Floquet驱动里德堡原子阵列中的三聚体动力学

《Physical Review A》：Trimer dynamics in Floquet-driven arrays of Rydberg atoms

　　

我们分析了最近应用于里德堡原子阵列的WAHUHA弗洛凯协议，并推导了有效自旋理论在高频展开中超越领头阶的修正项。我们发现，通过适当选择脉冲时间，可以强制实现一种近似对称性，对应于总磁化强度的守恒。从高阶弗洛凯项中涌现的相互作用通道影响三体束缚态（trimers），使其获得显著的迁移性。我们估计了在一维自旋链中相应的增强效应，并得出结论认为其动力学处于实验可达的范围内。我们还发现，由于三聚体磁化量子数扇区之外的粒子增殖所导致的有害效应会发生，且其在比三聚体传播更慢的时间尺度上扩散。我们进一步表明，长程相互作用增强了三聚体的传播，且二维三角晶格几何结构可以承载能量上孤立的三聚体能带，这为减少与更高磁化量子数扇区之间的共振混合提供了一条可能的途径。我们的结果为实现弗洛凯工程化里德堡平台中的可移动多体束缚态确立了一条具体路线。

**I. 引言**

自旋模型提供了描述多体系统的典型框架 [1]。量子模拟平台的最新发展为其可编程实现开辟了途径，并具有可调的相互作用和几何构型 [2]。在此背景下，自旋模型已被用于捕获由哈伯德模型描述的系统的有效量子性质，例如利用超冷移动原子 [3–7]。此外，对于长程相互作用的原子阵列，如偶极原子和极性分子 [8,9]，或里德堡原子 [10,11]，自旋模型也作为主要的描述框架出现。特别是，强里德堡-里德堡相互作用使得能够在通过将自旋自由度编码在一对原子能级中来实验实现典范性的自旋哈密顿量，如伊辛模型、XY模型和XXZ模型，维度为一维和二维 [12]。

这些长程相互作用系统使得探索自旋模型的基态性质成为可能，包括量子相变 [13,14]、拓扑态 [15,16] 和低能激发，例如单个磁振子、集体激发或畴壁 [17,18]。在此背景下，束缚态也可能出现在激发谱中 [4,19–24]，代价是其更高的质量导致更慢的时间演化。两体束缚态已在具有在位相互作用的合成物质系统中被广泛研究，如哈伯德模型的情况 [25,26]。然而，具有长程相互作用的系统表现出截然不同的特征。它们可能表现出稳定束缚态存在所需的一个临界相互作用强度 [27]，最近已在里德堡修饰玻色子原子中被观测到 [28]。长程强相互作用与晶格几何的相互作用可能导致具有非相互作用区域中不存在的涌现拓扑或局域化性质的束缚态 [29,30]。最近，更复杂的束缚态或激发态，如弦激发或畴壁 [31–34]，由于其奇特的动力学性质而成为研究的焦点，包括与规范理论和禁闭的联系 [35]。

虽然原子平台的本征模型已经为研究自旋模型及其少体或集体激发提供了一个丰富的试验场，但设计允许更高程度地控制这些多体系统的方案至关重要。弗洛凯工程作为一种通过时间依赖周期性驱动来操控原子系统及其量子哈密顿量的多功能方法已经出现 [36,37]。在可移动基态原子的情况下，弗洛凯技术已被用于控制跨越相变的多体输运性质 [38,39]、设计规范场 [40–42]、诱导拓扑能带结构 [43–45]，以及设计相互作用模型 [46,47]。在里德堡原子的背景下，最近的进展表明，弗洛凯方法可以方便地用来超越本征模型的局限性来操控相互作用 [48,49]，例如设计Kitaev蜂窝模型及其非阿贝尔拓扑性质 [50–52]。一种特别方便的驱动方案，即所谓的WAHUHA脉冲序列 [53]，已被用于在弗洛凯高频展开的领头阶设计XYZ哈密顿量 [54,55]。脉冲时间的可调性允许在磁化强度守恒的参数区域调节模型。在此区域，该模型表现出近似对称性，由XXZ自旋模型描述，并且可以调节到旋转不变的海森堡极限。然而，超越领头阶的修正在一般预期会产生自旋-自旋相互作用项的增殖，从而可能破坏这种对称性。

在本工作中，我们研究了由XY模型描述的长程相互作用里德堡原子的WAHUHA协议。我们推导了弗洛凯修正的次领头阶项，至驱动频率 $\Omega$ 的 $\Omega^{-2}$ 阶，并找到了一个脉冲时间区域，在该区域中除了一个项之外，所有违反磁化守恒的项都被消除。然后我们研究了它们对三体束缚态（三聚体）[30,56,57] 动力学的影响。在三聚体XXZ模型中，三粒子束缚态预期具有非常大的质量，这阻碍了在实验中观测它们的可能性。在这里我们表明，WAHUHA弗洛凯工程提供了额外的通道，显著增加了三聚体的迁移性。我们还研究了长程耦合的作用，表明它们对三聚体的迁移性有积极贡献。此外，二维晶格几何结构可以帮助缓解来自其他不需要的磁化量子数扇区的态的增殖。我们的发现突出了弗洛凯工程化里德堡系统在研究奇特少体激发和强相互作用量子物质中的关联动力学方面的潜力。

本文的组织如下：在第二节中，我们介绍了WAHUHA弗洛凯驱动协议，并推导了高频展开中至二阶的相应有效哈密顿量。然后我们专门针对最近邻耦合的一维链，并选择脉冲持续时间以强制实现近似对称性。在此区域中，有效哈密顿量获得了一种特别透明的形式，其中不同的贡献可以直接识别为最近邻和次近邻跃迁、关联跃迁和多自旋过程，使得它们对磁振子、二聚体和三聚体迁移性的影响变得明确。在第三节中，我们讨论了一维（1D）链中三体束缚态（三聚体）的形成和动力学，并分析了与磁振子和二聚体相比，弗洛凯诱导的项如何修改它们的色散和传播。在第四节中，我们将分析扩展到具有长程相互作用的系统和二维（2D）晶格几何构型，表明这些要素如何增强三聚体的迁移性，同时抑制不同磁化量子数扇区之间的不需要的混合。最后，在第五节中，我们总结我们的结果并概述实验实现和未来发展的展望。关于弗洛凯展开和技术细节以及有效耦合的结构的信息收集在附录中。

**II. WAHUHA弗洛凯驱动**

**A. 有效理论：领头阶**

我们研究周期驱动的自旋系统的弗洛凯动力学，其描述哈密顿量为：

$$H(t) = H_0 + H_{\text{drive}}(t)$$

其中

$$H_0 = \sum_{\langle i,j \rangle} (J_x S_i^x S_j^x + J_y S_i^y S_j^y + J_z S_i^z S_j^z)$$

是自旋系统的本征XY哈密顿量，例如来源于里德堡原子之间的偶极耦合 [11]。周期性驱动 $H_{\text{drive}}(t)$ 遵循WAHUHA协议 [53–55]，它特别地由四个具有固定相位和以时间间隔分隔的脉冲序列实现，使得 $T = \sum_n t_n$，其中 $T$ 是驱动周期 [见图 1(a)]。一个脉冲由其脉冲面积定义。对于持续时间为 $\tau$ 的方波脉冲，这对应于幅度 $\Omega_0$，如图1(a)所示。在以下工作中，我们工作在理想脉冲极限 $\tau \to 0$ 中，其中脉冲持续时间相对于自由演化区间可以忽略不计。

图1. 弗洛凯脉冲方案和三聚体动力学。(a) WAHUHA弗洛凯驱动序列的示意图，由在时间 $t_n$ 施加的四个具有相位 $\phi_n$ 的脉冲组成，它们以间隔 $t_n$ 分隔，使得 $\sum_n t_n = T$。对于持续时间为 $\tau$ 的方波脉冲，脉冲幅度为 $\Omega_0$，因此脉冲面积为 $\Omega_0 \tau$。此协议通过平均掉不需要的项有效地设计了各向异性自旋相互作用。(b) 三聚体（三个相邻自旋激发形成的束缚态）沿一维自旋链相干传播的示意图。

由驱动的显式形式定义的旋转坐标系中，哈密顿量变为：

$$\tilde{H}(t) = U^\dagger(t) [H_0 + H_{\text{drive}}(t)] U(t)$$

其中 $U(t)$ 是时间演化算符。根据标准的弗洛凯理论 [36,37]（见附录A），我们可以通过对 $\Omega$ 的系统性高频展开来描述系统的有效动力学行为，得到时间无关的有效哈密顿量 $H_{\text{eff}}$。在领头阶，我们得到：

$$H_{\text{eff}} = H_0 + H_{\text{eff}}^{(1)} + \mathcal{O}(\Omega^{-2})$$

其中 $H_{\text{eff}}^{(1)}$ 在文献 [54,55] 中被研究，由下式给出：

$$H_{\text{eff}}^{(1)} = \frac{1}{\Omega} [H_0(t_1), H_0(t_2) + H_0(t_3) + H_0(t_4)]$$

上述结果表明，此弗洛凯协议提供了一种灵活的设计通用XYZ自旋模型的方案。通过调节时间 $t_1$、$t_2$ 和 $t_3$，可以获得不同的区域。当 $t_1 = t_3$ 时，模型保留了关于 $z$ 轴的和守恒磁化强度。此外，对于 $t_1 = t_2 = t_3$，模型简化为具有旋转不变性的著名海森堡模型。在以下工作中，我们研究此模型的高频修正，这些修正在以前的分析中被忽略了。

**B. 有效理论：修正**

如附录A和B中详细所述，对 $H_{\text{eff}}^{(1)}$ 的第一个非零修正出现在弗洛凯微扰展开的（5）的二阶中，并取以下形式：

$$H_{\text{eff}}^{(2)} = H_{\text{eff}}^{(2),2s} + H_{\text{eff}}^{(2),4s}$$

其中 $H_{\text{eff}}^{(2),2s}$ 和 $H_{\text{eff}}^{(2),4s}$ 分别对应于二自旋和四自旋耦合项，明确给出为：

$$H_{\text{eff}}^{(2),2s} = \frac{1}{\Omega^2} \sum_{\langle i,j \rangle \neq \langle j,k \rangle} [C_{ij} (S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y) + D_{ij} S_i^z S_j^z] \tag{7}$$

和

$$H_{\text{eff}}^{(2),4s} = \frac{1}{\Omega^2} \sum_{\langle i,j \rangle, \langle j,k \rangle} E_{ijk} (S_i^x S_j^x S_k^x + S_i^y S_j^y S_k^y) \tag{8}$$

其中受限求和排除了 $i = k$ 的项。

哈密顿量 $H_{\text{eff}}^{(2)}$ 一般不具有任何显式的相称对称性，除了平凡的 $\mathbb{Z}_2$ 宇称对称性。然而，在某些条件下，一种近似对称性会出现。特别是，当 $t_1 = t_3$ 且 $t_2 = T - 2t_1$ 时，二自旋和四自旋耦合满足 $C_{ij} = -C_{jk}$ 和 $D_{ij} = -D_{jk}$。显式的对称性破缺仅来源于形如 $E_{ijk} (S_i^x S_j^x S_k^x + S_i^y S_j^y S_k^y)$ 的项，这将对称性降低为绕 $z$ 轴旋转的 $\mathbb{Z}_4$ 子群。在以上引入的理想脉冲极限中，取 $t_4 \to 0$ 使得一个周期末端的相位为 $\phi_4$ 的脉冲与下一个周期开始处的相位为 $\phi_1$ 的脉冲相邻。这两个旋转绕相反的轴进行，因此相互抵消。因此，该协议可以表示为每个周期内有效的两脉冲序列。在本文的其余部分，我们将考虑对应的简化的WAHUHA序列，对应于第二个和第三个脉冲，其中绕 $x$ 轴旋转。

为了简化讨论，我们暂时将式（2）中的局限于最近邻耦合，并将晶格固定为一维链。在这些假设下，哈密顿量读取为 $H_{\text{eff}} = H_{\text{eff}}^{(0)} + H_{\text{eff}}^{(2),2s} + H_{\text{eff}}^{(2),4s}$，其中两项分别取以下形式：

$$H_{\text{eff}}^{(0)} + H_{\text{eff}}^{(2),2s} = \sum_{\langle i,j \rangle} [J_x (S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y) + J_z S_i^z S_j^z + J_{xx}(S_i^x S_j^x + S_i^y S_j^y) + \ldots] \tag{9}$$

和

$$H_{\text{eff}}^{(2),4s} = \sum_{\langle i,j,k \rangle} E_{ijk} (S_i^x S_j^x S_k^x + S_i^y S_j^y S_k^y) \tag{10}$$

假设单位 $\Omega = 1$。从一般二阶哈密顿量到式（9）和（10）的简化在附录B的小标题中进行了总结。从以上方程中可以明显看出，$H_{\text{eff}}^{(0)} + H_{\text{eff}}^{(2),2s}$ 包含所有守恒总磁化强度的项，而 $H_{\text{eff}}^{(2),4s}$ 包含一个违反此守恒律的项。在弗洛凯微扰理论中，我们可以直接获得系数 $E_{ijk}$，如附录B所示。

式（9）中的对称哈密顿量可以解释为不同物理贡献之和。第一行表示领头阶哈密顿量，即最近邻XXZ模型，通过包含高阶弗洛凯修正。第二行引入了相对于之前XXZ模型的长程修正，正比于，包括次近邻跃迁和相互作用。从第三行开始，出现高阶自旋关联。第三行和第四行描述关联跃迁过程，而第五行和最后一行对应于对跃迁过程，其中两个自旋一起跃迁过相邻格点，有效地将一对自旋移动两个格点。关键的是，由算符描述的新涌现的相互作用对于三聚体的迁移性至关重要，我们将在下文进一步讨论。相比之下，式（10）中的项将磁化强度改变四个单位，因此可以将三聚体扇区耦合到更高磁化强度的扇区。在接下来的动力学分析中，我们将监测这个通道是否在模拟的时间尺度上掩盖了三聚体信号。附录C中将所得到的弗洛凯哈密顿量动力学与完整的精确动力学进行了基准测试。基准测试表明，在所考虑的参数量级中，二阶有效哈密顿量比领头阶XXZ模型更准确地捕捉了局部磁化动力学，而全局量如总磁化强度在更大的系统中由于高阶弗洛凯修正可能会显示出可见的偏差。

**III. 三聚体动力学**

在本节中，我们研究上述推导出的有效模型中三体束缚态（以下称为三聚体）的动力学。在静态最近邻XXZ链中，这些激发态已知是非常重的，因为其运动仅通过高阶虚过程产生。而第二节中引入的弗洛凯工程化哈密顿量包含额外的跃迁和关联项，它们对三聚体运动的贡献在本文采用的简化一维最近邻设置中变得明确。

我们首先回顾三重态在XXZ极限下的结构和色散，然后分析Floquet修正如何改变其迁移性及其对残余U(1)破缺通道的鲁棒性。

A. 什么是三重态？

我们首先考虑在一般晶格几何上的最近邻自旋-1/2 XXZ哈密顿量，

(11)

其中 表示最近邻位点对。在一维闭合边界条件下，式(11)简化为

(12)

我们关注有序相区域 且 ，此时Ising相互作用占主导地位。有效哈密顿量(9)中的领头阶项对应于 时的XXZ模型。为了研究自旋翻转团簇的动力学，以完全极化态 作为参考态是方便的。尽管该态对应于反铁磁区域中的最高能构型，但它提供了一个简单直观的参考背景，使翻转自旋能够传播、相互作用并形成束缚态。在这个图像中，单个翻转自旋 （即磁振子）扮演了可移动粒子的角色，从而实现对其动力学的清晰描述。两个磁振子可以形成束缚态 ，此处称为二聚体，其能量不同于自由磁振子。XXZ模型还支持多粒子束缚态[4,19,22,23]，这里我们考虑三个相邻自旋翻转的情况：一个"三重态" 。三重态的存在和稳定性可以通过微扰方法理解，即考虑由与 成正比的自旋交换项弱耦合的状态子空间 。有效低能哈密顿量具有紧束缚模型的形式：

(13)

其中 表示定域在位点 处的三重态， 是三重态的在位能量， 是有效跃迁振幅。由微扰理论可得

(14)

其中 且 是闭合边界条件下链的位点数量。三重态跃迁振幅为

(15)

其中唯一相关的虚态是具有 和 形式的自旋构型，它们与三重态流形的能量差为 。由式(13)，三重态色散关系为

(16)

需要强调的是，上述描述的三重态能带仅代表固定总磁化强度 情况下完整能谱的一个子集，如图2(a)和2(b)所示。在该子空间中，还发现三个自旋向上不相邻的状态，例如两个邻近自旋和一个分离自旋的构型（即上面用于实现三重态迁移的那些），或者三个完全分离的自旋。这些构型在能谱中产生额外的能带，形成束缚态能带和散射连续谱。

图2. XXZ模型及其Floquet修正中的三重态性质。(a) 闭合边界条件下 位点 子空间中一维XXZ模型(式(11))的能谱，作为 的函数。当 时，三重态能带表现为一个狭窄的高能带，与较低能量的散射态分离。黑色竖直虚线标记了参考值 ，对应于式(9)中领头阶XXZ项的值。(b) 子空间的分动量解析能谱。上方的孤立分支对应于正文中讨论的三重态能带。(c) XXZ模型在 处不同磁化子空间（ , 2, 和 3）中最高能带的比较，突出了磁振子、二聚体和三重态的不同色散。(d) 贡献于有效哈密顿量中三重态传播的关联第三近邻跃迁过程的示意图。(e) 三重态能带的带宽，来自式(9)，作为Floquet参数 的函数，分别对应完整有效哈密顿量（蓝色线）和简并模型（橙色线），后者去除了关联第三近邻跃迁项[式(9)第四行]。黑色星号标记了正文中使用的 的选择值。

从微扰的角度来看，只要三重态能带与散射态保持分离，三重态的相干传播就是明确定义的，即在 足够小的值时。随着 增大，三重态能带能量降低并最终与散射连续谱重叠，触发三重态向较低自旋组分（即磁振子和双磁振子束缚态）的转化。

将三重态识别为相干准粒子的关键要素是总磁化强度的守恒，即U(1)对称性。从图2(c)中的能带结构可以看出，三重态能带在能量上可以与单磁振子态以及其他共享相同畴壁数但自旋数不同的弦状激发重叠，例如二聚体束缚态。如果没有磁化守恒，这种共振将允许这些子空间之间的混合，模糊三重态作为相干、长寿命模式的识别。

最后，值得一提的是，三重态的运动速度显著慢于其他激发。它们的有效跃迁振幅在微扰理论中以三阶出现，通过两个虚态实现，标度为 。相比之下，单个磁振子以 的一阶直接传播，而双磁振子束缚态以二阶跃迁，振幅为 。因此，与其他的能带相比，三重态能带看起来几乎平坦[图2(c)]，其群速度受到抑制。这种慢动力学可能是实验检测的制约因素，因为三重态的运动可能发生在比可用平台相干时间更长的时间尺度上。这促使我们努力寻找能够通过系统参数的适当工程化来增强其动力学和可见性的方案，正如我们在本文中讨论的，并在下一段中更具体地阐述。

B. 三重态动力学与SO(2)泄漏

引入关联长程跃迁过程的微扰可以显著增强三重态的迁移性，从而加快传播的时间尺度。一个具体例子是之前引入的有效模型，即式(9)，其中一个小参数 控制各种次近邻和更高阶的自旋相互作用。特别是，式(9)的第四行包含一个关联第三近邻跃迁项，形式为 。该项直接实现了三重态作为整体的相干跃迁过程，而无需虚中间步骤[见图2(d)]。然而，这种过程将与哈密顿量其余部分产生的过程发生干涉，尤其是领头阶XXZ项，并不保证其一定会增强迁移性。由于 和乘积 在三重态上是正的，该过程的整体符号也是正的。如上一段所述以及图2(a)–2(c)所示，XXZ三重态具有正跃迁的反转能带。因此，关联跃迁过程与它们建设性地叠加，导致迁移性的增强而非抑制。因此，三重态的有效群速度增加，相应的能带变得更加色散。图2(e)说明了这一效应，比较了 增加时三重态的带宽。式(9)中第三近邻关联跃迁的存在明显增加了三重态的带宽。为了将该过程的作用与其他的 -相关修正区分开，该图还将完整有效哈密顿量与一个简并模型进行了比较，后者仅移除了式(9)第四行中的关联第三近邻跃迁项。在此情况下得到的带宽表明，该项是对Floquet诱导的三重态迁移性增强的主要贡献，而剩余的 -相关项主要提供较小的背景重正化。

为了补充能带结构分析，我们研究了上述WAHUHA协议下XXZ哈密顿量中 位点链中的三重态动力学。我们发现三重态传播在精确驱动动力学下对于 （ ）仍然明确定义。二阶有效哈密顿量(9)提供了用于估计传播速度的参考束缚态色散，但信号的鲁棒性直接从驱动时间演化中评估。在该区域，我们观察到三重态传播速度相比未驱动的 情况增强了约30%。尽管存在U(1)破缺项，主导的快速动力学仍由三重态光锥决定，如下文进一步讨论。

我们通过使用三个互补可观测量监测初始乘积态 的量子行走动力学来支持上述结论。首先，我们监测局域磁化强度 的时间演化，这揭示了一个与从有效理论(9)获得的光锥速度 一致的相干弹道前沿[见图3(a)]。其次，我们计算了一个五点三重态关联函数，专门设计用于探测被自旋向下自旋包围的孤立三自旋束缚态[46,58]：

(17)

该关联函数清晰地描绘了在局域磁化强度中观察到的相同光锥结构[见图3(b)]。最后，我们量化了光锥内外包含的总磁化强度。我们发现光锥外的磁化强度保持很小且近似恒定，而锥内的磁化强度随时间增加。这表明不守恒磁化强度的过程主要比三重态传播更慢，并不妨碍其动力学的识别。总之，这些观察表明，在模拟的时间尺度上，驱动产生的不守恒磁化强度通道不会阻止对三重态传播前沿的识别（对于 ）。

图3. 在17位点链中精确驱动哈密顿量下三重态传播的时间分辨诊断（ 且闭合边界条件）。(a) 作为时间函数的局域磁化强度，显示出从中心三重态激发产生的清晰光锥结构。有效光锥（白色虚线）通过从束缚态色散中在精确能谱中三个相邻 点上用有限差分提取最大斜率来获得。(b) 三重态关联函数 的时间演化显示出弹道行为。虚线标记了 （ ）时的有效光锥速度，而红色点线显示了 （ ）时的速度以供比较。(c) 光锥内（绿色）、光锥外（橙色）和总磁化强度（蓝色）的时间演化。曲线的阶梯状结构源于晶格的离散性质。(d) 传播的单自旋磁振子的磁化强度和(e) 二聚体的磁化强度。

作为对比，我们也在相同的驱动哈密顿量下模拟了单个磁振子和双自旋二聚体的动力学，初始态分别由 和 给出。在两种情况下，我们都使用了与三重态情况相同的系统大小（ ）、驱动强度（ ）和闭合边界条件。相应的磁化强度分布如图3(d)和3(e)所示，说明了这些激发相比三重态更快的传播。我们检查了闭合边界条件下的动力学在具有足够多位点 的开放链上也能被复现，以最小化边界效应。

IV. 长程和高维效应

在前几节中，我们聚焦于具有最近邻相互作用的一维系统中的三重态动力学。虽然该设置捕捉了基本的物理机制并允许清晰的解析处理，但处理将模型更接近实验平台并开辟新方向的推广也很重要。这里我们考虑两个这样的扩展：长程相互作用的引入以及向二维晶格几何的推广。

A. 长程相互作用

最自然且实验上最相关的扩展之一是涉及长程相互作用的系统，与上面考虑的最近邻耦合相比。特别是，基于光学镊子捕获的里德堡原子的平台提供了实现具有可调长程偶极相互作用的自旋模型的天然环境[11,15,59]，替代的实现方案包括磁偶极原子[60]和极性分子[61–63]。里德堡系统通过偶极-偶极交换过程实现XY哈密顿量(2)，外部磁场决定相互作用的角结构。具体而言，式(2)中的原子-原子相互作用标度为 ，其中 是磁场与原子间轴之间的夹角[64]。这提供了一个方便的旋钮来调节原子-原子耦合中的各向异性以及符号。在本文中，我们考虑可以对所有原子对 和 选择角度 的晶格几何（例如一维链或二维晶格），从而获得衰减为 的各向同性偶极相互作用。更一般地，人们可以询问本工作的结果如何依赖于相互作用随距离衰减的方式，即 ，其中 是偶极情况。

这一动机源于束缚态的性质确实可以强烈依赖于长程尾 [21,65]，而不同实验平台提供了不同且可能可调控的长程耦合 [66]。前几节所呈现的弗洛凯分析可以推广到存在长程耦合的情形，得到类似于式 (9) 的有效模型，但其中包含额外的长程相互作用通道，包括打破的新的项 [参见式 (B8)]。为探究这些附加相互作用对三体动力学的影响，我们在 扇区内，针对不同 和弗洛凯强度 值，计算了三体带的最大群速度 [如图 4(a) 所示]，从而将分析限制在 对称项上。我们发现，随着 的减小，即随着相互作用变得更长程，三体的可迁移性显著增加，而动力学仍然被一条线性光锥有效约束 [67]。不仅自然（零阶）三体速度会增加，而且由二阶修正带来的额外增强在低 值下也会被放大。实时动力学结果支持了这一分析，显示所预测的速度对应于类似的传播锥 [参见 的图 4(b)]。具体而言，我们发现弗洛凯驱动诱导的增强比未驱动传播快高达60%。此外，与图 3(b) 中研究的最近邻情形的对比表明，传播时间尺度出现了明显的巨大改善。在此情形中，三体在经过 6 个隧道穿越时间 后到达边缘，而最近邻情形则是一个缓慢得多的过程，对于17个格位的链需要 45 个隧道穿越时间。

图4。(a) 从 的精确对角化光谱中评估得到的最大三体速度 ，对长程耦合 进行特殊化至 个格位、周期边界条件、 和 下，处于 扇区内，从而排除所有不守恒磁化强度的项。距离 取为周期链上的最短距离。下截断 对应于偶极情形。黑色星号标记了第 IV A 节中使用的 和 的选择。(b) 在精确驱动哈密顿量下，三体投影算符 的时间演化， 和 (偶极耦合)。与 情形 (红色虚线) 相比，我们观察到激发的速度有所增加。

近期的实验表明，本工作中所假设的特征相互作用强度和时间尺度与最先进的里德堡量子模拟器兼容。例如，Scholl 等人 [55] 和 Chen 等人 [68] 的里德堡实现中，实现了几个隧道穿越时间 ( ) 范围内的动力学，这处于如图 4 所示我们研究结果所需的范围内。

B. 二维几何结构

我们现在简要讨论将我们的分析推广到二维晶格几何结构，其中 (i) 三体态可以因高维几何结构而进一步获得额外的可迁移性，且 (ii) 三体态的能量隔离可以被观测到，从而提供一条抑制共振过程到其他磁化强度扇区的途径，这些共振过程在一维中被识别出来。

具体而言，我们聚焦于具有最近邻耦合的三角几何结构，如图 5(a) 所示，但其他几何结构可以提供具有不同特征的类似机制。如图所示，存在不同类型的紧致三自旋构型，通过其几何结构加以区分，可以具有12或14个畴壁。这相对于全极化态提供了能量代价 。相比之下，7自旋激发具有18–30个畴壁，能量代价为 。紧致三自旋构型有三种类型：三角形 (T) 以及线性 (L) 或椅形 (C) 态，如图 5(a) 所示。注意，由于畴壁计数的不同，T 构型与 L 和 C 构型并不简并。

图5. 二维三角晶格中的三体束缚态。(a) 三角晶格上紧致三自旋构型的示意图。(b) 有效哈密顿量的光谱 [参见附录中的式 (B8)]，大小为 的二维三角晶格， 格位， ，最近邻耦合，两个方向均为周期边界条件。图中显示了 扇区 (蓝色方块) 和 扇区 (红色叉) 中的能级，沿二维布里渊区中的动量空间路径。 扇区中最高能量分支似乎与较低能量的 激发以及 等更高自旋扇区均处于隔离状态。(c) 式 (11) 的三角晶格XXZ模型在 扇区中， 和逐渐增大 值下的光谱。在小 极限下，最高能量态被确定为紧致三自旋构型。它们随 增大的连续演化支持了对图 (b) 中孤立的能量分支的类三体解释。(d) T态的精确光谱与有效蜂巢晶格描述 (参见正文) 在不同布里渊区切面上的对比。

在图 5(b) 中，我们展示了小晶格 上式 (B8) 哈密顿量的精确对角化 (ED) 光谱，其中绘制了 和 两个扇区。

我们发现 扇区中存在一个孤立的高能量分支。为阐明该分支的性质，图 5(c) 展示了式 (11) 的三角晶格XXZ模型在 扇区中对应于该分支的动量分辨光谱随 变化的演化。在小 极限下，T、C 和 L 态近似为模型的本征态，最高能量态可以通过上述畴壁计数直接关联到紧致的 T 构型。特别注意，T 态有两种类型，取决于三角形朝上还是朝下。这产生了两条不同的 T 带。由于我们考虑 格位且 和 的系统，两个轴方向均为周期边界条件，全极化 (FP) 态的能量由最近邻链的总数给出，即 ，因此 。T 构型具有12个畴壁，对应能量 。C 和 L 构型具有14个畴壁，因此 。这些能量在图 5(c) 左面板中可以清晰识别。注意，随着 的增大，不同能带获得色散和带宽，因此它们开始重叠和合并。然而，上能带仍然与其余部分保持隔离和能隙。这支持了在图 5(b) 中将上态识别为三体带，与第 III B 节中讨论的一维三体带和图 2(b) 所示类似。

图 5(b) 中与 扇区的比较进一步表明，对于此处考虑的参数，该三体分支在能量上与之分离，从而抑制了来源于主导 破坏过程的耦合。此外，与图 5(c) 所示的零阶XXZ光谱相比，图 5(b) 中二阶弗洛凯项的引入似乎进一步使上分支与较低的 态之间形成能隙并加以隔离。这表明，弗洛凯诱导的修正不仅能够促进紧致三自旋激发的可迁移性，还可以促进其在三角几何结构中的谱分离。然而，二维中的完整时间依赖分析需要比迄今讨论的更高计算资源或策略，因此超出了本工作的范围。

图 5(b) 中使用的 值大于在一维动力学模拟中使用的值。增大 会增强本工作中讨论的二阶过程，同时预期会使高阶弗洛凯修正变得越来越重要。因此在三角几何结构中观察到的谱分离提示了一条可能的途径，即使在额外的磁化强度改变通道可能变得更重要的区域，也能保护紧致三自旋态。二维三角阵列对当前实验平台 [69,70] 也直接相关，提供了一种自然的环境，在其中可以进一步研究这些特征。

此外，与一维链不同的晶格中紧致三自旋激发的多能带结构为研究具有涌现拓扑性质的非平庸束缚态动力学提供了机会 [29,57]。特别地，遵循文献 [29]，并为了简洁起见聚焦于紧束缚T态的区域，它们的质心位于三角 plaquette 的中心。这个对偶晶格具有蜂巢晶格的几何形状。在主导阶上，最近邻 plaquette 中的T态通过二阶过程耦合，跳跃为 且 onsite 能量为 。因此我们期望T态的能带是类石墨烯的，即通过狄拉克锥接触的两条能带。图 5(c) 上方两条能带中可以看到这种物理和能带结构的迹象，受有限尺寸分辨率的限制，如图 5(d) 所示。增大 的值会导致这些能带与其他束缚态以及散射连续谱部分重叠。

V. 结论

在本工作中，我们探索了通过里德堡原子阵列实现的周期驱动自旋模型中三体束缚态的涌现与动力学。通过对底层的偶极XY哈密顿量施加WAHUHA型弗洛凯序列，我们获得了具有可调各向异性的有效XYZ模型，其二阶修正包括关联跳跃和多自旋相互作用。

我们的解析和数值结果表明，在近似守恒磁化强度的协议区域中，二阶弗洛凯项增强了三体的可迁移性，实现了更远距离的关联运动。尽管在弗洛凯二阶展开中存在打破磁化强度守恒的项，我们发现，在考虑的参数区域内，三体传播仍然可以被明确识别。二阶有效哈密顿量在小系统中定量地描述了被驱动的动力学，并为大链中主要局部传播特征提供了有用的描述。我们进一步发现，长程相互作用通过增加三体束缚态的有效可迁移性来增强其传播。此外，我们对二维三角几何结构的分析揭示了 扇区中孤立的高能量分支，提示了一维以上可能出现能量隔离的类三体束缚态。

这些发现为在可编程量子模拟器中研究和探索多体束缚态提供了一条途径。所考虑的参数区域直接适用于基于里德堡原子的当前实验平台，其中弗洛凯周期和相互作用尺度自然落在几微秒的范围内。此外，极性分子方面的最新进展也为我们的发现提供了替代设置 [71]。我们的工作为弗洛凯工程化的里德堡系统的超越主导阶分析提供了进一步支持，作为研究多体量子态非平衡动力学的工具。一个有趣的方向是分析替代脉冲序列 [72] 如何产生与本工作所分析的不同的相互作用通道，这可能显著影响多体态的可迁移性。