渐开线准锥齿轮的高阶齿面修形与性能评价

《Precision Engineering》：High-order tooth-surface modification and performance evaluation of involute beveloid gears

　　

•基于工作节锥啮合理论提出了一种渐开线螺旋齿轮副的高阶轴向齿面修形方法。•引入了沿齿宽方向的高阶修正曲线，并推导了修形渐开线准双曲锥齿轮的齿面方程。•修形渐开线准双曲锥齿轮通过五轴数控加工制造，并使用齿轮测量中心评估其加工精度。•基于传动测试进行了对比实验，获取了未修形与修形齿轮副在不同转速和载荷扭矩下的传动误差与传动效率。•高阶轴向修正有效抑制了传动误差波动并提高了传动效率。

1. 引言

渐开线准双曲锥齿轮因其齿厚沿轴向连续变化以及可通过轴向位移灵活调整侧隙的能力，被广泛应用于精密传动系统中。它们适用于平行轴、相交轴和交叉轴齿轮驱动等多种传动配置，并具有结构紧凑、安装适应性强和传动调整便捷等优势。这些特性使其成为船舶传动、机器人减速机、汽车传动系统及其他精密机械系统中的有力候选方案[[1], [2], [3]]。然而，优化其齿面几何形状以实现稳定的啮合性能仍是一项具有挑战性的任务。本研究专门针对一对平行轴的直齿渐开线准双曲锥齿轮，其齿厚沿齿宽方向线性变化。在理想的几何和装配条件下，平行轴直齿渐开线准双曲锥齿轮在啮合过程中表现出名义线接触和渐变的接触演化[4]。在实际系统中，制造偏差、装配不对中和载荷引起的弹性变形可能会干扰名义接触模式，导致局部边缘接触和载荷分布不均匀[5]。因此，有必要建立精确的齿面模型，开发有效的齿面修形方法，并通过实验评估渐开线准双曲锥齿轮副的传动性能。

关于渐开线准双曲锥齿轮的齿面建模、啮合特性分析和修形设计，国内外学者已开展了广泛的研究。精确的齿面模型是揭示其啮合机制、分析传动误差和进行齿面优化的基础。Chen等[6]提出了一种直齿内准双曲锥齿轮的加工方法，推导了内准双曲锥齿轮和外准双曲锥齿轮的数学模型，并进行了相应的承载接触分析。Sun等[7]基于切片法和最小势能理论提出了一种渐开线内准双曲锥齿轮的新型建模方法，并研究了各设计参数对平行轴准双曲锥齿轮接触特性的影响。?entürk等[8]开发了一种防止准双曲锥齿轮模型发生根切的数学方法。He等[9]研究了渐开线和非渐开线准双曲锥齿轮的动态接触分析方法和参数化建模。Yang等[10]建立了考虑机床调整误差的渐开线准双曲锥齿轮齿面数学模型，并提出了准双曲锥齿轮沿齿线方向和齿廓方向的齿面偏差定义及计算过程。Marino等[11]提出了一种基于共轭干涉的分析方法，用于确定任意轴线角度的螺旋渐开线准双曲锥齿轮齿面的精细几何形状。近期，Zhu等[12]研究了平行轴准双曲锥齿轮的非对称齿背接触力分布，Sciarra等[13]建立了直齿平行轴准双曲锥齿轮沿瞬时接触线的啮合刚度、载荷分配和接触应力的解析模型。

齿轮的微几何设计，也称为齿轮修形，近年来已成为一个重要的研究方向。Wang等[14]提出了一种用于齿面接触分析技术的齿廓修形计算方法。Yuan等[15]考虑了滚齿加工中的切削圆角特征，提出了一种谐波驱动的空间齿廓修形与优化方法，修形值基于柔轮齿运动轨迹的包络以及与刚轮齿廓的啮合关系确定。有限元结果表明，所提方法可将接触应力重新分配至齿的中部区域，增大有效接触面积并降低齿端的应力集中。Wang等[16]建立了具有装配误差的交叉轴准双曲锥齿轮啮合模型，对齿面进行了修形并开展了接触行为分析。Fuentes等[17]提出了一种改进的交叉轴准双曲锥齿轮传动方案，采用两种类型的齿廓鼓形修形来提高承载能力并降低噪声和振动响应。Morikawa等[18]通过疲劳试验研究了齿面修形对齿面损伤的影响。Liu等[19,20]提出了准双曲锥齿轮的凹形修形和凹凸组合修形，并研究了其对接触模式、传动误差、应力和不对中敏感性的影响。Ni等[21,22]开发了抛物线齿条刀具修形方法，并分析了理想条件和不对中条件下的接触特性。这些研究表明，微几何修形能够改善准双曲锥齿轮的承载接触行为。然而，大多数现有研究侧重于交叉轴配置或理论齿接触分析，修形直齿平行轴准双曲锥齿轮的传动性能实验评估仍然有限。近期，Liu等[23]研究了采用高阶曲线轴向修形的渐开线准双曲锥齿轮的理论齿接触和啮合特性。他们的工作为评估修形齿面的啮合行为提供了理论基础。然而，修形齿轮副的加工可行性和实验传动性能并未涉及。除了齿接触行为外，传动误差和传动效率也是评估修形齿轮传动实际性能的重要指标。Duan等[24]开发了一个刚柔耦合齿轮箱模型，通过考虑齿轮、轴、轴承和箱体的柔性来研究传动误差。Miler等[25]提出了一种面向效率优化的直齿轮副框架，考虑了载荷分布、沿啮合线的滑动速度和摩擦力。然而，现有研究通常要么集中于理论修形与接触分析，要么侧重于传统齿轮系统的性能评估，而针对修形直齿平行轴准双曲锥齿轮的传动误差和传动效率实验研究仍然有限。

本研究提出了一种高阶轴向齿面修形方法，以解决渐开线准双曲锥齿轮副中齿面接触不均匀、传动误差波动以及传动效率受限的问题。基于渐开线准双曲锥齿轮的空间啮合关系，建立了参数化齿面模型，并引入沿齿宽方向的高阶修形函数，推导出修形齿面方程。修形后的齿轮副通过五轴数控加工制造，并使用齿轮测量中心评估其加工精度。为验证所提修形的有效性，搭建了一台专用的齿轮传动测试台，对比了未修形与修形齿轮副在不同转速和载荷扭矩下的传动误差和传动效率。本研究为渐开线准双曲锥齿轮传动系统中齿面修形设计、精密加工和实验性能评估的集成提供了一种可行方法。

本文其余部分组织如下。第2节建立渐开线准双曲锥齿轮的数学模型并提出高阶轴向齿面修形方法。第3节描述五轴数控加工过程、加工精度评估以及齿轮传动测试台的搭建。第4节给出未修形与修形齿轮副传动误差和传动效率的实验结果及对比分析。最后，第5节总结了本研究的主要结论。

2. 渐开线准双曲锥齿轮建模与修形理论

建立了一个专用坐标系来描述渐开线准双曲锥齿轮齿面的生成运动学，如图1所示。齿条刀具由三个坐标系表示：法平面坐标系 $S_n(x_n, y_n, z_n)$、端面坐标系 $S_o(x_o, y_o, z_o)$ 和节平面坐标系 $S_c(x_c, y_c, z_c)$。螺旋角 $\beta$ 定义了 $S_n$ 与 $S_o$ 之间的空间方向，节锥角 $\gamma$ 描述了 $S_o$ 与 $S_c$ 之间的角度关系。运动坐标系 $S_j(x_j, y_j, z_j)$ 固定在渐开线准双曲锥齿轮毛坯上，而固定坐标系 $S_b(x_b, y_b, z_b)$ 作为参考坐标系，其原点位于齿轮毛坯端面的中心。在齿面生成过程中，齿条刀具法平面坐标系的原点 $O_n$ 由轴向参数 $u = O_pO_n$ 和螺旋角 $\beta$ 确定。齿轮毛坯绕其轴线以角速度 $\omega$ 旋转，同时齿条刀具以速度 $v = \omega \cdot r$ 进行平移运动，其中 $r$ 为渐开线准双曲锥齿轮的节圆半径。加工过程中齿轮毛坯的瞬时旋转角用 $\varphi_j$ 表示。基于上述坐标系定义以及齿条刀具与齿轮毛坯之间的相对运动，建立了渐开线准双曲锥齿轮齿面的数学模型。

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图1. 准双曲锥齿轮生成的坐标系

在齿条刀具的法平面坐标系 $S_n(x_n, y_n, z_n)$ 中，齿条刀具的法向齿廓向量表示为：

(1) $\mathbf{r}_n = [x_n, y_n, z_n]^T$

齿条刀齿面在节平面坐标系 $S_c(x_c, y_c, z_c)$ 中的位置向量通过对法向齿廓向量施加以下坐标变换得到：

(2) $\mathbf{r}_c = M_{cn} \cdot \mathbf{r}_n = [x_c, y_c, z_c, 1]$

其中，$\mathbf{r}_c$ 为坐标系 $S_c$ 中齿廓的位置向量。

$$M_{cn} = \begin{bmatrix} \cos\gamma & -\sin\beta\sin\gamma & \cos\beta\sin\gamma & u\cos\beta\sin\gamma \\ 0 & \cos\beta & \sin\beta & u\sin\beta \\ -\sin\gamma & -\cos\beta\cos\gamma & \cos\beta\cos\gamma & u\cos\beta\cos\gamma \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$M_{cn}$ 为从坐标系 $S_n$ 到坐标系 $S_c$ 的变换矩阵。

传统齿顶鼓形修形通常在齿宽方向上预设一个给定的修缘分布。对于本研究考虑的平行轴准双曲锥齿轮副，齿形和变位系数沿轴向连续变化，中部区域过度修形可能会不利影响有效承载区域和侧隙调整能力。因此，采用更高阶的轴向修形，以在齿宽中部提供相对平坦的区域，并在向两端过渡时逐渐增加修缘量。根据文献[23]中的齿面接触分析，最大修正量影响接触椭圆面积，而修正曲线的阶数影响传动误差及其峰值。因此，最大修缘量和曲线阶数被作为主要修形参数。在本实验研究中，驱动齿轮和从动齿轮均采用最大修缘量为10 μm的六阶修形曲线。

基于齿条刀齿面在节平面坐标系 $S_c$ 中的位置向量 $\mathbf{r}_c$ 以及加工过程中刀具与齿轮毛坯之间的相对运动，渐开线准双曲锥齿轮在运动坐标系 $S_j$ 中的齿面方程可表示为：

(3)
$$\mathbf{r}_j = \begin{cases} x_j = x_c\cos\varphi_j - y_c\sin\varphi_j + r(\cos\varphi_j + \varphi_j\sin\varphi_j) \\ y_j = x_c\sin\varphi_j - y_c\cos\varphi_j + r(\sin\varphi_j + \varphi_j\cos\varphi_j) \\ z_j = z_c \\ \varphi_j = \dfrac{n_{xc}y_c - n_{yc}z_c}{n_{xc}r} \end{cases}$$

其中，$x_j$、$y_j$ 和 $z_j$ 为准双曲锥齿轮齿面的位置向量，$n_{xc}$、$n_{yc}$ 和 $n_{zc}$ 为齿条刀齿面的单位法向量。

图2展示了渐开线准双曲锥齿轮原始齿面与修形齿面之间的几何关系。虚线表示原始齿面，实线表示修形齿面。变量 $u$ 沿齿宽方向定义，$v$ 沿齿廓方向定义。修形量 $\Delta$ 垂直于准双曲锥齿轮齿面施加。在运动坐标系 $S_j$ 中，此法向修形可分解为沿 $x_j$、$y_j$ 和 $z_j$ 轴的三个分量，即 $\Delta x$、$\Delta y$ 和 $\Delta z$。

(4)
$$\mathbf{r}_m = \begin{cases} x_m = x_j - \Delta x \\ y_m = y_j - \Delta y \\ z_m = z_j - \Delta z \\ \varphi_m = \varphi_j \end{cases}$$

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图2. 渐开线准双曲锥齿轮修形齿面

在对渐开线准双曲锥齿轮齿宽方向进行高阶曲线修形时，齿宽方向的修形量可表示为：

(5) $\Delta_u = a_{m0} \left(\dfrac{1}{2}B - u\right)^2 + a_{m1}$

其中，$a_{mi}$ 为准双曲锥齿轮的修形系数（$i = 0, 1$），$B$ 为准双曲锥齿轮的齿宽长度，$u$ 为齿宽方向与端面之间的距离。

图3展示了应用于渐开线准双曲锥齿轮的高阶轴向齿面修形示意图。

虚线表示原始齿面，实线表示修形后的齿面。参数Δmax表示施加在齿轮齿面上的最大修形量。

图3 高阶曲线轴向修形

渐开线准双曲面齿轮的变位系数沿不同轴向截面变化，导致齿面几何形状复杂，无法直接使用常规三维建模软件生成。为准确描述啮合齿面之间的几何关系，建立了渐开线准双曲面齿轮的数学齿面模型，并用于三维模型构建。设计过程中确定了关键几何参数，包括模数、齿数、压力角、螺旋角、分度锥角、齿宽和端面变位系数。同时考虑准双曲面齿轮副的啮合条件，以确保齿的啮合正确。基于上述推导，开发了内部程序来生成渐开线准双曲面齿轮齿面的点云模型，如图4所示。对于本文研究的直齿准双曲面齿轮，齿线方向平行于齿轮轴线，因此螺旋角为β = 0°。准双曲面齿轮副的基本参数如表1所列。

图4 准双曲面齿轮齿面的点云模型

表1 渐开线准双曲面齿轮副参数

| 参数 | 符号 | 主动齿轮 | 从动齿轮 |
|------|------|----------|----------|
| 齿数 | z | 27 | 37 |
| 模数 | m/mm | 2.5 | 2.5 |
| 压力角 | α/° | 20 | 20 |
| 锥角 | γ/° | — | 66 |
| 螺旋角 | β/° | 0 | 0 |
| 齿宽 | B/mm | 26 | 24 |

将所得齿面点云数据导入三维建模软件，通过曲面拟合程序重建为连续齿面。然后根据准双曲面齿轮大小端处的实际齿顶圆半径和齿根圆半径构建齿顶锥面和齿根锥面。通过将拟合后的齿面与这些边界曲面组合，生成了渐开线准双曲面齿轮的实体模型。图5展示了根据计算的齿面点云数据重建的完整修形渐开线准双曲面齿轮副三维实体模型。由于高阶轴向修形量在微米级别，在全比例实体模型中无法用肉眼区分。

图5 带修形的准双曲面齿轮副模型

## 3 变形齿轮修复的切削与试验方法

### 3.1 修形渐开线准双曲面齿轮的切削加工

渐开线准双曲面齿轮具有复杂的齿面几何形状，引入高阶轴向齿面修形后加工难度进一步加大。因此，常规齿轮加工设备无法满足精确生成设计齿面的要求。为确保加工精度，修形齿轮副采用HMU-280五轴数控机床制造，如图6所示。

图6 HMU-280五轴数控加工中心

基于高阶轴向齿面修形的渐开线准双曲面齿轮齿面方程，利用CAD软件从建立的三维几何模型生成相应的工程图纸。齿轮副的主要设计参数如表1所列。图7展示了渐开线准双曲面齿轮的加工流程。线切割工序用于制备准双曲面齿轮毛坯，CAM技术用于规划刀具路径并输出NC加工程序。五轴数控加工过程中，采用专用夹具装夹工件，并使用基准孔定位系统确保主轴系统中的稳定精确定位。加工前，使用高精度对刀装置标定刀具空间坐标，确保实际切削轨迹与理论齿面模型一致。不同加工阶段采用不同刀具策略。粗加工使用Φ12 mm硬质合金立铣刀以提高材料去除效率，精加工使用Φ8 mm硬质合金立铣刀以提高齿形精度和表面质量。

图7 渐开线准双曲面齿轮加工流程

加工完成后对齿端进行倒角处理，以提高齿轮副的啮合精度和使用寿命。随后进行淬火和回火处理，以提高渐开线准双曲面齿轮的表面质量。图8展示了加工完成的未修形和修形渐开线准双曲面齿轮试样。由于轴向修形量在微米级别，其几何特征无法从试样照片中直接辨识。随后使用齿轮测量中心评估几何加工精度。

图8 渐开线准双曲面齿轮试样

### 3.2 加工质量检验

使用图9所示的齿轮测量中心对加工完成的渐开线准双曲面齿轮进行加工质量评估，旨在验证加工过程的可靠性和齿轮的功能精度。将修形齿轮的设计齿形数据导入测量系统以生成测量轨迹。系统初始化后，选择1 mm测头，通过夹具和传动轴将齿轮固定在测量平台上。传动轴上端由测量主轴夹持，以确保测量过程中的稳定定位。然后将触发测头移动至指定测量点，执行测量以获得修形渐开线准双曲面齿轮的几何偏差。

图9 渐开线准双曲面齿轮测量中心

图10展示了修形渐开线准双曲面齿轮的齿距偏差和径向跳动测量结果。图中，fp表示单个齿距偏差，Fp表示总累积齿距偏差，Fr表示径向跳动。所有单个齿距偏差均在±10 μm以内，且近90%的测量值集中在±5 μm以内。总累积齿距偏差小于±15 μm，径向跳动保持在±10 μm以内。因此，所测齿距偏差和径向跳动满足允许公差要求，表明所制造的齿轮符合设计规范。

图10 渐开线准双曲面齿轮齿距误差测试结果

图11展示了修形渐开线准双曲面齿轮随机选取的三个齿的左右齿面齿形偏差测量结果。齿形斜度偏差、总齿形偏差和齿形形状偏差分别用fHα、Fα和ffα表示。根据ISO 1328-1:2013标准[26]，当法向模数mn = 2.5且齿面公差等级为8级时，fHα、Fα和ffα的允许限值分别为±14 μm、22 μm和17 μm。所选齿的测量偏差均在指定公差限值以内，确认修形渐开线准双曲面齿轮满足所需的设计精度。

图11 渐开线准双曲面齿轮齿形误差测试结果

### 3.3 齿轮传动试验台搭建

搭建齿轮传动试验台以研究修形渐开线准双曲面齿轮传动系统在动态工况下的传动特性、振动响应和运行稳定性。图12、图13分别展示了齿轮传动试验台的结构布局和数据采集系统。试验台主要由输入伺服电机、输出伺服电机、联轴器、输入输出轴、齿轮箱、传感器和数据采集系统组成。

图12 渐开线准双曲面齿轮传动试验台

图13 数据采集系统

齿轮传动试验台由输入伺服电机驱动，可实现等速旋转、变速运行和周期性载荷等多种工况的模拟。驱动转矩通过联轴器输入被测齿轮箱的输入轴，以确保稳定的动力传输。输出伺服电机作为加载单元，可实现恒转矩和动态转矩加载模式，以模拟实际工作条件下的输出端机械行为。在输入端和输出端安装高精度力矩传感器，测量运行过程中的力矩变化。输入力矩信号反馈至闭环控制系统以调节驱动电机输出。在输入轴和输出轴侧安装光栅速度传感器，获取传动误差计算所需的转速和角位移信号。此外，试验台集成了声学传感器和振动加速度传感器，同步采集齿轮箱辐射噪声和机械振动响应。采集的信号由多通道数据采集系统同步，传输至中央处理平台进行实时监控、可视化和特征提取。所测齿距偏差、径向跳动和齿形偏差均在指定公差限值以内，确认所制造的齿轮副满足所需的几何精度。

## 4 变形齿轮副修复的试验结果分析

将修形齿轮副的测量传动误差与相应的理论和仿真结果进行比较，以验证传动误差预测方法。同时，在相同工况下直接比较未修形和修形齿轮副的传动效率。

### 4.1 传动误差

本节传动误差测试的目的是验证修形准双曲面齿轮副的理论分析和数值仿真预测。因此，将修形齿轮副的测量传动误差与无载条件下的理论结果和负载条件下的仿真结果进行比较。这些比较用于评估修形齿轮副的预测传动行为与实验测量结果之间的一致性。

轴向齿面修形使齿轮副的啮合接触模式从线接触变为局部点接触。在运行过程中，从动齿轮的实际角位移偏离理论值，产生传动误差。对于渐开线准双曲面齿轮副，传动误差定义如下：

(6) φTE = (φg ? φ0g) ? (φp ? φ0p) · (z1/z2)

其中，φTE表示传动误差，φp和φg分别为主动齿轮和从动齿轮的实际转角，φ0p和φ0g分别为主动齿轮和从动齿轮的初始转角，z1和z2分别为主动齿轮和从动齿轮的齿数。

在渐开线准双曲面齿轮副的传动误差测试中，输入转速n设定为10和20 r/min，载荷力矩T设定为0、10和20 N·m，共获得六种工况。使用安装在齿轮传动试验台上的光栅传感器实时记录输入轴和输出轴的角位移。在无载条件下，利用齿面接触分析计算理论传动误差。对于主动齿轮的每个规定转角位置，求解齿面接触方程以确定从动齿轮的角位置，然后利用式(6)计算理论传动误差。修形齿轮副的测量传动误差在幅值和变化趋势方面与理论结果吻合良好。在负载条件下，测量曲线与仿真结果总体一致，但实验幅值受载荷力矩和系统因素的影响。这些结果支持了用于描述修形齿轮副传动误差行为的理论和数值模型的有效性。相应结果如图14、图15所示。

图14 无载条件下的传动误差

图15 有载条件下的传动误差

对比分析表明，在无载条件下，测量传动误差在幅值分布和总体变化趋势方面与理论结果吻合良好。输入转速对传动误差的影响相对有限。在负载条件下，测量传动误差曲线与仿真结果总体一致；然而，载荷力矩的变化对传动误差幅值有显著影响。

### 4.2 传动效率

传动效率 为了评估渐开线锥齿轮副在不同负载扭矩和输入转速下的传动效率，每种测试条件下采集了 100 个采样点。输入轴和输出轴的扭矩是使用安装在齿轮传动试验台上的扭矩传感器测量的。根据测量的扭矩数据，获得了齿轮副的传动效率。相应的结果展示在图 16 中。

下载：下载高分辨率图像 (350KB) 下载：下载全尺寸图像 图 16. 锥齿轮副的传动效率。

进一步进行了传动效率测试，以评估高阶齿面轴向修形所实现的性能改进。未修形和修形的渐开线锥齿轮副均在相同的工况下进行测试。输入转速 n 从 5 到 40 r/min，步进为 5 r/min，负载扭矩 T 从 5 到 20 N m，步进为 5 N m。对每种条件下获得的传动效率值进行了平均，以便进行直接的定量比较。图 17 展示了未修形和修形齿轮副在不同输入转速下，负载扭矩为 5、10、15 和 20 N m 时的传动效率。

下载：下载高分辨率图像 (642KB) 下载：下载全尺寸图像 图 17. 修形和未修形锥齿轮副的传动效率。

如图 17（修形和未修形锥齿轮副的传动效率）所示，在测试的所有负载扭矩和输入转速下，修形渐开线锥齿轮副表现出比未修形齿轮副更高的传动效率。当 T = 5 N m 时，两种齿轮副的传动效率都随着输入转速的增加而逐渐降低，而在高速区域，修形齿轮副的效率优势变得更加明显。当负载扭矩增加到 10、15 和 20 N m 时，效率曲线显示出相似的趋势：传动效率首先随着输入转速的增加而增加，在中速范围内达到峰值，然后随着输入转速的继续增加而下降。与未修形齿轮副相比，修形齿轮副在整个测试速度范围内都保持了较高的效率水平，尤其是在中高速和较高负载条件下。这种改进可以归因于高阶齿面轴向修形后优化的齿面接触行为，它减轻了边缘接触，改善了齿面上的载荷分布，并减少了啮合引起的能量损失。这些结果表明，所提出的修形方法可以有效提高渐开线锥齿轮副的传动效率和运行稳定性。

5. 结论 本研究开发并实验评估了一种用于渐开线锥齿轮的高阶齿面轴向修形方法。主要结论如下：
(1) 通过将齿面生成理论与齿轮副的空间啮合关系相结合，建立了一个高阶轴向修形模型。推导出的修形齿面方程能够实现沿齿宽方向的修形分布的连续控制，并为几何建模和修形设计提供了理论基础。
(2) 修形齿轮副使用五轴数控加工制造，并使用齿轮测量中心进行检测。测量的周距偏差、径向跳动和齿廓偏差均在规定的公差范围内，证实了所提出的加工方法的可行性和准确性。
(3) 使用专用齿轮试验台进行了传动测试。修形齿轮副的测量传动误差与理论和数值结果吻合良好，支持了所提出模型和预测方法的有效性。在所测试的运行范围内，修形齿轮副还实现了比未修形齿轮副更高的传动效率，表明所提出的修形可以改善传动性能。

未来的工作将调查加工偏差、轴不对中和载荷引起的变形的影响，并将在更广泛的运行范围内将所提出的方法与传统齿长鼓形修形及其他成熟的微观几何修形进行比较。

CRediT 作者贡献声明 Changbin Dong：写作 – 审阅与编辑，验证，监督，资金获取，概念化。Menglu Chen：写作 – 原始草稿，资源，数据管理。Jingru Guo：写作 – 原始草稿，软件，资源。Qi Chen：验证，资源。Yongping Liu：可视化，资源，资金获取。

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