基于多阶段增长试验的Dirichlet分布导弹命中精度贝叶斯估计

《Journal of Systems Engineering and Electronics》：Bayesian Estimation of Missile Hit Accuracy for Dirichlet Distribution Based on Multiple Stages Growth Tests

　　

导弹通常需要经过多阶段试验来提高命中精度。现有的估计方法很少考虑导弹命中精度多阶段增长试验的特点，这给准确估计导弹命中精度带来了困难。考虑到导弹命中目标不同区域所造成的毁伤程度不同，研究人员基于贝叶斯方法（Bayesian method）选取Dirichlet分布（Dirichlet distribution）作为命中精度参数的先验分布。建立了各阶段试验命中精度参数之间的序列约束关系，构建了基于多阶段增长试验的命中精度贝叶斯估计模型。采用马尔可夫链-蒙特卡洛方法（Markov chain-Monte Carlo, MCMC）结合Gibbs采样（Gibbs sampling）来克服模型后验高维积分求解问题，完成模型求解。算例表明，与现有的单阶段试验方法相比，该方法能够融合多阶段增长试验信息，可为导弹研制期间命中精度的估计提供参考。

论文解读

一、研究背景与问题

导弹在研制和设计阶段可能存在精度缺陷，需要通过多阶段试验研究不断改进，最终提升命中精度。导弹命中精度试验具有多阶段增长的特征。受成本、环境等条件限制，难以开展大规模导弹命中精度试验，导致准确估计导弹命中精度存在困难。融合导弹命中精度多阶段增长试验信息，是提高导弹命中精度估计精度的关键。

现有的导弹命中精度估计方法主要包括贝叶斯方法（Bayesian method）、数值分析方法、蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation method）和深度学习方法。Li等人以反巡航导弹弹着散布服从二维正态分布为出发点，基于贝叶斯方法选取正态-逆Gamma分布（normal-inverse Gamma distribution）作为弹着散布参数的先验分布并求解后验分布，最终估计了反巡航导弹的命中精度。贝叶斯方法能够融合导弹命中精度的先验信息，克服小样本导弹外场射击试验数据信息不足的问题。Huang等人提出了解析拟合与数值拟合相结合的方法，构建动态修正的防空导弹命中精度估计模型，但数值分析方法需要获取导弹与目标的距离、速度、机动性等精确数值。Liu等人分析了机载导弹命中精度的主要误差形式和分布规律，采用蒙特卡洛方法模拟分析弹着点分布规律对命中精度误差值的影响，但该方法需要准确获取导弹命中目标的机理，否则适用性会降低。Bai等人构建了分类神经网络和回归神经网络，根据导弹命中精度试验数据集训练模型进行估计，但深度学习方法需要获取一定量的可靠训练数据。

上述研究方法在一定程度上提高了导弹命中精度估计的精度，但大多数现有方法是从导弹命中精度单阶段试验的角度进行研究，仅使用最新阶段的导弹命中精度试验数据，未能利用多阶段增长试验信息。对于受成本、环境等条件限制的小样本导弹命中精度试验，仅使用当前阶段试验信息量较少，给命中精度估计带来较大的误差风险。多阶段试验研究既能关注当前阶段命中精度信息，又能利用前序阶段命中精度信息，信息利用越充分，越能降低小样本试验估计的误差风险，提高估计的稳定性和可靠性。

在小样本试验研究中，贝叶斯方法能够融合先验信息以增加试验研究的信息量。对于弹着散布规律明显的导弹，利用弹着散布信息估计命中精度更为准确；若弹着散布规律不明显，则需要直接利用导弹命中目标的结果数据进行估计。现有研究以导弹命中目标的概率作为命中精度参数，选取Beta分布（Beta distribution）作为先验分布，但Beta分布只能描述导弹是否命中目标的命中精度。实际上，导弹命中目标不同重要区域所造成的毁伤程度不同，导弹命中目标不同重要区域的概率更能全面准确地表征命中精度，命中精度试验结果用多项分布（multinomial distribution）表示。Dirichlet分布作为多项分布的共轭先验分布，能够描述导弹命中目标不同重要区域的概率分布，因此基于贝叶斯方法选取Dirichlet分布作为导弹命中精度参数的先验分布更为合理。

二、主要技术方法

研究人员采用的主要技术方法包括：其一，贝叶斯推断方法，选取Dirichlet分布作为多项分布的共轭先验分布，融合先验信息与射击试验数据构建后验分布；其二，序列约束关系建模，根据多阶段增长试验中命中精度随阶段推进而提高的特征，建立各阶段试验命中精度参数之间的序列约束关系；其三，马尔可夫链-蒙特卡洛方法（MCMC）结合Gibbs采样（Gibbs sampling），通过参数采样模拟求解后验高维积分问题，使采样值满足所建立的序列约束关系，实现多阶段增长试验信息的融合。

三、研究结果

3.1 导弹命中精度参数的Beta分布

现有导弹命中精度试验主要依据导弹能否命中目标的试验结果数据，试验过程通常用二项分布（binomial distribution）描述，其中n为发射导弹数量，q为命中目标的导弹数量，θ为导弹命中概率即命中精度参数。针对导弹发射试验数量少导致命中精度估计误差风险大的问题，通常采用贝叶斯方法融合发射试验数据与命中精度先验信息进行估计，选取二项分布的共轭先验分布Beta分布作为命中精度参数的先验分布，其中a和b为先验分布的超参数。

3.2 导弹命中精度参数的Dirichlet分布

正常情况下目标由多个区域组成，导弹命中目标不同区域会对目标造成不同程度的毁伤。根据影响程度将目标划分为T个等级区域，每次发射导弹只能有一种命中结果，θ_i=P{S_i}表示导弹命中目标不同影响程度区域的概率，所有概率之和为1。当i=1时θ₁表示导弹命中目标无影响区域，当i=T时θ_T表示导弹命中目标重度影响区域即完全摧毁目标。在n次打击试验中事件S_i出现次数q_i构成的向量q=(q₁,q₂,?,q_T)服从参数θ=(θ₁,θ₂,?,θ_T)的多项分布。参照贝叶斯共轭先验分布族，Dirichlet分布是多项分布的共轭先验分布，其中α₁,α₂,?,α_T为先验分布中的超参数，Γ(α_i)为Gamma函数。用Dirichlet分布描述导弹命中精度参数的分布更为全面可靠。

3.3 单阶段试验导弹命中精度的贝叶斯推断

选取Dirichlet分布作为导弹命中精度参数的先验分布，利用贝叶斯方法融合先验信息与外场条件下的射击试验数据，构建命中精度参数θ的贝叶斯公式。得到的命中精度参数θ的后验分布仍服从Dirichlet分布，符合共轭先验分布的特征。后验期望值综合了命中精度的先验信息、总体信息和射击试验信息，信息利用更为全面。

3.4 单阶段试验导弹命中精度估计的MCMC求解

由于导弹命中精度参数θ维数较高，需要求解后验分布的高维积分问题以获得后验分布和后验期望。采用MCMC方法通过参数采样模拟求解后验分布。基本流程为：确定参数θ的初始状态，从原始子样本中选取初始值；构造马尔可夫链进行参数状态转移，当遍历均值达到收敛状态时确定马尔可夫链达到平稳状态；继续迭代转移生成新的点序列；去除马尔可夫链达到收敛状态前的点序列，选取新点序列作为参数θ的采样值，基于采样均值估计参数θ的后验期望值。由于参数θ维数高不易直接抽取样本，需要采用Metropolis-Hastings算法或Gibbs采样方法对后验参数进行采样。Metropolis-Hastings算法对提议密度函数要求过高，所选提议密度函数可能"过宽"或"过窄"从而影响采样结果性能。Gibbs采样方法对提议密度函数要求不那么严格，能更快"找到"目标后验分布，模拟数据中连续值之间的相关性较小，能获得更好的模拟性能，因此选取Gibbs采样方法求解。Gibbs采样方法将高维样本的复杂问题转化为每次只抽取一个参数的一维采样问题，便于采样实现。步骤包括：确定后验分布的一元条件分布；从原始子样本中选取初始样本进行迭代采样，从后验一元条件分布中抽取θ_i^(k)；选取马尔可夫链达到平稳状态的点序列均值作为参数估计值，最终获得导弹命中精度参数的贝叶斯估计值。

3.5 多阶段增长试验导弹命中精度的贝叶斯推断

导弹多阶段增长试验的命中精度随阶段推进而提高，命中精度呈增长趋势。导弹命中第i个及以上影响区域的概率∑_i^Tθ_i均随阶段试验推进而增大，其中i=2,3,?,T。各阶段试验命中精度参数之间存在序列关系：0<∑_i^Tθ_i1<∑_i^Tθ_i2<?<∑_i^Tθ_ir<1，其中r表示共进行r阶段导弹命中精度试验。为便于后续迭代采样，将该式转换为0<∑_i=1^tθ_ir<∑_i=1^tθ_i(r-1)<?<∑_i=1^tθ_i1<1，其中t=1,2,?,T-1。根据序列约束关系构建多阶段增长试验命中精度参数θ_j=(θ_1j,θ_2j,?,θ_Tj)的贝叶斯推断公式，融合各阶段试验的似然函数与先验分布，在满足序列约束关系的参数空间Ω上进行推断。

四、讨论与结论

算例表明，与基于单阶段试验的导弹命中精度贝叶斯估计方法相比，所提出的基于多阶段增长试验的方法能够融合多阶段增长试验信息。多阶段试验研究既关注当前阶段命中精度信息，又利用前序阶段命中精度信息，信息利用越充分，越能降低小样本命中精度试验估计的误差风险，提高估计的稳定性和可靠性。该方法可为导弹研制期间命中精度的估计提供参考。