探索量子热机的操作灵活性：塔维斯-坎明斯斯特林循环中的敏感性、熵和效率

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Exploring Operational Flexibility in Quantum Heat Engines: Sensitivity, Entropy, and Efficiency in a Tavis–Cummings Stirling Cycle

　　

摘要

使用由两个全同的二能级原子耦合至单模光腔所构成的四态缀饰Tavis-Cummings工作介质，对量子斯特林热机进行了全面分析。该模型以Tavis-Cummings哈密顿量为基础，辅以偶极-偶极相互作用与Ising相互作用，在Tsallis统计框架下展开研究。基于有限差的数值敏感性分析揭示了三种不同的非线性区域：弱耦合区、中间过渡区和饱和区，在这些区域中，每个参数对循环性能的影响发生质的变化。运行模式图表明，通过选择合适的参数，该系统可被调谐为热机、制冷机、加速器或加热器运行。值得注意的是，增大Ising相互作用会极大地重塑相图：纯热机区域缩小，甚至在弱原子-场耦合条件下也会出现额外的加速器和制冷机瓣，这表明内部自旋-自旋关联增强了对外部控制的敏感性，使得在极小热偏差下即可实现模式切换。在热机工作域内，效率随耦合调制比趋近于1而下降，被更强的Ising耦合所抑制，并在偶极-偶极调谐下呈现有限的最优值。这些结果为设计多功能量子热设备提供了详细路线图，这些设备可在单一平台上跨多种热力学功能进行调谐。在热机工作域内，于所研究的参数范围内，计算所得效率始终显著低于相应的卡诺极限。

引言

热力学源于理解和改进推动工业革命的新技术需求[1]。如今，设备不可阻挡的微缩化趋势、对更高效率的不懈追求以及利用量子效应的前景，促使人们对微观尺度的能量转换进行根本性的重新思考[2]。在量子领域，鉴于叠加、相干和纠缠等独特的量子现象，经典的热力学原理必须重新审视，这些现象可显著改变热机的性能。量子热机（QHE）利用这些量子资源实现能量转换，在有限时间或有限资源条件下可超越经典性能基准，例如最大功率效率（如Curzon-Ahlborn效率），尽管绝对卡诺效率仍然是任何在两个热库之间可逆运行的热机不可逾越的上界。例如，相干性已被证明可同时提升功率和效率[3][4]，而量子统计本身即可作为引擎的工作燃料，使其在玻色-爱因斯坦凝聚态至Bardeen-Cooper-Schrieffer（BCS）交叉区域运行[5]。从囚禁离子热机[6]到原子碰撞驱动系统[7]的实验实现，已使量子热力学成为连接基础物理与纳米工程的一个成熟领域。

我们强调，本分析仅限于准静态可逆区域。假设工作介质在循环的每个阶段均与相应热库保持热平衡，未显式处理开放系统动力学、耗散或有限时间热化过程。尽管这一平衡假设在许多量子热机的理论研究中是标准的，但它限制了我们的结果直接应用于实际实验实现的适用性，因为实际系统是本质上开放的，受到退相干和有限时间效应的影响。完整的动力学描述需要采用主方程方法，如Lindblad或Davies形式体系，以模拟工作介质在等容过程期间的实时热化。此类扩展虽超出本研究范围，但代表了未来研究的关键方向。

人们已提出多种量子热机模型，所用工作介质从最简单的单个量子比特[8]到复杂的多体自旋链[9][10][11]、相互作用的玻色气体[12]以及Kitaev链[13]。热力学循环的选择也起着关键作用；Otto循环被研究得最为广泛[8][9][10][11][12][13]，而斯特林循环通过对耦合参数和热接触的独立控制提供了独特的优势[14][15][16][17]。近年来，基于不同自旋模型的斯特林热机引起了广泛关注，包括具有Dzyaloshinskii-Moriya（DM）相互作用的模型[18][19][20]、Heisenberg XXX和XYZ耦合模型[21][22]以及Lipkin-Meshkov-Glick（LMG）模型[23][24]，突出了纠缠、各向异性和磁场在循环性能中的作用。比较研究表明，在特定条件下，斯特林循环比Otto循环能更接近理想效率。例如，?akmak对一个相互作用自旋系统的量子斯特林循环和Otto循环进行了系统比较基准测试，发现斯特林循环在等效条件下比Otto循环产生更多功，并且在更宽的耦合强度范围内运行，凸显了斯特林循环在量子热设备中的热力学优势[25]。

量子热力学循环的理论框架由Quan等人[26]严格建立，他们将经典循环族推广到量子工作介质，为后续量子热机研究奠定了基础[26]。更新的研究表明，在量子临界点附近运行可同时提升效率和功率，为超越传统的效率-功率权衡提供了途径[27]。对不同类型量子循环的系统比较表明，工作介质和循环协议的选择显著影响性能，基于自旋的引擎尤其是一个多功能的测试平台[28]。向多体系统的扩展，包括自旋链-星形架构，进一步揭示复杂的内部相互作用可用于工程设计热力学响应，这一主题直接促使了我们本文对具有偶极-偶极和Ising耦合的Tavis-Cummings斯特林热机的分析[29]。

腔量子电动力学（QED）中的原子-光子相互作用为量子热机的实现提供了一个特别多功能的平台。Jaynes-Cummings模型，常被称为"量子光学的氢原子"[30]，描述了单个二能级原子与量子化腔模之间的相干相互作用。其推广到多原子的版本，即Tavis-Cummings模型，自然地纳入了集体效应，对于两个原子，包含了偶极-偶极和Ising型相互作用[31]。这类系统已在光学腔和电路QED等多种平台上以强耦合区域实现[32][33]，使其成为量子热力学的理想测试平台。

除平衡热力学外，Tavis-Cummings模型已被证明是研究广泛量子光学现象的多功能平台，包括退相干、纠缠动力学和开放系统效应。Frasca证明，在大量原子的极限下，Tavis-Cummings哈密顿量可以产生内在退相干，这是一种纯幺正效应，不需要与外部环境耦合。Chotorlishvili等人研究了具有动态Stark移动的双原子Tavis-Cummings系统中的纠缠猝死现象，揭示了纠缠猝灭与Stark移动参数之间的直接关系。这些研究共同表明，Tavis-Cummings模型及其变体不仅仅是理论构造，而是理解实际量子光学系统中退相干、纠缠和信息动力学的核心，这些主题与我们的热力学分析相辅相成[34]。

具有偶极-偶极和Ising相互作用的Tavis-Cummings哈密顿量不仅仅是一个理论抽象，还已在多个先进实验平台上得以实现。在电路量子电动力学中，嵌入传输线谐振器的超导transmon量子比特为该模型提供了理想的实现，具有固定的原子数和几乎相同的耦合[35]；典型的单量子比特-腔耦合强度约为数十到数百兆赫，集体耦合按√N倍于单量子比特值缩放。在光学腔QED中，利用微腔内光学晶格中囚禁的两个中性原子，以单点分辨实现了双原子Tavis-Cummings模型，耦合强度因腔几何结构和原子种类而异，范围从兆赫到吉赫[32]。在固态系统中，通过微波谐振器耦合的双量子点已成功用Tavis-Cummings模型描述，耦合能量约为数十毫电子伏。本研究所探索的参数——耦合比从0.1到2.0，Ising强度J从1到2.5（以单光子耦合为单位），偶极-偶极参数k从0.5到3——均在上述实验平台可及的范围内。

本工作聚焦于由两个二能级原子与单模腔场相互作用衍生出的四能级系统。这一选择基于多方面考虑。首先，它在保持解析可处理性的同时，捕捉了本质的多体效应——偶极-偶极和Ising相互作用，从而允许系统地探索这些内部耦合如何影响热力学性能[36][37]。其次，这些相互作用已知会影响纠缠动力学和量子关联，而后者已被证明在热机运行中起关键作用[35]。第三，四能级系统展现出丰富的运行模式景观，仅需调谐少数外部参数即可实现，为多功能量子热设备提供了平台。斯特林循环由两个等温过程和两个等容过程组成，特别适合这一工作介质，因为它允许在等温过程中独立控制原子-场耦合，在等容过程中控制热接触。近期研究表明，这种灵活性使得循环可通过改变耦合比和温度偏置在热机、制冷机、加速器和加热器模式之间切换。然而，对于具有可调Ising和偶极-偶极相互作用的四能级系统，系统地绘制这些运行区域的全面分析尚未有报道。

为描述该系统的热力学行为，我们采用Tsallis统计[36]。这一Boltzmann-Gibbs统计的推广特别适用于具有长程相互作用或非广延特征的系统，而后者正是具有集体耦合的Tavis-Cummings模型的典型特征[37][38][39]。熵指数q提供了额外的自由度，用以参数化熵的非广延（不可加）性质。尽管该指数可捕捉源于长程相互作用或有限尺寸效应的统计关联，但它并不量化纠缠、量子discord或相干性等量子关联。因此，q的作用与研究工作介质中量子资源的作用相辅相成，且在概念上截然不同。近年来，Tsallis统计在量子斯特林热机中的应用受到关注，相关研究比较了Tsallis统计与Shannon熵的预测结果，并探索了非广展性对性能区域的影响[40]。

尽管量子热机研究不断涌现，但尚未有报道系统研究四能级Tavis-Cummings斯特林热机，包括详细的敏感性分析和全面的运行模式图构建。特别是，循环对耦合常数、Ising相互作用和库温度的非线性响应，以及不同热力学区域的涌现，在很大程度上仍未被探索。因此，本工作的目标有三点。第一，在Tsallis框架下，将四能级斯特林循环的关键热力学量——熵、内能、功输出、热交换和效率——作为原子-场耦合比g?/g?、温度比T?/Tc、Ising强度J和偶极-偶极参数k的函数进行计算。第二，进行数值敏感性分析，以确定每个参数对性能影响发生质变的非线性区域。第三，在g?/g?-T?/Tc平面上构建运行模式图，揭示系统如何被调谐为热机、制冷机、加速器或加热器运行。

因此，本工作的目标有三点。第一，在Tsallis框架下，计算包含偶极-偶极和Ising相互作用的四能级Tavis-Cummings斯特林热机的关键热力学量——熵、内能、功输出、热交换和效率——并绘制其在耦合比、温度比、Ising强度和偶极-偶极参数上的完整参数依赖关系。第二，进行数值敏感性分析，以确定每个参数对性能影响发生质变的非线性区域。第三，在耦合-温度平面上构建运行模式图，揭示系统如何被调谐为热机、制冷机、加速器或加热器运行。尽管上述每个要素已在相关的自旋和腔QED模型中被探索，但在四能级Tavis-Cummings框架内系统性地组合这些特征提供了全面的表征，可作为设计可调量子热设备的参考。

我们注意到，本工作并未引入新的物理机制；相反，它在单一且自洽的框架内，对一种结合了若干此前已研究特征的特定模型——Tavis-Cummings相互作用、Tsallis统计以及多模操作——进行了系统而全面的参数空间分析。

**小节摘要**

**四级系统模型与Tsallis统计框架**

工作物质由两个相同的二能级原子与单模量子化腔场相互作用组成。该系统由扩展的Tavis-Cummings哈密顿量描述，其中同时包含偶极-偶极相互作用和Ising相互作用 [26]：

H = ∑(i=1,2) g(aσ?? + a?σ??) + k(σ??σ?? + σ??σ??) + Jσz,1σz,2

其中算符a和a?分别表示腔模的湮灭和产生算符，σ?±和σz,i分别是原子i的升降算符和泡利z算符。参数g表示……

**量子斯特林循环与热力学形式体系**

量子斯特林循环由四个可逆冲程组成：两个等温过程，在此期间工作物质与热库保持接触，同时原子-场耦合常数g发生变化；以及两个等容过程，在此过程中耦合保持不变，而工作物质依次与热库和冷库耦合 [20], [36]。我们强调，g?和g?分别代表同一原子-场耦合强度的初始值和最终值……

**结果与讨论**

下文呈现的所有数值结果均基于式(2)和式(3)的固定激发缀饰谱计算得出，平衡布居由TMP分布确定，每个冲程中交换的热量通过第一定律能量平衡获得。所得的熵、内能、热库热量交换、净功、效率、性能系数、灵敏度指标以及工作模式边界作为热力学和相互……的函数进行了分析。

**结论**

在本研究中，对基于Tavis-Cummings模型的四级量子斯特林发动机进行了系统研究。在Tsallis统计框架下，分析了在不同原子-场耦合比、温度偏差、Ising相互作用强度和偶极-偶极耦合条件下的热力学行为。主要发现总结如下。本工作的主要价值在于其对参数空间的系统表征，为调谐提供了详细的路线图……

未引用参考文献 [42]

**CRediT作者贡献声明**

Tianren Zhang：撰写—审阅与编辑，监督，方法论，调查研究。Li-Cai Zhao：撰写—初稿，软件，调查研究，概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明，他们不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

Tianren Zhang | Li-Cai Zhao