(2+1) 维新 - 卡洛杰罗 - 博戈亚夫连斯基 - 施夫方程的 ˉ? 顺衣法与反常散射

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：The ˉ?-dressing method and anomalous scattering for the (2+1) dimension New-Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff equation

　　

摘要

我们提出了一种基于?ˉ-dressing方法和异常散射的新分析方法，用于求解(2+1)维New-CBS方程。该方法的核心在于通过Lax对的本征函数和Green函数构造散射方程。通过解析性分析和Cauchy-Green积分，逆谱问题得到了显式求解。本研究的关键贡献在于异常散射变换的应用：标准M-lump解由简单极点产生，而高阶极点则产生非标准lump解。值得注意的是，后者表现出独特的动力学特征，具体表现为时变速度和异常散射角。这些现象通过波形分析和轨迹分析得到了证实。

引言

首先，我们研究Tahami和Najafi [1]所讨论的一个通用(2+1)维非线性演化方程，其表达式为：

Vxt + VxVxy + pVxxVy + qVxxxy = 0，

其中p和q表示任意实参数。通过将这些系数特化为p=1/2和q=1/4，公式(1.1)的通用形式简化为经典的(2+1)维Calogero–Bogoyavlenskii–Schiff（CBS）方程：

Vxt + VxVxy + 1/2 VxxVy + 1/4 Vxxxy = 0，

在该模型中，波的非线性行为主要由对流项VxVxy和VxxVy驱动。历史上，CBS方程的数学框架由Bogoyavlenskii和Schiff独立开创，反映了不同理论分支的奇妙汇聚。Schiff提出的推导从根本上植根于自对偶Yang-Mills理论的背景，而Bogoyavlenskii则通过利用改进的Lax表示技术 [2]、[3]、[4] 探索了不同的路径。近几十年来，CBS方程家族引起了学术界的广泛关注。Yu等人 [5] 通过引入额外的横向非局域项1/4?x?1Vyyy，对(1.2)提出了一个重要的扩展。所得到的方程被称为新的(2+1)维CBS（New-CBS）方程，其形式为：

Vxt + VxVxy + 1/2 VxxVy + 1/4 Vxxxy + 1/4 ?x?1Vyyy = 0，

其中符号?x?1f = ∫f dx表示反导数算子。

在更广泛的(2+1)维可积系统景观中，已开发了若干高维模型来描述复杂的物理现象。这些系统在等离子体物理、流体力学、非线性光学以及各种场论等领域具有重要应用 [6]、[7]。具体而言，CBS型方程为理解Riemann波与长程波传播之间的相互影响和相互作用提供了关键的数学框架 [8]。

?ˉ-dressing方法最初由Zakharov和Shabat在其开创性工作中引入 [9]，已发展成为数学物理中的一个基本分析框架，并因其研究非线性演化方程的有效性而受到广泛关注。该方法现在被认为是一种系统而强大的方法，用于构造(2+1)维可积系统的显式解析解。基于这一理论基础，Dubrovsky及其合作者 [10]、[11] 对各种解的形态进行了详尽的研究，涵盖有理函数、线性和精确多极点构型。?ˉ-dressing方法的理论基础和形式化改进在Ablowitz、Zakharov、Fokas和Manakov的基础文献 [12]、[13]、[14]、[15]、[16] 以及权威专著 [17]、[18] 中有严格阐述。最近，由于该方法在求解微分方程方面的卓越效用，?ˉ-dressing方法再次受到重视，产生了一系列创新成果 [19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。例如，1983年，Ablowitz等人利用Lax对对(2+1)维KPII方程的逆谱问题实施?ˉ-dressing方案。随后，Doktorov和Leble的综合性专著 [27] 将各种dressing方法系统地综合在统一框架中。此外，Fan和Zhu [28]、[29] 将?ˉ-方法的应用扩展到探索(1+1)维方程在非零边界条件下的N-孤子解。

逆散射变换（IST）的应用已被严格推广到(2+1)维可积框架，KP方程 [30] 和Davey-Stewartson方程 [31] 作为典型示例。在这些高维系统中，局域化孤子结构，通常被识别为lump，从根本上与相关Lax对的离散谱相关联。过去几年，建立了大量分析框架来构造这些lump解。突出的方法包括正二次函数技术 [32]、[33]、[34]、长波极限方法 [35]、[36]、二元Darboux变换 [37] 以及奇异流形方法 [38]。与常规孤子不同，lump表现出独特的相互作用特征。具体而言，在典型散射事件中，碰撞后局域化波的传播速度和相位保持不变。然而，当相互作用的lump具有相同的渐近速度时，会出现一种称为异常散射 [39] 的独特行为。这些非常规结构通常称为多极点lump，与其本征函数中存在高阶极点密切相关。代表从[40]中详述的(2+1)维IST框架的重大突破，本研究基于[41]的工作独立于Fredholm积分方程和Green函数运行。该方法规避了与Green函数微分相关的繁琐数学运算，从而促进了对极点的直接残差提取以及Laurent级数系数之间底层联系的建立。与基于Hirota双线性理论的直接方法 [42]、[43]、[44]、[45] 相比，基于Lax对的方案提供了对解与离散特征值之间相互作用更深刻的理解。然而，该特定IST变体有其局限性；它在涉及连续谱的情况中特别难以应用，且所研究的系统必须严格满足Lax可积性。

聚焦于(2+1)维New-CBS方程，本研究采用基于?ˉ-dressing的逆谱方法。通过利用散射方程和Green函数系统地构造?ˉ-问题，推导出Cauchy-Green公式。我们利用Lax可积性条件揭示离散特征值与其相应解之间的依赖关系。与Green函数微分不同，当前框架直接提取残差并建立Laurent系数之间的联系。此外，我们详细研究了与简单极点和高阶极点相关的lump解。

论文的组织结构如下：第2节利用?ˉ-dressing技术和逆谱变换，推导了(2+1)维New-CBS方程的本征函数和相关Green函数。随后，通过发展基于解析性分析的散射方程来构建?ˉ-问题，实现方程解的系统表示。第3节利用Lax可积性条件和本征函数推导简单极点解和标准M-lump解的显式公式，并通过波形图和普通轨迹图进行展示。第4节聚焦于使用异常散射方法的高阶极点解。我们特别给出了简单+双极点和简单+三极点lump解，以及非平凡散射角的公式。最后，第5节给出了我们的结论。

Lax对与特征函数

首先，我们简要回顾?ˉ-dressing方法以及后续讨论所需的基本符号约定。我们考虑以下矩阵值?ˉ问题：

?ˉΞ(x,t,?) = Ξ(x,t,?)T(x,t,?)，

并附加渐近约束，当|?|→∞时Ξ→I。这里I表示单位矩阵，T(x,t,?)表示谱变换。Ξ和T是2×2矩阵。可以证明?ˉ系统(2.1)的解可以用以下积分形式表示。

带有Laurent展开的本征函数

为了构造lump解，从Lax对方程(2.5)中，我们得到线性系统：

{L1ψ = (?x2 + Vx + ?y)ψ = 0,
L2ψ = (?x2?y + 1/2 ?y2 + 1/2 Vy?x + Vx?y + 3/4 Vxy - 1/4 ?x?1Vyyy + ?t)ψ = 0}。

通过应用色散关系将谱参数λ引入本征函数的结构中：

ψ(x,y,t;λ) = ε(x,y,t;λ) e^{i(λx - λ2y + 1/4 λ?t)}。

将色散关系(3.2)代入线性系统(3.1)：

{εxx + εy + Vxε + 2iλεx - (1+i)λ2ε = 0,
εt + εxxy + 1/2 εyy + 2iλεxy - iλ2εxx + (2λ3 + 1/2 Vy)εx + (Vx - λ2 - …)}

(2+1)维New-CBS方程的异常散射

Lump解

虽然第3节对正常散射进行了全面描述，但异常散射区域引入了更大的复杂性。正如[39]所指出的，当lump表现出退化渐近速度但不同碰撞行为时，就会出现这种现象。这些异常现象与具有高阶奇点的本征函数ε(λ)密切相关；具体来说，多极点lump解由……极点的出现来表征。

结论

在本文中，我们介绍了一种系统方案，旨在通过采用?ˉ-dressing方法获得(2+1)维New-CBS方程的解。在初步定义特征函数和Green函数之后，本研究详细阐述了相关?ˉ-问题的构造和逆谱理论的建立。值得注意的是，?ˉ-dressing方法有效地解决了在局部Riemann-Hilbert方法在……情况中遇到的分析障碍。

未引用引文、缺失引文、图2

作者贡献声明

Jingjing Ge：撰写——初稿。Kun Zhu：撰写——审阅与编辑、验证。Yi Zhang：撰写——审阅与编辑、监督、方法论。

利益冲突声明

作者确认在研究和论文发表方面不存在利益冲突。

Jingjing Ge | Kun Zhu | Yi Zhang