非等谱 KdV 层级的柯西矩阵方法

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Cauchy matrix approach to the nonisospectral KdV hierarchy

　　

• 将柯西矩阵方法推广到非等谱KdV层级。• 建立了整个非等谱KdV层级解的τ-函数表述。• 为非等谱KdV方程推导了显式的N-孤子和多极点解。

引言

非等谱可积方程自然产生于经典等谱系统的形变，其中相关的谱参数随自变量变化。这类方程在物理和数学背景下都具有特殊意义，并被广泛用于描述非均匀介质中非线性波的演化[1]、[2]、[3]、[4]，其中谱参数的时间依赖性导致孤子波的振幅和速度发生变化。因此，构建非等谱可积层级及其精确解一直备受关注。迄今为止，已开发出多种解析方法来研究非等谱可积方程，包括逆散射变换[1]、[4]、[5]、[6]，Hirota双线性方法[7]、[8]以及Darboux变换[9]、[10]。

柯西矩阵方法是构建可积方程及其精确解的一种直接方法。该方法起源于Nijhoff及其合作者在离散可积系统背景下的工作[11]。受此工作的启发，发展出了一种广义柯西矩阵方法，并将其应用于推导连续和离散可积系统的各类解[12]、[13]。在过去几十年中，柯西矩阵方法已成功应用于广泛的可积系统，如椭圆Korteweg-de Vries (KdV)方程[14]，Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程[15]，修正KdV-sine-Gordon方程[16]、[17]，自对偶Yang-Mills方程[18]、[19]，带源KP方程[20]，非局域非线性Schr?dinger (NLS)和修正KdV方程[21]、[22]，非等谱方程[23]、[24]，多分量方程[25]、[26]以及作为离散和半离散可积方程[27]、[28]。

特别地，先前的研究试图在柯西矩阵方法框架内发展一种能够生成整个KdV层级的一般性框架。最近，Huang、Li和Zhang [29]利用该方法成功构造了等谱KdV层级，而相应的非等谱层级尚未建立。值得注意的是，非等谱KdV层级由于两个重要事实而具有特殊性。一是不具有无穷多对称性，这意味着无法通过形如$e^{kx+\sum_{j=1}^{\infty}k^{2j+1}t_{2j+1}}$的平面波因子来表示其解，其中在考虑$\omega t_{2n+1}$方程时，其他的$\{t_{2j+1}\}$可能充当无穷小参数。第二个事实是该层级中的每个方程都不具有自Darboux变换[9]、[30]。这意味着除非使用逆散射变换如[8]中所做的那样，否则很难获得整个非等谱KdV层级的行列式解。在本文中，我们基于柯西矩阵方法系统地构造了非等谱KdV层级及其精确解。此外，所提出的方法可以推广到其他具有柯西矩阵结构的非等谱可积方程。

本文的组织如下。在第2节中，我们介绍Sylvester方程和主函数$S(i,j)$，并讨论其基本性质。然后我们推导了带装饰柯西矩阵$M$、辅助向量$u(i)$和主函数$S(i,j)$的演化。基于这些结果，在柯西矩阵方法框架内构造了非等谱KdV层级的递推关系，并给出了相应的τ-函数。第3节提供了结论。

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总体方案

在本节中，我们建立了非等谱KdV层级的柯西矩阵结构。所需的Sylvester方程形式为
$$KM+MK = rs^T,$$
其中$r=(r_1,r_2,\cdots r_N)^T \in \mathbb{C}^{N \times 1}[x,t]$，$s=(s_1,s_2,\cdots s_N)^T \in \mathbb{C}^{N \times 1}[x,t]$，$K \in \mathbb{C}^{N \times N}[t]$，$M \in \mathbb{C}^{N \times N}[x,t]$。此外，Sylvester方程(2.1)的可解性由以下定理给出。

定理1[31] 假设$\mathcal{E}(K) \cap \mathcal{E}(-K) = \emptyset$，其中$\mathcal{E}(A)$表示矩阵A的特征值集合，则对于给定的K、r、s，Sylvester方程(2.1)有唯一解M。

结论

在本文中，我们将柯西矩阵方法推广到了非等谱KdV层级，并系统地研究了整个非等谱KdV层级相关的柯西矩阵结构和τ-函数。分析从引入非等谱色散关系的递推形式开始，这与传统设定有本质区别。在这一框架内，Sylvester方程中的矩阵K取为时间变量$t_{2n+1}$的函数。

CRediT作者贡献声明

田梦理：撰写——初稿、可视化、验证、方法论、概念化。李春霞：监督、资源。李飞：监督、资源。李月：监督、资源。姚玉琴：撰写——审阅与编辑、监督、资源、项目管理、经费获取。

利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

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