刚石薄膜，系统地分析了放大与自激的条件，并结合实际的阻抗匹配和谐振器设计示例进行了说明。所提出的架构将接近于1的填充因子与相对较低的电磁品质因子相结合，使其能够在强耦合配置下工作，并通过外加磁场实现宽频可调。相同的理论框架自然地推广到工作频率为数GHz的紧凑型集总元件谐振器，同时保持毫米级的尺寸。与当前的金刚石激射技术相比，该方法具有尺寸更小、与外部电子器件集成更简单以及腔体品质因子要求更宽松等优势。

一、引言

激射放大长期以来一直是需要极低噪声放大极微弱微波（MW）信号领域中的关键技术，例如在空间通信[1]、射电天文学[2]以及雷达系统中。在所有这些应用中，激射器的使用都需要笨重的谐振腔并涉及低温制冷，这是因为必须维持量子系统中的反转粒子数，而这些量子系统的能级间隔处于微波频段范围。这一情况限制了激射技术的应用，系统复杂性较高，同时也推动了对低噪声半导体放大器的研究。

如今，直接在室温下对电信号进行放大的技术——例如基于赝形高电子迁移率晶体管的低噪声放大器（LNA）和参量放大器——已经得到了广泛应用[3]。然而，约瑟夫森参量放大器和动力学电感参量放大器只有在低温冷却时才能达到量子极限[4,5]，而室温固态LNA[6–8]通常表现出约0.5–2 dB的噪声系数（相当于数十至数百开尔文）。由于这些原因，并且考虑到基于固态技术的室温激射器件可能降低对体积和辅助设施的要求，自2012年起，一种使用有机分子晶体的固态激射器概念已被提出[9]。

最近，金刚石中负电荷态氮空位（NV?）中心作为固态激射器的增益介质已被研究，其工作温度范围从室温到深冷温度[10–14]。该系统的自旋极化通过系间窜越（ISC）的光激发来实现，而粒子数反转则是通过施加适当的外磁场（B?）将基态的两个自旋子能级之一下移至另一个子能级以下来实现的。其他顺磁性缺陷也提供了类似的极化机制，如6H-SiC或4H-SiC中的硅空位（V_Si）[15]，其合适的耗散特性也允许产生连续波激射。对于4H-SiC中的V_3缺陷，在零磁场下也能实现约X GHz频率的激射放大或产生，因为在这种情况下，优先占据的子能级是较高的能态。尽管这类器件在相对较高的温度下工作，但仍需要相当笨重且复杂的高质量谐振腔，以及用于输入和输出信号的波导。

在本文中，我们提出了一种基于谐振平面波导的概念，该波导包含一个顺磁性薄层。波导作为顺磁性中心磁矩振荡的谐振腔，同时提取一部分能量作为电信号。或者，将电信号注入传输线，信号在波导中传播时被放大，并从传输线的另一端取出。波导的锥形设计不仅使其能够在适当的频率上谐振，而且确保与外部线路的阻抗匹配。

图1(a)和1(b)分别展示了作为微波放大器和微波产生器的两个器件的几何排列。从图中可以看出，使用紧凑型平面器件直接处理电信号的优势应该是很明显的，因为它可以为激射概念在全片上架构中的实现铺平道路。与当前固态金刚石激射器的技术水平相比，所提出的排列方式提供了高得多的填充因子（接近1，而通常低于0.1），因此可以在显著较低的电磁品质因子（低于X）下工作。这放宽了对厚低损耗金属化的通常要求，并打开了采用部分透明薄金属层的可能性。除了提供光泵浦的光学访问通道外，这些层还可能被整合到平面法布里-珀罗型结构中，以增强泵浦辐射的吸收[16]。在此架构中，电磁品质因子的降低可以通过增大可实现的反转密度来部分甚至完全补偿。器件的辐射损耗和尤其是电阻损耗在室温下不容忽视。然而，接近于1的填充因子使得激射效应在仅数ppm的N浓度和微秒量级或更短的自旋相干时间（T?）下仍然可行。

图1. 两个器件的几何排列，每个器件由夹在两层金属之间的薄矩形金刚石板组成。构型(a)代表放大器，电信号在沿波导传播时被放大。构型(b)是产生器，信号由锥形段收集。在这些构型中，相位电极沉积在顺磁性薄层上，而接地电极则均匀沉积在背面。极化磁场B?垂直于电极和电流流动方向，并平行于N轴，而电流平行于N轴。

尽管实现本文描述的概念只需要标准的薄膜制造技术，但在适合的金刚石样品成型和掺杂方面仍存在关键性问题。制备毫米级尺寸的单晶样品（厚度为数十微米级别）需要格外注意，且失败率很高，而数十ppm的N掺杂密度仍然是一个未解决的课题（参见文献[17]及相关参考文献）。因此，我们的理论研究对于设计挑战金刚石薄膜现有水平的器件可能是有用的。

在接下来的第二部分中，我们首先给出电流演化方程、材料磁矩方程以及反转粒子数密度方程。在第三部分中，我们计算了沿任意给定形状波导的信号放大条件，并开发了一个具有便于与外部电子器件匹配条件的示例。在第四部分中，我们建立了平面波导中自产生微波信号的麦克斯韦-布洛赫方程，并引入了两个实际模型，第一个基于近均匀传输线谐振器，第二个采用集总元件配置。后者使器件能够在低约一个数量级的频率下工作，同时保持紧凑的尺寸。

二、平面波导中的电流、磁矩与粒子数反转

我们考虑沉积在薄金刚石单晶上的平面波导，其中嵌入了大量N中心，但这种方法也适用于其他顺磁性色心，如碳化硅中的空位[18,19]。如果施加一个极化磁感应场B?，每个中心的基态自旋子能级将相互分离，分离量为gμ_B B?|cosθ|，其中θ是N中心特定的N对称轴与外磁场所形成的角度。固定磁场强度后，基态的两个子能级之一与另一个子能级（例如）之间的能量差可以调谐至波导的谐振频率。在这种情况下，先前经过自旋极化（例如通过系间窜越的光泵浦）的色心可以通过受激发射弛豫到较低的自旋子能级。

在将N中心的磁矩与波导中流动的电流进行耦合时，有两个相关的条件需要考虑：第一个是外磁场的方向，可以选择使一到四分之一的可用N中心调谐至波导频率。特别是，可调谐至同一频率的N中心方向数量可以是4、3、2或1个，分别取决于磁场平行于某个N轴、或平行于某个N轴之间或与所有N轴都不平行的情况（见图2的面板(a)、(b)或(c)）。第二个相关方向是波导本身的方向，其磁耦合与N中心的耦合取决于N轴在垂直于波导且包含信号沿波导传播方向的平面上的投影。

图2. 外磁场B?可能方向示意图，以及对应地同时可调谐至给定频率的N中心方向数量。方程(17)中的因子f测量了一个垂直于N轴的波导与一组与磁场形成相同角度的N中心之间耦合的效率。同时可调谐至同一频率的耦合方向用相同颜色标记（分别为红色或蓝色）。

在以下讨论中，我们假设外磁场B?沿垂直于金刚石层的直线方向施加，而晶格可能具有多种取向，因为商业样品中最常见的取向是(100)（远多于其他）、(111)和(110)。

在本工作中，我们研究了沿平面波导传播方向x的电流演化，将其视为一维集总常数电路。这样，我们有意忽略了边界效应引起的辐射损耗和高频时沿横向方向y出现的非均匀性。然而，我们在另一项独立研究[20]中通过三维Comsol?仿真验证了，对于尺寸和形状与本文中使用的器件相似的器件，一维方法在工作频率达到数十GHz时仍然相当准确。此外，它为这类器件的设计阶段提供了直观的工具，便于在系统构型空间中进行快速探索。

我们将考虑（参见图1）波导中的电流，其强度I随时间和x方向变化。波导宽度由w(x)给出，它由两条相对金属带组成，电导率σ，厚度分别为t?和t?。两条带沉积在厚度为d的金刚石层上，它们可以镜面反射，或者其中一条可以扩散在整个金刚石层的背面，即使在低频率（远低于谐振）时场约束不如第一种情况，正如文献[20]中所指出的那样。

在这些假设下，可以推导出一个有损耗的电报方程[21]，该方程适用于耦合到磁化介质的锥形传输线，该方程由电流I和两个相对电极点之间的电势差V的耦合微分方程导出：

?I/?x = -G(x)·V - L_eff(x)·?I/?t (1a)

?V/?x = -R(x)·I - C(x)·?V/?t (1b)

通过与介质耦合的考量，我们计算了由磁通量时间导数给出的电动势，该磁通量与磁化密度之间的关系为B = μ?(H + M)。通过对方程(1a)和(1b)分别对时间和空间求导，然后逐项相减，经过一些代数运算，我们得到了沿线的电流方程：

?2I/?x2 = 1/c_d2·?2I/?t2 + 1/D·?/?x(D·?I/?x) + (?/?x)·(w(x)·E_z) (2)

其中c_d是电磁波在金刚石层中的速度，D是一个扩散常数，且D = ε_d·d2·μ_d。该方程与常规的有损耗电报方程（参见文献[21]）在两个方面有所不同。首先，方程(1b)的空间导数产生了一个空间依赖项(w/x)·?I/?x，适当地考虑了线宽w沿线的变化，而没有对变化的绝热性做任何假设。其次，存在一个驱动力项(w(x)·E_z)，考虑了与磁化介质的耦合。

空间依赖参数w(x)不仅可以用于阻抗匹配和边界条件工程，还可以作为设计工具来定制电磁模态分布（参见文献[22]第七章）。

特别是，波导宽度的周期性调制会导致具有周期系数的电报方程，对于该方程预期存在布洛赫型解，从而为慢波实现开辟了道路。另一种方案是采用合适的截面变化来实现紧凑的集总参数谐振器，其物理尺寸远小于波长。在几吉赫兹的频率下，后者变得尤其具有吸引力，因为在这种频率下，传统的均匀谐振器将不切实际地过大。然而，在本文中，我们的主要兴趣在于研究工作在数十吉赫兹频率附近的近场平面波导，对于这些波导，其截面在整个器件的大部分区域保持几乎均匀。因此，本文不对慢波实现进行详细分析。尽管如此，在论文的最后一部分，我们展示了一个集总参数慢波谐振器，演示了如何将工作频率降低大约一个数量级，同时保持毫米级尺寸。

在式(2)中，沿波导的电信号放大或产生完全取决于材料的振荡磁化强度。为了研究该物理量，我们将考虑一个具有N个中心（全部具有对称方向）的系综的密度矩阵的演化，其中被调谐到特定频率的部分按照以下方程描述。这里，是基态子能级的能量，是基态子能级的能量。为方便起见，我们固定，即具有对称方向的中心体积密度。按此约定，是与方向相关的粒子数反转密度，系统的磁化强度为，其中是对应于角动量的矢量算符，除以，在自旋态和之间计算得到，是玻尔磁子。

在下文中，我们将采用旋转波近似（RWA），将非对角项视为在复平面上以角速度快速旋转的矢量，其相位和强度仅有缓慢漂移。在此近似下，我们定义并假定。按此约定，在参考系中（其中与N轴特定方向平行），我们有

式(3)可立即解释为：沿N中心对称轴的近乎恒定的磁化强度，当时（即所有中心都处于基态）达到最大值，当它们全部处于激发态时为零；加上一个位于垂直于的平面上的分量，仅取决于密度矩阵的非对角项。在旋转波近似中，我们可以将的分量视为一个（快速）旋转矢量，其模和相位相对于周期T的变化缓慢。旋转波近似将通过确定系统的自然角频率并评估的缓慢变化来事后验证。

为了在式(2)中使用磁化强度，我们必须将其分量（垂直于沿波导的传播方向但平行于金刚石表面）用式(3)中的分量表示出来。在关于依赖于的分量的二阶时间导数中，近乎恒定的依赖于的项将被忽略。图3显示轴平行于被外部磁场调谐至共振的N中心的第i个对称方向之一，并且对于方向的选择，合适的方向是使得位于平面上，与轴形成角，而与轴形成角。按照这些约定，式(3)中磁化强度的来自快速旋转项的分量，对所有相关的N中心方向求和，为：

(4)

其中

图3. 与本文讨论相关的两个参考系：具有轴平行于沿波导的传播方向，垂直于波导本身且平行于极化磁场。轴平行于所考虑N中心的轴，位于平面上。参考系可以通过绕轴旋转角（此处正方向为顺时针方向）以及绕轴旋转角从参考系得到。图中的角是轴与其在平面上的投影所形成的角。

磁化强度随时间的演化取决于波导中流动的电流和粒子数反转密度，根据薛定谔方程：

(5)

其中

其中。展开式(5)，并添加两个衰减项以考虑系统的开放性质及其与热浴和泵浦过程的相互作用，和的演化方程为：

(6a)
(6b)

这里，常数取决于泵浦强度，表示在不与磁场耦合情况下的平衡粒子数反转。恢复率在没有任何粒子数反转机制的情况下由热过程决定，通常涵盖从1到的区间[23]，但在有效的光学照射下（远未饱和），由给出，其中是泵浦辐射的光子通量，是色心的光子吸收截面（从3到变化，取决于环境条件[24,25]）。因子是每次激发事件的自旋翻转概率，通常根据样品类型在0.05到0.4之间评估[26]。饱和仅在接近泵浦过程中涉及的最低速率时才发生，其量级为数十MHz，且只有在非现实的高光子通量下才能达到。最后，在式(6b)中，参数取决于影响密度矩阵非对角项的退相干时间。

式(6a)和(6b)通过磁场与电流耦合。为了明确这种依赖关系，方便地将沿波导流动的电流表示为：

(7)

这种表示将电流的空间和时间依赖关系解耦，并以适合旋转波近似的形式表达时间依赖关系，与磁化强度动力学一致。

在这些假设下，波导位置处两个相对点之间的电位差为：

(8)

式(2)结合式(4)和(7)，在旋转波近似下（，，，），简化为：

(9)

其中迫使项根据以下公式依赖于磁化强度：

(10)

为了研究放大或自发生成电信号的条件，还必须明确式(6a)和(6b)中磁场对电流的依赖关系。从开始，在相关的第i个N轴参考系中表示场，得到：

(11)

而。

将式(11)代入式(6a)和(6b)，并对快速振荡项取平均，最终得到（保留），单位粒子数反转密度的速率为：

(12)
(13)

其中

对于现实的（数十ppm或更低），与的差不超过数十MHz。

式(12)和(13)，连同式(9)及适当的边界条件，是我们解决沿平面波导放大外部引入信号和自发生成电磁微波振荡问题所需的全部内容，这两个问题将在以下两节中讨论。

**III. 沿线性波导的电流信号放大**

在适当设计的波导一端引入的微弱信号可以在其沿线传输过程中通过受激发射被放大。这里我们研究放大的起始条件，假设在偏离共振的条件下工作，避免沿线自发生成的振荡，其条件将在下一段中讨论。

假设用长度为的线性波导将信号源和阻抗为（实数或复数阻抗）的负载连接起来。此外，假设第一端的信号由描述。

这意味着在式(7)中，我们可以替换和。此外，在式(9)中，依赖于的项消失。现在，我们可以通过用从式(12)和(13)求得的表达式替换，将式(9)仅用稳态解表示。

在微弱信号的极限下，式(12)有稳态解。在式(13)中替换，我们找到平衡解：

(14)

通过将近似为并代入式(14)到式(9)（结合式(10)），我们得到稳态波函数的以下方程：

(15)

在式(15)中，是腔品质因数，而增益介质的磁品质因数[12]，由以下公式与器件几何和介质特性相关联：

(16)

在式(16)中，常数是对应N轴方向与平面之间所成角度的余弦（见图3）。

如果泵浦条件可以近似考虑为各向同性的，则所有项都相等（设为），的值（设为）也是如此。在这种情况下，根据的取值，式(16)假设更简单的形式：

(17)

这取决于晶体相对于极化磁场的取向。在这种情况下，增益介质的逆磁品质因数为：

(18)

其中是归一化到线宽的失谐量。

式(15)中品质因数之差的实部的符号决定了信号沿波导传播的性质：如果为负，则强度沿传播方向增加；否则，强度减小。该项可以表示为：

(19)

其中是所谓系统的合作率[14]，定义为：

(20)

如果，信号沿波导被放大。

显然，色心磁矩与外部磁场之间耦合的一般信息包含在式(17)的因子中，该因子取决于场与晶格轴之间的相对取向。该因子在最重要的情况下可以按以下方式计算。

我们假设垂直于波导平面，因此沿轴定向。如果金刚石层的主面对角方向[图2面板(a)]，我们有，适当的计算表明式(17)中为，与波导沿金刚石晶体的方向无关。如果方向为[同一图中面板(b)]，则或，取决于N中心中被调谐到波导频率的是哪一组：如果是平行于轴的，则为；如果是其他的，则分别为。在这些情况下，如果，则；如果，则。最后，如果方向为[图2面板(c)]，则，且，与其他情况不同，取决于轴与方向之间的夹角，为。

现在我们可以求解稳态波函数方程[式(15)]。对于的边界条件需要在波导的两端固定。它们是前面提到的条件和，即[根据式(7)和(8)]：

实际上，我们假设波导由固定的输入电流馈电，并以阻抗终止。方程的解给出输入阻抗：

为了既能与外部电子器件一致匹配，又考虑到可能将两个或更多此类放大器串联使用，将输出阻抗设定为使得是很有用的。通过将替换为并代入边界条件，求解方程，获得新的值，然后迭代此过程，最终可以获得相同的输入和输出阻抗值。锥形也可以设计为在宽频率范围内，器件阻抗为实数且具有适当的值。

求解式(15)并满足适当边界条件的稳态波函数给出波导的电流放大因子：

以及增益（以分贝为单位）为：

为了处理一个简单的例子（但放弃实际的阻抗匹配），我们考虑一个矩形波导（）在共振条件下（）。

在这种配置下，如果式(15)中的虚部项为负，即如果由式(20)定义的协同性（cooperativity）大于1，增益即为正值。特别是，当超过阈值时，该条件成立，其中式(21)给出了该阈值。

需要注意，品质因数在此仅依赖于内部损耗，而在自激振荡腔体的情况下（将在下一段讨论），品质因数也将依赖于外部负载。

如果（复数）阻抗与外部传输线匹配，使得在式(15)的解中只需考虑行波，则取如下形式，其中。

增益（以分贝为单位）为。

在处的带宽也可以由式(15)计算得出，在满足条件的情况下，带宽为。

可以很容易验证，其量级与离对角元衰减率相当，且随增益增大略有减小。

输入阻抗和输出阻抗均等于，其中是零增益时的传输线阻抗。对于高增益情况，电压和电流的相位差趋于半个周期。

虽然矩形配置由于阻抗的显著虚部而不便于匹配外部传输线，但它提供了用于设计器件尺寸的有用经验公式。例如，对于金电极，扩散常数为，放大起始的阈值为，而增益为，阻抗的绝对值为。

根据这些公式，如果量级约为1 MHz，假设，为N中心总密度的总密度，则当N密度高于几个ppm时，可以在10 GHz或更高频率下实现正增益，前提是金刚石层厚度为几十微米，电极厚度为几十纳米（足以利用金的半透明性，通过从上方照明来常规地泵浦样品）。在此阈值之上，如果N密度达到几十ppm，可以实现高增益（几十dB），此时波导长度为数毫米。在此范围内，可以固定波导宽度，以获得约50 Ω的阻抗。

另一方面，通过锥形波导可以获得便利的阻抗匹配。在这种情况下，对于一般轮廓，式(15)的数值解是可获得的。不过，一种有利的锥形安排方式是假设尺度在每个互不相交区间的连通并集中保持恒定，使得在每个区间上，锥形的解析形式为（也可以为负），且函数类型为，其中是方程的两个复数根。

在整个波导上求解式(15)需要满足每个区间的边界条件，即在相邻区间边界处函数及其导数的连续性，以及边界条件。

作为示例，我们在此考虑图4中描述的锥形形状，由四部分组成，其几何参数在图注中指定。我们假设金电极等效厚度为30 nm，沉积在厚金刚石层上。如此薄的电极适用于由激光器或LED光源从上方对平面器件进行光学泵浦，无需复杂的侧向照明。在这些参数下，对于1–100 GHz的频率范围，正放大所需的粒子数反转阈值很低（21 GHz时为）。当有效粒子数反转为21 GHz频率下时，的实部和虚部也在图4中绘出，评估了信号沿波导的放大情况。粒子数反转密度被设定为不超过自发振荡的阈值，该阈值对参数的依赖关系将在下一段研究。在这些条件下，阻抗几乎是纯实数且等于。

在图5（左面板）中，对于相同的值，阻抗的实部和虚部（以欧姆为单位）以及功率放大（以分贝为单位）作为频率的函数被绘制出来。在很宽的频带上，阻抗几乎是纯实数，在该频带中心处，增益约为10 dB。在图5（右面板）中，21 GHz频率下，增益和阻抗作为波导总长度的函数被绘制出来。阻抗明显等于（实数），当波导长度大于约2 mm时，放大与波导长度成正比。

图4. 一条5 mm长的波导的轮廓，以及在20 GHz频率下描述系统放大的空间函数的实部和虚部的行为。锥形在垂直和水平方向上的尺度相同，在第一段和最后一段的尺度分别为0.56和，在中心部分（中心左侧和右侧，截面近似恒定）为。在该频率下，系统的输入和输出阻抗为。

图5. （左面板）对于图4中指定特性的器件，功率放大（以分贝为单位）和阻抗（实部和虚部，以欧姆为单位）作为频率的函数被绘制出来。在很宽的频带上，阻抗几乎是纯实数，在该频带中心处，增益约为10 dB。（右面板）在20 GHz下，增益和阻抗作为波导长度的函数被绘制出来，波导的初始和最终锥形段按图4中描述的方式成形。阻抗明显等于（实数），当波导长度大于约2 mm时，放大与波导长度成正比。

到目前为止，已经表明，在毫米级长度范围内的平面器件可以通过标准连接器和近似50 Ω传输线与外部电子器件耦合，利用光泵浦顺磁性介质中的masing效应，在几十分贝的量级范围内放大电信号。具体来说，这是一种富含N-的金刚石层。利用N中心作为掺杂金刚石结中的复合中心，还可以实现粒子数反转的电泵浦，通过在微波信号上叠加连续电压供应来实现。下一段将展示如何通过克服生成微波信号的更严苛阈值来利用同样的效应，即在连接到外部负载的波导中实现微波信号的产生。

IV. 终端连接电阻性负载的波导中的信号产生

假设将锥形波导终止于电阻性负载上，或者等效地终止于无源传输线上。我们的目的是写出式(7)中电流的演化方程，以找到触发自激振荡的条件并计算器件的输出功率。

对于电流的空间部分，我们将假设它满足方程：

(22)

其中常数需要满足边界条件（或者对于短路传输线），以及边界条件，其中是连接在端点处的电阻性负载。在这些条件下，振荡频率是腔体的一个自然振荡频率，而描述了由于通过外部阻抗的损耗引起的阻尼。

利用式(22)和(9)对演化的方程，假设并定义：

(23)

考虑归一化条件，在关于积分之前，用复共轭乘以式(23)的两边，如果定义积分磁化强度和平均扩散常数，则式(23)可以用纯时间依赖量表示为：

(26)

其中。

用乘以式(13)的两边，在关于积分后，定义仅依赖于时间的变量（积分反转粒子数密度），也可以找到积分磁化强度演化的方程：

(28)

我们即将找到时间依赖量、和的一阶方程组，描述所有感兴趣场的适当平均值。要从式(12)写出关于的方程，我们需要一个补充假设，假设积分即该积分与仅依赖于时间的变量成正比，根据，这是一个取决于几何形状的常数，具有体积量纲，以及无量纲因子，当粒子数反转换处处为常数时等于1。

在这一假设下，

(29)

式(26)、(28)和(29)是嵌入顺磁性介质的负载平面波导的Maxwell-Bloch方程。

我们在寻找式(26)–(29)的非平凡稳态解。在式(28)中令，解出并代入式(26)，我们得到关于积分平衡粒子数反转密度的条件：

(30)

由于为实数，式(30)仅当取特定值使得表达式虚部为零时成立。

从这里开始，我们假设一个合理的简化条件，即在各向同性激励情况下，和均与色中心的取向无关，如第三部分中所述。因此，式(30)变为

(31)

其中是仅依赖于晶体取向的常数，在第三部分中已讨论。为了使为实数，振荡频率由

(32)

给定。在该频率下，令表示归一化到总线宽后的失谐量，则（积分的）平衡粒子数反转密度表示为：

(33)

其中腔体品质因数现在定义为外部和内部损耗率之和。

现在可以计算电流的平衡值。在式(29)中，让我们对色中心的不同取向求和，令。然后，我们将式(26)的求和表示为的函数（已假设）。最后，代入对求和的式(29)中，得到

(34)

通过观察式(34)，我们注意到微波振荡的自激产生只有在超过由式(33)给出的阈值时才可能。这一事实定义了自激振荡起始的条件，表述为式(20)中定义的协同性上的条件（前提是在式(20)中，常数被替换为按式(27)计算的平均值）。

值得注意的是，鉴于这里提出的概念所涉及的相对较高损耗，线宽足够宽，可以容纳大的失谐。因此，通过改变外部磁场，可以在很宽的频率范围内调谐自激振荡频率，同时保持masing效应。

在的情况下，式(34)可以用更便利的形式表达，假设泵浦水平取决于位置的方式为，其中是正函数（在没有光学或电泵浦的情况下，两个亚能级均匀布居且），其最大值等于一。如果我们定义填充因子

(35)

（等式仅在时成立），式(34)简化为

(36)

式(36)的意义在于因子，即波导中的峰值泵浦强度，以及填充因子，描述参与泵浦过程的腔体比例。本文介绍的器件的主要优势是填充因子容易接近1，比采用N中心固态masing的现有技术高一到两个数量级，并且允许品质因数低于。

从已知，外部负载中耗散的电功率（或等效地，注入外部传输线的功率）为，这在超过阈值时与泵浦成正比，如式(34)所述[或者根据式(36)，与成正比]。

输出功率的计算需要显式计算，即电流的空间依赖部分。我们特别感兴趣的情况是内部损耗远低于通过外部传输线传输的功率（即，即），但负载足够高以保证。

在这种情况下，我们可以假设作为式(22)的解的函数，按的一阶展开表示为如下形式的和

(37)

将代入式(22)并忽略高阶项，我们得到关于实数和的两个方程：

(38)

(39)

对于的边界条件是和。最后一个条件是当传输线在端点处开路时输出电流为零这一事实的结果。

在这些条件下，方程(38)是一个特征值方程，满足该方程的是一组离散值（若波导为矩形，则等于 $c/2a$ ）。这里我们假设阈值 $\eta_0$ 仅对其中一个（尤其是最低的）频率被超越。另一方面，一阶项 $E_1$ 满足与 $E_0$ 中 $\eta=0$ 相同的条件，但其在 $\eta$ 处的值必须选取为使得物理边界条件 $\partial E/\partial x=0$ 在 $\eta$ 为实数时成立。用一阶的 $E_1$ 表达式替换后，我们得到

$$\frac{\partial E_1}{\partial x}\bigg|_{x=0}= \frac{\partial E_0}{\partial x}\bigg|_{x=0} + \frac{i\eta}{2}\left(E_0(a)+E_0(-a)\right)$$

$E_0$ 的实数条件意味着 $E_0(a)+E_0(-a)=0$ ，这连同已经提到的 $\eta$ 在共振频率 $\omega_r$ 处的条件，得出

$$\eta = \frac{c^2\gamma}{\omega_r^2 a}\frac{E_0(a)-E_0(-a)}{E_0'(a)-E_0'(-a)}\quad (40)$$

两个条件 $\eta$ 为实数（或 $\eta=0$ ）和 $E_0$ 为实数对方程(39)中的积分常数适合值成立，而正确选取这些常数可以解决问题并计算输出功率，给定种群反演水平 $\eta$ 。

在方程(40)中， $C_{eq}$ 是从 $x=0$ 端看入线的等效电容。系统的阻尼率，换句话说，由连接到输出阻抗的线的电容的时间常数决定。

对于恒定宽度 $a$ 的矩形波导，方程(38)和(39)系统的更简单解析解可以精确计算，其中 $E_0$ 可以由方程(22)用复指数之和来表示。在 $\eta$ 的一阶近似下，该解与方程(38)和(39)的解一致，并可写为方程(37)的形式：

$$E_0(x)=N\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{i(n\pi x/a - \omega t)}\quad (42)$$

其中 $N$ 是归一化常数，在 $\eta$ 的低阶项中等于 $\sqrt{c^2/(\omega_r a)}$ 。取这些值时，方程(40)给出的电容为 $C_{eq}=a\varepsilon_0/w$ ，这仅仅是线的低频电容。值得注意的是，如果线以其第 $n$ 共振模式振荡，则等效电容为 $C_{eq}/n$ ，且 $\eta$ 和 $\omega_r$ 都乘以模式的阶数。

对于这种矩形波导，在 $\eta$ 很小的极限下（以及方程(36)），输出功率为

$$P_{out}=\eta N_\gamma h\nu_r \frac{C_{eq}\omega_r^2}{R_L}\quad (41)$$

在方程(41)中， $V_\gamma$ 是波导所占据的体积乘以填充因子 $F$ 。该体积乘以 $N_\gamma$ 就是参与微波振荡自激生成的色心数量。能量 $h\nu_r$ 是每个发射光子的能量，而 $\gamma$ ，在未饱和时，例如在 $10^{10}$ 功率密度下，对于0.05–0.4左右的自旋翻转概率，约为数千赫兹。对于16 GHz的微波频率，我们取 $N_\gamma=10^{17}$ ， $V_\gamma=10^{-9}$ ，以及 $\gamma=10^{4}$ ，使得 $N_\gamma V_\gamma\gamma=10^{12}$ s$^{-1}$。因此，在10 ppm的 $\eta$ 和近乎均匀的泵浦强度下，我们可以预期注入功率达到 $10\mu$W [考虑到方程(25)给出的放大起始阈值 $\eta_0$ ，在我们假设的条件下仅为约0.1 ppm]。

与目前的技术水平相比 [7,27]，这是一个相当高的功率水平。毫无疑问，这一有利的预期尽管 $Q$ 值较低（$Q\sim 10^5$），但取决于接近于1的高填充因子，这使得该系统与基于金刚石晶体的微波激射器（封装在约 $10^{-6}$ 体积的高质量谐振腔中，填充因子最多为几个百分点）在几何结构上有所区别。低品质因子也允许更高的频率稳定性（不依赖于很高 $Q$ 下的腔体热噪声），并允许使用更小的磁铁和更紧凑的几何结构。

此外，这些有利条件还允许对与 $\omega_r$ 差异很大的频率进行谐振腔调谐。事实上，由于 $c^2\gamma/(\omega_r^2 a)$ 的量级约为几MHz或更低，振荡频率 $\omega$ 几乎完全由外部极化磁场决定，根据方程(33)，条件 $\omega=\omega_r$ 对于失谐的高值（多达几个 $\gamma$ 单位，即几个GHz）也可以满足。换句话说，这种振荡器的频率很容易通过改变极化磁场来调节，即使不在共振时也是如此。

方程(21)和(33)，连同方程(40)，允许确定一组阈值，以根据由外部极化磁场确定的振荡频率来区分在何种种群反演条件下分别发生衰减、放大或自激振荡。在笛卡尔 $\eta$- $\omega$ 平面中，可以识别出衰减、放大或单模或多模生成发生的区域。根据波导的尺寸和形状，必须绘制不同的图。

例如，图6报告了一个长4毫米、宽1毫米的矩形波导的情况，等效金属层厚度为30纳米，金刚石层厚度为 $t$ ，连接到 $R_L$ 负载。结果表明，10 ppm的种群反演就足以确保在15.7 GHz共振频率周围约7 GHz带宽范围内自激振荡。在31.4 GHz的二倍频处附近还发现了一个约16 GHz宽的区间，与三倍频区间部分重叠。在前两个区间之间，矩形腔体可以在大约20至25 GHz的频率范围内作为放大器工作。矩形形状并不最适合与外部电子设备匹配。图7展示了在一侧开口、另一侧锥形收窄的波导截面图，以及函数 $E_0$ 和 $E_1$ 的行为。器件的等效电容 $C_{eq}$（金刚石厚度为 $t$ ）为1.28 pF，可与几何电容 $C_g$ 的1.44 pF进行比较。器件的共振频率几乎等于等效长度的矩形波导的共振频率（16.4对15.7 GHz）。

图6. 衰减、放大或振荡条件下的 $\eta$- $\omega$ 图，适用于尺寸为 $a\times a\times L$ 的矩形波导，连接到 $R_L$ 负载。

图7. 灰色区域：在16.4 GHz振荡的谐振波导截面（比例尺由水平轴标示），右侧锥形收窄以匹配外部连接[相同截面也显示在图1(b)中]。黑色曲线代表函数 $E_0$（实线）和 $E_1$（虚线），它们是方程(38)和(39)的解。作为比较，同一函数在理想矩形波导中计算的结果以深灰色显示。

对于10 GHz以上的频率，矩形波导可以在具有现实尺寸的金刚石单晶体中支持驻波振荡，但对于几GHz量级的较低频率，矩形腔体的尺寸将不切实际地大，例如在3 GHz时约为2厘米。在这些频率下，需要某种形式的慢波工程 [22] 来在毫米级金刚石薄膜中实现微波激射器概念。下面，我们遵循集总元件慢波谐振器的方法，通过成型锥形截面使波导的两个部分分别作为电感和电容工作。这一原理已在近场平面天线制造中得到设想，专门设计用于光检测磁共振（ODMR） [20]。在这里，我们在接收模式而非发射模式下应用相同的概念。

图8展示了一个长4毫米、在3.2 GHz振荡的天线截面，它由一个电感和一个电容部分组成，电感部分在一端短路。函数 $E_0$ 和 $E_1$ 沿波导绘制。此外，即使只有电容部分受到泵浦，也可以获得约90%的填充因子。有效电容比几何电容高约50%（4.3对2.6 pF），但即便如此，在 $\omega_r$ 下对应的 $\omega_r/\sqrt{C_{eq}L}$ 约为4.7 GHz，约为共振 $Q$ 的四分之一。要应用 $\eta$ 的低阶近似，我们最好通过外部锥形线匹配传统 $Z_0$ 线的阻抗，以使振荡器看到更高的阻抗负载。对于 $F_\gamma$ 为几千赫兹的值，这种器件的输出功率将为数 $\mu$W 。

图8. 灰色区域：在3.2 GHz振荡的谐振电感-电容类（LC类）波导截面，右侧锥形收窄以匹配外部连接，另一侧短路。在图中，函数 $E_0$（实线）和 $E_1$（虚线）是方程(38)和(39)的解。

五、结论

我们已经证明，一种经过适当设计的紧凑平面波导，内嵌顺磁介质，既可用作微波信号放大器，也可用作信号发生器，通过标准传输线与输入或输出电子设备连接。与当前采用金刚石或碳化硅顺磁缺陷的高质量谐振腔技术相比，这种排列方式的高填充因子（接近于1）确保了高增益，尽管品质因子相对较低（低于 $10^5$ ）。这有利于利用对光部分透明的薄金属层，允许来自外部源的均匀有效照明以实现种群反演。此外，波导的两层金属可用于通过双极结实现连续电流电泵浦，利用某些顺磁缺陷作为复合中心的特性。

低品质因子也有利于频率稳定性，并使这类器件的振荡或放大频率容易通过改变数百mT范围的外部磁场，在波导共振频率附近几个GHz的区间内调谐。可用样品（尤其是金刚石）的小尺寸将矩形波导的应用限制在高频率生成（通常为数十GHz），但波导可以成形以在低频谐振，我们已经证明即使只有几毫米尺寸的样品也能轻松达到GHz范围。

此外，平面构型微波激射器的整体概念有利于在电子系统中以及下一代量子平台中的集成，为可扩展的片上微波激射器器件提供了一条有前景的途径。