利用系统可靠性方法，同时考虑多组数据进行贝叶斯更新

《Structural Safety》：Simultaneous Bayesian updating considering multiple sets of data using system reliability methods

　　• 提出了一种改进的BUS方法，可以同时整合多组数据。
• 将贝叶斯更新问题重新定义为并行系统可靠性问题。
• 开发了一种改进的子集模拟算法来解决系统可靠性问题。
• 该方法能够生成对应于所有可能数据组合的后验结果。

**引言**
随着监测技术的快速发展，可以方便且低成本地收集各种监测数据。在工程实践中，经常需要收集多组数据（例如[31]、[41]、[43]、[52]）。例如，如图1所示，可以安装多个传感器（例如应变计）来监测结构的响应。每个传感器产生一组时间序列数据，从而得到多组时间序列（见图1(a)）。或者，可以使用传感器阵列（例如位移传感器）来测量结构在横截面内的空间响应，并在不同的时间步长获得多组空间数据（见图1(b)）。此外，还可以使用不同的传感器或不同的测试方法来测量不同类型的响应，形成多种类型的数据集。例如，通常会进行一系列原位或实验室测试来测量某个地点的土壤特性（见图1(c)）。这些多组数据为同一工程结构的性能或同一地点的材料特性提供了有价值的信息，并且对于结构设计、施工、运营和维护至关重要（例如[18]、[23]、[40]、[45]）。因此，充分利用这些多组数据来推断材料特性、预测结构性能并量化相关不确定性非常重要（例如[29]、[33]、[44]）。同时，探索多组数据组合中蕴含的信息质量也具有重要意义（例如[10]）。

已经开发了多种数据融合方法，如确定性逆分析（例如[9]、[19]）、机器学习（例如[16]、[57]）和贝叶斯更新方法（例如[52]、[56]）。在这些方法中，贝叶斯更新方法是一种有效的工具，可以整合多源数据[42]、[51]并揭示不同数据集中蕴含的信息内容[10]。该方法将不确定参数建模为随机变量，并利用观测值更新其概率分布。传统上，贝叶斯更新问题通常使用拉普拉斯近似方法和马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）模拟方法来解决。拉普拉斯近似方法将参数的后验概率密度函数（PDF）表示为加权局部最优PDF[6]。MCMC是一种基于样本的方法，能够生成符合后验分布的随机样本[5]、[12]。为了提高其性能，已经开发了MCMC的几种变体（例如Ching和Chen，2007年；[47]、[55]）。值得注意的是，Straub和Papaioannou提出的结合结构可靠性方法（BUS）的贝叶斯更新方法为解决贝叶斯更新问题提供了新的视角。BUS将贝叶斯更新问题重新定义为等效的结构可靠性问题，从而可以通过现有的成熟结构可靠性方法（例如子集模拟SS[3]、[4]）得到解决方案。

然而，大多数先前的贝叶斯更新研究仅关注一组数据（先验知识也视为一组数据）。只有少数研究考虑了多组数据进行贝叶斯更新。常用的方法包括层次贝叶斯模型更新（HBM[7]、[35]、[36]）、序贯贝叶斯方法（例如[10]、[28]、[38]）和简化方法（例如[18]、[41]）。HBM能够有效地模拟分层结构中外部环境引起的参数不确定性，并通过整合来自不同来源的数据来进行准确的参数推断。序贯贝叶斯更新方法分多个步骤处理多组数据，每一步仅使用一组数据进行贝叶斯更新，然后将这一步得到的后验分布作为下一步的先验分布。然而，这种方法需要多次重复贝叶斯更新，当使用从后验样本得到的经验后验分布作为先验分布时，特别是在高维情况下，可能会导致不准确性（例如[53]）。简化方法仅使用一个简化似然函数来处理所有数据集的贝叶斯更新问题。当数据集较多时，构建似然函数可能比较复杂，并且该方法在处理单组数据时灵活性较差（例如[17]、[27]、[50]）。此外，当贝叶斯更新用于监测计划优化时，这些问题变得更加突出。在选择m个候选位置中的k个位置安装传感器时，存在Cmk=m!k!m?k!种可能的传感器组合或Cmk种不同的数据集组合。这需要使用简化方法或序贯方法重复运行Cmk次贝叶斯更新才能找到最优监测计划，这在计算上可能是不可行的（例如[43]、[45]）。例如，如果m=20（即可能的传感器候选位置数量）且k=10（即传感器的数量），那么Cmk为20!10!20?10!=184,756。

本研究旨在提出一种改进的BUS方法，称为具有结构可靠性方法的同步贝叶斯更新（SBUS），该方法可以通过单次执行同时整合多组数据进行贝叶斯更新，从而避免多次进行贝叶斯更新。SBUS的关键是将贝叶斯更新问题转化为具有多个组件的并行系统可靠性问题，每个组件相当于一个仅考虑一组数据的小型贝叶斯更新问题。这种方法提供了处理不同数据和似然函数的灵活性和鲁棒性。还提出了一种改进的子集模拟（MSS）算法，以灵活处理多个组件并高效解决系统可靠性问题。此外，所提出的方法可以在单次贝叶斯更新过程中生成对应于所有可能数据组合的完整后验结果。如上所述，数据组合的数量可能非常大。这些结果可能会揭示数据中蕴含的信息，并为监测计划提供指导。本研究分为八个部分。第2节简要回顾了作为起点的原始BUS。第3节介绍了提出的SBUS方法，第4节介绍了MSS算法。第5节描述了所提出方法的实施过程。然后，第6节和第7节通过两个示例分别对该方法进行了说明和验证。最后，第8节总结了本研究的主要结论。

**原始BUS（仅使用一组数据）**
假设有一组数据y?1=y?1,1y?1,2…y?1,N1，其中y?1,1,y?1,2,…,y?1,N1是N1个数据点（例如时间或位移的时间序列）。当使用这组数据进行贝叶斯更新时，不确定参数θ的概率分布可以更新为：
\[f_1(\theta | y?_1) = \frac{L}{\int_{\Theta} L y?_1 \theta f_0(\theta) \, d\Theta}\]
其中 \(f_1(\theta | y?_1)\) 是给定 \(y?_1\) 时θ的后验概率分布；\(L y?_1 \theta\) 是表示在参数θ为真时观察到 \(y?_1\) 的似然函数；\(f_0(\theta)\) 是先验概率分布。

**提出的SBUS方法**
本节介绍了将BUS从单组数据扩展到多组数据的方法。这种新方法在本研究中称为SBUS。SBUS的计算算法在第4节中有详细说明。

**改进的子集模拟（MSS）算法**
由于许多实际的贝叶斯更新问题比较复杂，例如涉及极低的故障概率或复杂的计算模型，直接的MCS可能不适合解决这些问题。因此，开发了多种高级方法，如定制的重要性抽样、基于分割的方法和SS，用于解决小故障概率的结构可靠性问题[3]、[11]、[20]、[21]、[30]、[54]。基于分割的方法主要用于……

**所提出方法的实施过程**
图6简要说明了结合MSS的SBUS的实施过程。主要步骤总结如下：
(1) 考虑一个具有m组数据 \(y?1,y?2,\cdots,y?m\) 的贝叶斯更新问题。指定N、NT、θ和θ的先验分布。设置 \(p_0 = 0.1\) 和 \(j = 0\)。
(2) 从它们的先验分布中生成N个随机样本 \(x = \theta^{\Pi}\)，即 \(x_k = \theta_k^{\Pi}_k\)，\(k = 1, 2, \cdots, N\)。设置 \(i = 1\)。
(3) 对于第i个组件，使用每个样本作为输入来计算 \(L_{y?i}^{\theta}\) 和似然函数 \(g_i = \pi_i^{c_i} L_{y?i}^{\theta}\)。

**示例**
- **悬臂梁模型**
首先使用Straub和Papaioannou[39]报告的悬臂梁示例来说明所提出方法的性能，特别是对于高维贝叶斯更新问题。如图7所示，悬臂梁的长度为L=5米，其自由端受到垂直力V的作用。在力V的作用下，梁的垂直挠度 \(W(x)\) 可以表示为：
\[W(x) = \int_0^x \int_0^x V L^{-1} x F(x) \, dx\]
其中x是从左端开始的距离；F(x)是梁的柔度。

- **场地特性分析示例**
Ching等人[14]和Cao等人[10]研究的场地特性分析问题也被用来验证所提出的SBUS和MSS的有效性。在岩土工程中，不排水抗剪强度Su是一个重要的土壤特性，但由于钻孔成本高，直接测量Su的次数通常非常有限，从而难以准确表征特定地点的Su。先前的研究（例如[13]、[14]）表明Su与……密切相关。

**结论**
提出了一种改进的BUS算法SBUS，可以通过单次运行同时解决考虑多组数据的贝叶斯更新问题。与将具有单组数据的贝叶斯更新问题转化为具有单个组件的等效结构可靠性问题的原始BUS相比，SBUS将具有m组数据的贝叶斯更新问题转化为具有m个组件的等效并行系统可靠性问题。还提出了一种MSS算法。

**作者贡献声明**
Xin Liu：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、验证、监督、项目管理、方法论、研究、概念化。
Taochun Jiang：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究。
Dianqing Li：撰写——审稿与编辑、监督、资源管理、项目管理、资金筹集。
Yu Wang：撰写——审稿与编辑、监督、资源管理、研究、概念化。
Kok-Kwang Phoon：撰写——