具有斜对称矩阵势的可积mKdV系统的二元Darboux变换构造

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Formulation of binary Darboux transformations for an integrable mKdV system with skew-symmetric matrix potentials

　　

摘要

本文致力于构造一个反对称矩阵可积mKdV系统的二元Darboux变换族。利用与正交李代数so(2m)相关的AKNS型Lax对，系统地发展了所提出的二元Darboux变换。从真空态出发，这些变换的应用产生了显式的孤子解。一个显著特征是，二元Darboux变换所基于的M-矩阵是在一个扩展框架中构造的，其中特征值与伴随特征值重合，从而产生广义Darboux变换。

引言

可积模型表现出丰富的相干现象结构，如孤子、呼吸子、团簇波和rogue波。Lax对是研究此类系统的起点，由两个线性矩阵谱问题组成[1]。逆散射变换[2]在此框架内发展用于求解初值问题，而Riemann-Hilbert方法[3]提供了另一种基于复分析分析其解析性质的替代方法。此外，Darboux变换(DTs)[4]、[5]提供了一种从已知解直接构造显式解的技术。

设u=u(x,t)为(1+1)维中的势，λ为谱参数。可积模型与两个定义其Lax对的线性谱问题相关联：

??=U?=U(u,λ)?，

??=V?=V(u,λ)?，

其中U和V为方阵。这些谱问题的可解性由相容性条件???=???保证，该条件确定了可积模型。容易验证，该相容性条件等价于零曲率方程[6]：

U??V?+[U,V]=0。

相应的伴随矩阵谱问题为

ψ?=?ψU，

ψ?=?ψV，

它们也在构造二元Darboux变换中起着关键作用。其相容性条件ψ??=ψ??给出相同的零曲率方程，因此不引入任何新的约束。

本文考虑一个具有两个反对称矩阵势p和q的可积修正Korteweg-de Vries(mKdV)系统：

p?=1/4(p????3pq?p?3p?qp)，

q?=1/4(q????3qx?p?3qpq?)，

p?=?p，q?=?q。

该系统由以下与正交李代数so(2m)相关的Lax对生成：

U=[λI? p; q ?λI?]，

V=λ3[I? 0; 0 ?I?]+λ2[0 pq; 0 0]?1/2λ[pq ?pxq; x?qp 0]+1/4[pq??pxq px??2pqp; q??pxqx ?2qpqq?px?qxpq]，

其中p和q为m阶反对称矩阵，I?为m阶单位矩阵。

我们专注于构造这个反对称矩阵可积mKdV系统的二元Darboux变换。二元Darboux变换通过规范变换实现（参见，例如，[7]）：

?′=S??，ψ′=ψS?，

S?=S?(u,λ)，S?=S?(u,λ)，

其中S?和S?互逆，可从所谓的M-矩阵公式推导得出（参见，例如，[7]中的一般框架）。变换需满足：

S??(S?)?1+S?U(S?)?1=U(u′,λ)，

S??(S?)?1+S?V(S?)?1=V(u′,λ)，

其中变换后的势u′定义为u′=f(u)。

相应地，?′和ψ′形成新的特征函数及其伴随，满足

??′=U′?′，??′=V′?′，

以及ψ?′=?ψ′U′，ψ?′=?ψ′V′，

其中U′=U(u′,λ)，V′=V(u′,λ)。

因此，变换后的特征函数?′和ψ′确保所得Lax对(U′, V′)满足与原Lax对相同的零曲率方程，其中u被u′替换。因此，变换后的因变量u′产生由(U, V)确定的可积模型的新解。

在现代孤子理论中，二元Darboux变换已被广泛应用于各种可积模型。两个代表性例子是非线性Schr?dinger(NLS)方程和mKdV方程（参见，例如，[8]–[9]）。n重二元Darboux变换的行列式表示已经为AKNS NLS方程和Gerdjikov-Ivanov mKdV方程发展出来[10]、[11]。这些二元Darboux变换能够产生N-孤子解，包括呼吸子、rogue波和团簇波作为特殊情况。对于具有特定结构的Lax对，通常还会在特征函数与伴随特征函数之间施加正交条件（参见，例如，[8]），特别是在特征值与伴随特征值重合的情况下。

在本文中，我们为上述反对称矩阵可积mKdV系统建立了一类二元Darboux变换。所得变换通过扩展的M-矩阵生成过程构造，该过程适用于特征值与伴随特征值重合的情况。应用所提出的变换一次即产生显式的孤子解。本文最后总结主要结果并提供结论性评述。

片段章节

一个反对称矩阵可积mKdV系统

设m为任意自然数。我们考虑以下可积mKdV方程的耦合系统：

p?=1/4(p????3pq?p?3p?qp)，

q?=1/4(q????3qx?p?3qpq?)，

其中p和q为两个m×m反对称矩阵。该系统由矩阵谱问题的Lax对生成：

??=U?，??=V?，

其中U和V与正交李代数so(2m)相关，由(1.5)给出。Lax对可写为：

U=U(u,λ)=λΛ+P，

V=V(u,λ)=λ3Λ+λ2P?1/2λΛ(P2?P?)+1/4([P,P?]+P???2P3)，

其中u=u(p,q)。

二元Darboux变换

我们考虑反对称矩阵可积mKdV系统(2.1)及其相关的Lax对定义(2.2)，其中矩阵U和V分别由(2.3)和(2.4)给出。

本节的目标是基于此Lax对公式构造一类二元Darboux变换。为了同时纳入特征函数和伴随特征函数，我们发展了一个扩展的M-矩阵框架，用于生成矩阵可积mKdV系统(2.1)的Darboux变换。

在第一小节中，我们……

结论评述

本文研究了基于扩展M-矩阵生成方案的具有两个反对称矩阵势的可积mKdV系统的二元Darboux变换。所得Darboux变换框架在分析矩阵mKdV模型的可积动力学中起着核心作用。从真空态出发，迭代应用这些二元Darboux变换产生了一大类显式精确孤子解。

此处呈现的例子与正交李代数so(2m)相关联，并突出了……

未引用参考文献[31]、[32]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]、[38]、[39]、[40]、[41]、[42]。

数据可用性

支持本研究结果的所有数据均包含在文章内。

CRediT作者贡献声明

Ma Wen-Xiu：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，方法论，调查研究，形式分析，概念化。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本工作的已知利益冲突。

Ma Wen-Xiu