一种具有更大行程范围且电压增加最小的静电驱动微悬臂梁的优化设计

《Precision Engineering》：Optimized design of an electrostatically actuated micro-cantilever for extended travel range with minimal increase in voltage

　　

• 提出了一种新型节能微型悬臂梁设计。
• 采用变异粒子群优化算法对微型悬臂梁进行优化。
• 优化后的微型悬臂梁在不显著增加电压的情况下延迟了吸合不稳定性。
• 微型悬臂梁的创新形状可部署于需要大吸合位移进行调谐的场景。

1. 引言
微机电系统（MEMS）本质上由传感器和执行器作为核心组件构成。静电驱动的微型悬臂梁作为执行器，由于其功耗低、易于制造和具有良好缩放性等实用特性，被广泛应用于MEMS器件中[1]。微型悬臂梁已成功应用于生物传感器、数字微镜器件、加速度计和MEMS开关等商业应用中[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。当施加的直流电压超过临界值时，静电驱动的微型悬臂梁会经历一种称为吸合不稳定的机电现象[7]。虽然吸合不稳定性在许多器件（如确定材料特性[8]）中是有益的，但它对许多器件的性能产生不利影响，如数字微镜器件（DMD）[9]、微谐振器[10]、生物传感器[11]以及原子力显微镜（AFM）光学杠杆的调谐[12]。许多研究人员通过数值和实验方法改进了MEMS/NEMS器件的性能。Zhang等人[13]提出了一种具有可调灵敏度的MEMS加速度计设计。Zhang和Zhang[14]研究了疲劳引起的微梁动态吸合不稳定性。Radi等人[15]研究了在静电力、范德瓦尔斯力或卡西米尔力作用下微型悬臂梁吸合不稳定的解析极值界。近年来，Dehkordi等人[16]研究了柔电效应对手动吸合不稳定的影响，随后Caron纳米管[17]也进行了稳定性分析。在本研究中，我们尝试延迟微型悬臂梁的机电不稳定性，使其在上述特定应用中更加高效。所提出的微型悬臂梁新型设计能够延迟机电不稳定性，且与参照的棱柱形微型悬臂梁相比不会增加驱动电压。

1.1. 微型悬臂梁的机电不稳定性
本节简要解释了吸合不稳定性的原理。当在两个初始间隙分离的电极上施加直流电压时，可变形电极会试图向固定电极变形。可变形电极会经历受控变形，直到输入电压接近临界值，这是由于直流电压施加的非线性静电力所致[2]。当可移动电极在达到临界电压后吸附到固定电极上时，器件变得无法工作。所观察到的不稳定性称为吸合不稳定性或机电不稳定性，该双稳态点的现象称为吸合。众所周知，这种运行不稳定性发生的主要原因是非线性静电力与线性弹性恢复力的相互作用。在双稳态点施加的电压称为吸合电压，可变形电极在该分叉点的位移称为吸合位移[18]。执行器的行程范围定义为在直流电压施加的非线性静电力作用下可移动电极的位移。电压逐渐升高，当达到临界值时称为静态吸合电压，相应的位移称为静态吸合位移。如果电压突然施加并达到临界值，坍塌点的电压和位移分别称为动态吸合电压和位移。

1.2. 变异粒子群优化
粒子群优化（PSO）是一种成熟的方法，建立模拟鱼类和鸟类在觅食时社会行为的模型[19]。它是一种无梯度算法，已成功应用于解决复杂优化问题[20]、[21]。近年来，由Trivedi等人[7]提出的变异粒子群优化（MPSO）作为基本粒子群优化的一个变体，被用于解决复杂优化问题。在MPSO中，对表现最差的粒子也赋予权重，并调查了一个或多个局部最小值包围的全局最小值的潜在存在。MPSO算法在计算时间与PSO相当，并且对接近全局最优的优化结果建立了信心。MPSO成功部署于使用参数函数对悬臂梁和固定-固定微梁进行形状优化，这些参数函数对驱动电压的上升没有限制[7]。

1.3. 行程范围增强
机电不稳定性是静电微型悬臂梁在各种应用中（如数字微镜器件（DMD）[22]、微谐振器[10]、生物传感器[11]以及原子力显微镜（AFM）光学杠杆调谐[23]）的主要限制因素。具有矩形截面的棱柱形微型悬臂梁可移动至固定和可移动电极之间初始间隙的45%。研究人员使用各种方法来改善这些器件的效率，例如Nadal-Guardia等人[24]部署了主动控制策略来扩展行程范围，其中包括主动控制电路。Legtenberg等人[10]使用弯曲电极来解决机电不稳定性问题。Joglekar和Pawaskar[25]使用Nelder-Mead算法进行形状优化以改变微梁的宽度。Trivedi等人[18]使用模拟退火优化技术改变微梁的宽度和厚度。在微梁形状优化中[25]、[26]，定义了参数连续函数用于沿微梁跨度平滑变化宽度和厚度，然而行程范围的提升是以电压上升为代价的。Abdalla等人[27]对微执行器进行形状优化以增强其结构设计，从而提高静态吸合电压阈值。他们忽略了边缘场效应和几何非线性。近年来，微和纳米水平的非线性挑战通过使用包含分形分数微积分和分形-分数人工智慧的多元方法得到了很好的解决[28]、[29]。

从文献综述中，为增强吸合不稳定性，下一节定义了本研究的动机和问题定义。

1.4. 动机和问题定义
从各研究人员的成果中观察到，在双稳态点时两个电极之间超过50%的初始间隙未被利用[30]。由于微型悬臂梁的机械刚度和分布静电力受几何形状的影响，利用它是最受青睐的增强吸合参数的解决方案之一。大多数文献报告在提升行程范围时显著增加了驱动电压[25]、[31]、[32]。吸合电压上升的主要限制之一是固定和可移动电极之间流体的介电击穿。因此，本研究的主要动机是提出一种新型设计，在不增加或仅极少增加驱动电压的情况下（与参照的棱柱形微型悬臂梁相比）增强吸合位移。因此，考虑的问题定义为：静电驱动微型悬臂梁的创新设计，以实现扩展的行程范围且驱动电压增加最小。采用变异粒子群优化（MPSO）对提出的微型悬臂梁几何形状进行优化。

2. 微型悬臂梁机电不稳定性力学
本节讨论了估计静态和动态吸合不稳定性以及使用Rayleigh-Ritz能量法提取微型悬臂梁吸合参数的方法。估计的吸合参数通过与现有文献和有限元分析软件进行对比验证。图1展示了由直流电压施加的静电力驱动的棱柱形细长微型悬臂梁的3-D实体模型。它具有以下物理特性和尺寸参数。
i. ?E - 微型悬臂梁材料的杨氏模量。
ii. ν - 微型悬臂梁材料的泊松比。
iii. ?ρ - 微型悬臂梁材料的密度。
iv. ?ε - 固定和可移动电极之间间隙或自由空间的介电常数。
v. ?L - 微型悬臂梁的长度。
vi. ?x, ?y, ?z - 坐标。
vii. ?V - 微型悬臂梁和固定电极之间施加的直流电压。
viii. ?w_p - 棱柱形微型悬臂梁的宽度。
ix. ?t_p - 棱柱形微型悬臂梁的厚度。
x. ?I - 棱柱形微型悬臂梁的惯性矩。
xi. ?g_p - 棱柱形截面微型悬臂梁中平面与固定电极之间的间隙。
xii. ?A_p - 固定电极与棱柱形微型悬臂梁之间的重叠面积。
xiii. ?I_p - 棱柱形微型悬臂梁的惯性矩。
xiv. ?w(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处的宽度。
xv. ?t(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处的厚度。
xvi. ?I(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处的惯性矩。
xvii. ?g(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处的中平面与固定电极之间的间隙。
xviii. ?A(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处与固定电极之间的重叠面积。
xix. ?u(?x) - 非棱柱形微型悬臂梁在?x处的位移。

本文中所有带帽子符号（?）的变量代表有量纲的量。对于宽微型悬臂梁，有效杨氏模量可定义为?E = ?E/1-ν2（?w ≥ 5?t）。重新阐述作为执行器工作的静电驱动微型悬臂梁的工作原理如下：在静态模式下，逐步施加直流电压，惯性的影响可忽略不计，它会有控制地将微型悬臂梁向固定电极变形。这种变形是由电压?V诱发的非线性静电力引起的。当施加的电压增加到临界阈值时，可移动电极变形并吸附到固定电极上，此时发生静态机电不稳定性。

图1. 棱柱形微型悬臂梁组件实体模型。

在动态模式下，施加的直流电压迅速增加，需要在数学建模中考虑微型悬臂梁的惯性。当直流阶跃电压超过临界阈值时，诱发的静电力导致可移动电极不可控位移。这种发生在双稳态点的现象称为动态吸合不稳定性。该临界阈值处的电压称为动态吸合电压，相应的位移称为动态吸合位移。

在所提出的新型设计中，使用多项式函数沿微型悬臂梁长度变化厚度和宽度。吸合电压和位移与参照的棱柱形微型悬臂梁进行比较。为比较非棱柱形和棱柱形微型悬臂梁的吸合参数，主要约束条件是：(i) 棱柱形和非棱柱形微型悬臂梁的重叠面积应相同。(ii) 棱柱形和非棱柱形微型悬臂梁的体积应相同。变异粒子群优化用于微型悬臂梁沿长度的材料再分配。考虑的问题是一个非线性优化问题，在设计变量的最大值和最小值内存在许多不连续性。在第3节中，讨论了寻找微型悬臂梁静态和动态吸合参数的方法，并将获得的参数与现有文献进行了比较。

3. 提取吸合特性的方法
图2展示了具有矩形截面的棱柱形微型悬臂梁示意图，图3展示了作为静电执行器工作的非棱柱形微型悬臂梁组件示意图。为提取静态吸合参数，电压逐步施加，并在吸合点达到临界值。吸合参数使用Rayleigh-Ritz能量法估计。

图2. 静电棱柱形微型悬臂梁示意图。
图3. 非棱柱形微型悬臂梁组件示意图。

3.1. 静态吸合参数估计
所提出的微型悬臂梁的势能有两大主要贡献者：由于梁弯曲产生的应变能和包含边缘场效应的静电势能[2]。微型悬臂梁的总势能写为(1)，

(1) ?Π = ?E/2 ∫??? ?I(?x) d2?u(?x)/d?x2 d?x - V2_DC/2 ∫??? ?ε?w(?x)/[?g(?x) - ?u(?x) + 2?ε/π(1 + ln(π?w(?x)/[?g(?x) - ?u(?x)]))] d?x

考虑到棱柱形微型悬臂梁的宽度?w_p和厚度?t_p作为基准，新型微型悬臂梁的宽度?w(?x)和?t(?x)可定义为：

(2) ?w(?x) = ?w_p · w(x)
(3) ?t(?x) = ?t_p · t(x)

电极之间的间隙变化描述为：
(4) ?g(?x) = ?g_p + [?t(?x)/2 - ?t_p/2]

在计算静态和动态吸合参数的归一化形式时，使用微型悬臂梁（作为可移动电极）中平面与固定电极之间的距离作为归一化参考。为概括分析，引入以下归一化参数：

(5) x = ?x/?L, u(x) = ?u(?x)/?g_p, ζ = ?w_p/?g_p, η = ?t_p/?g_p.
(6) γ = ?E/?E_eff, w(x) = ?w(?x)/?w_p, g(x) = ?g(?x)/?g_p.
(7) V2_DC = ?ε?w_p?L?V2_DC / (2?E?I_p?g3_p), t(x) = ?t(?x)/?t_p.
(8) A(x) = ?A(?x)/?A_p, ?A_p = ?w_p?t_p, I(x) = ?I(?x)/?I_p.

其中，拉伸比η指定了几何非线性。

利用通过公式(5)、(6)、(7)、(8)定义的术语，归一化势能方程写为，(9) Π = (1/2)·?Π·L?3·ê·??·??/?2。微悬臂梁的归一化位移可由以下公式预测，(10) u(x) = c?·φ(x)。其中，由φ(x)定义的形函数满足运动学边界条件。公式(10)用于确定静态和动态拉入位移。其中，c?是一个常数，表示静态工作条件下φ(x)的缩放。在静态模式下，变形u(x)与时间无关，仅依赖于长度坐标x。静态拉入参数被表征为分隔稳定平衡状态和不稳定平衡状态的分支点。静态拉入参数的值可通过公式(11)[30]获得：(11) dΠ/dc? = 0，d2Π/dc?2 = 0。公式(11)通过使用自制的MATLAB程序进行数值求解，该程序基于二分法和割线法开发了用于求解方程根的功能。对于数值积分，采用了多步梯形法则。常数c? = c??和V_D-C = V??通过公式(11)确定。下标"ps"表示静态条件下的拉入。表1. 将文献中的数据与使用所提方法生成的棱柱形微悬臂梁的静态和动态拉入电压进行比较。序号、梁的尺寸和材料特性（L?、w??、t??、??、E、ν）、参考文献、方法、拉入电压(V)、相对误差(%)。静态测试案例：1. L?=100, w??=15, t??=1.85, ??=16, E=66.00 GPa, ν=0.23，Ballestra等人[33]，实验，V_ref=184.00 V，V_present=185.29 V，相对误差=0.70%。2. L?=100, w??=50, t??=3, ??=16, E=90.06 GPa，Chowdhury等人[34]，理论，V_ref=37.84 V，V_present=37.87 V，相对误差=0.09%。3. L?=20, w??=000, t??=50, ??=00, E=57.092, GPa, ν=155.80, ν=0.06，Hu等人，实验，V_ref=67.29 V，V_present=66.41 V，相对误差=-1.31%。4. L?=20, w??=000, t??=50, ??=00, E=57.092, GPa, ν=155.80, ν=0.06，Chaterjee等人[34]，理论，V_ref=66.78 V，V_present=66.41 V，相对误差=-0.55%。动态测试案例：1. L?=80, w??=10, t??=0.5, ??=0.7, E=169, GPa, ν=0.33，Chaterjee和Pohit，理论，V_ref=2.25 V，V_present=2.24 V，相对误差=0.44%。2. L?=300, w??=50, t??=3, ??=17, E=70.06 GPa，Durieu等人，理论，V_ref=2.61 V，V_present=2.58 V，相对误差=0.99%。

3.2. 动态拉入参数的估算。在动态工作条件下，施加的电压出现激增，需要对微悬臂梁的变形进行时间相关近似，表示为u(x,T)。Rayleigh-Ritz能量法最初由Nielson和Barbastathis[35]用于求解板型MEMS器件的动态拉入参数。随后，Joglekar和Pawaskar[25]将其用于可变宽度微执行器，Trivedi等人[18]将其用于可变几何形状的微梁。He等人[36]详细讨论了通过创新解决方案克服拉入问题的方法。描述微悬臂梁在动态工作条件下运动的控制微分方程表示为，(12) ê·(?2/?x?2)(?(x?)·?2?(x?,T?)/?x?2) + ρ?·?(x?)·?2?(x?,T?)/?T?2 = ?(x?)2·(?(x?)-?(x?,T?))2/(1+2·(?(x?)-?(x?,T?))/(π·?(x?)))，其中，ρ?表示微悬臂梁材料的密度，右侧项揭示了具有边缘场效应的静电力。本分析中不考虑阻尼效应。控制微悬臂梁的边界条件如下：(13) u(x,T)|_{x=0}=0，?u(x,T)/?x|_{x=0}=0，?2u(x,T)/?x2|_{x=L}=0，?3u(x,T)/?x3|_{x=L}=0。除了前面章节定义的非无量纲项外，动态分析还增加了以下附加项：α? = ??·?2/(m2·??)，α? = ε?·L??/(??2·ê·??)，u(x,T) = ?(x?,T?)/??，X? = √(ρ?·??·L?/(ê·??))，T = T?/X?，其中，T表示归一化时间。动态模式下微悬臂梁的挠度u(x,T)可由公式(14)[7]近似为，(14) u(x,T) = C_dT·φ(x)，其中，C_dT代表时间参数，φ(x)表示空间函数，如下所示：(15) φ(x) = cosh(λx) - cos(λx) - D_c·a·n·(sinh(λx) - s·i·n(λx))，其中，(16) D_c·a·n = (cos(λ) + cosh(λ))/(s·i·n(λ) + sinh(λ))。微悬臂梁的归一化频率值为λ = 1.875104 [37]。动态分析的归一化Rayleigh-Ritz能量公式通过以下分量表示：i. 由微悬臂梁弯曲引起的应变能 U_b(c_d) = c_d2·K_b，K_b = (1/2)·∫?1 I(x)·(d2φ(x)/dx2)2dx；ii. 由静电力引起的势能，U_f(c_d) = -α?·V_D-C2·∫?1∫?^{c_d} F(φ·λ)·φ·dλ·dx。总势能为，(17) Π = K_B2·a_d2 - α?·V_D-C2·∫?1∫?^{a_d} F(φ·λ)·φ·dλ·dx。微悬臂梁的数学建模采用Euler-Bernoulli梁理论。因此，微悬臂梁的横向挠度满足以下力学边界条件：u(0,T) = 0，?u(0,1)/?x = 0，u(1,T) = 0，?u(1,T)/?x = 0。众所周知，如果施加的电压低于动态拉入电压，微悬臂梁的响应是周期性的[25]，[30]。在双稳态或拉入点，系统速度为零，微悬臂梁保持平衡，直到施加电压达到临界值。评估动态拉入行为的基本条件如公式(18)所示，(18) Π = 0，dΠ/da_d = 0。所提微悬臂梁形状的动态拉入参数通过遵循上述方法获得。开发了自制的MATLAB代码用于确定上述参数。

3.3. 使用开发代码验证拉入行为。在此，使用自制MATLAB代码获得的静态和动态拉入电压的验证结果如下。表1展示了不同研究文章中提出的各种棱柱形微悬臂梁拉入电压与使用Rayleigh-Ritz方法获得的结果的比较。与Hu等人[38]的实验结果相比，拉入电压的最大偏差为1.31%，而与Krylov[39]报道的数值模拟相比，最小偏差为0.01%。参考棱柱形微悬臂梁的尺寸取自Krylov[39]的研究，但在宽度上做了少量修改。考虑以下尺寸的参考棱柱形微悬臂梁：L?=300 μm，w??=45 μm，t??=2 μm，??=2 μm。此外，使用MEMS多物理场[40]模块进行了有限元模拟，结果与3-D FEA软件COMSOL的对比见图4。为了进行有限元模拟，本次分析使用砖形单元进行网格划分。采用映射网格划分以获得准确结果。微悬臂梁的单元数量为1109。在COMSOL FEA模拟中使用参数化求解器。此处考虑的问题是一个多学科问题，其中一个物理场是结构力学，另一个是静电学。许多研究人员为多学科问题的有限元代码发展做出了贡献。其中一项重要贡献是由Dadvand等人[41]完成的。在静电微悬臂梁的形状优化中，将介质击穿电压作为限制电压。宽度与长度比的选择源自Joglekar和Pawaskar[25]的研究。从3-D FEA中提取的静态拉入参数与能量方法获得的结果高度吻合。微悬臂梁拉入电压的计算误差为0.46%。这表明单自由度降阶模型(ROM)可用于预测微悬臂梁的拉入参数。表8中展示的拉入参数值显示，基于能量的方法和有限元分析获得的结果非常接近。在验证棱柱形微悬臂梁的拉入参数后，使用变异粒子群优化(MPSO)对微悬臂梁进行形状优化，并在下一节中进行了讨论（见表2、表6）。

图4. 具有矩形截面的棱柱形微悬臂梁位移等值线图。

表2. 比较从3-D有限元模拟中得出的棱柱形微悬臂梁静态拉入参数与使用能量法确定的参数。梁类型：悬臂梁。梁几何形状：棱柱形。通过能量法获得的拉入参数：位移=0.871 μm，电压=6.45 V。使用3-D FEA(COMSOL)获得的拉入参数：位移=0.861 μm，电压=6.48 V。

4. 使用变异粒子群优化进行形状优化。在本节中，使用无导数优化算法MPSO进行形状优化。增加拉入位移最流行的被动方法是调整微悬臂梁的几何形状，因为它会影响其刚度和静电力的分布。可变宽度和可变厚度几何形状用于增加微悬臂梁的行程范围。因此，通过使用多项式函数调整厚度和宽度轮廓，观察到微悬臂梁的静态和动态拉入位移得到改善。为了便于参考，图5展示了作为静电微执行器的非棱柱形微悬臂梁示意图。可变几何形状微悬臂梁在静态和动态下的拉入分析已在第3节中讨论。所建议的微悬臂梁结构设计的创新之处在于使用多项式函数沿整个长度变化宽度和厚度（从而变化起始间隙）。与等效设计相比，所建议设计的创新之处在于它在不增加拉入电压的情况下增加了拉入位移。可变几何形状微梁的结果与参考棱柱形微梁的结果进行对比，参考棱柱形微梁具有以下尺寸：长度L?、宽度w??和厚度t??。对可变几何形状微悬臂梁施加的三项主要限制：(i) 所建议微悬臂梁的长度，(ii) 优化后的微悬臂梁与固定电极重叠的区域，以及(iii) 所建议微悬臂梁设计的体积，相对于棱柱形微悬臂梁最大变化为下方10%。(iv) 宽度约束的上限由器件的空间约束确定，例如微执行器应用中芯片的八个或两个微悬臂梁的平行安装[8]。(v) 夹持端的初始间隙作为厚度的上限基准。(vi) PolyMUMPs设计规则[42]中的最小特征尺寸以及安装器件的尺寸，如传感器[43]，用于确定宽度和厚度的下限。(vii) 执行电压的变化不应超过棱柱形微悬臂梁所需电压的10%。

图5. 非棱柱形微悬臂梁组件的实体模型。

4.1. 推迟微悬臂梁拉入不稳定的目标函数和约束公式化。本研究中的优化问题是具有最大拉入位移的最佳微悬臂梁设计。在此，通过在目标函数前加负号将最大化问题转化为最小化问题，因为大多数优化算法是为最小化设计的。通过施加适当的惩罚，实现了工程意义重大的侧约束、几何约束和行为约束。约束和目标函数可表示为，最小化：(19) f{Y} = -u??或-u?_d{Y} + C_P_area + C_P_vol + C_P_w_min + ... + C_P_w_max + C_P_t_min + C_P_t_max + C_P_vbd，(20) Y^T = {y_j}，j = 1, 2, ...8，(21) 受限于：b?_min/b?? ≤ y? ≤ b?_max/b??，(22) -1000 ≤ y? ≤ 1000，(23) -1000 ≤ y? ≤ 1000，(24) -1000 ≤ y? ≤ 1000，(25) t?_min/t?? ≤ y? ≤ ?_max/??，(26) -100 ≤ y? ≤ 100，(27) -100 ≤ y? ≤ 100，(28) -100 ≤ y? ≤ 100，(29) 1 - ∫?1 w(x)dx = 0，(30) 0.85 ≤ ∫?1 w(x)·t(x)dx ≤ 1，(31) 0.9·V? ≤ V ≤ 1.1·V?。在这种情况下，u??表示静态模式下的拉入位移，u?_d表示动态模式下的拉入位移。通过施加适当的惩罚成本C_P来强制约束违反，适应度函数将逐渐收敛到接近全局最小值。为了快速参考，当前工作的主要目标是确定能够优化拉入位移的宽度和厚度轮廓，而不会显著增加其等效参考棱柱形微悬臂梁所需的执行电压。对于定义宽度轮廓，Joglekar和Pawaskar[25]使用了参数化宽度函数，随后Trivedi等人[26]用于同时定义宽度和厚度。相比之下，我们提出了一种创新设计，将使用具有不同系数的三次多项式来定义宽度和厚度轮廓。选择三次多项式的目的是沿微悬臂梁的跨度重新分配材料，以延迟不稳定性，而不会与参考棱柱形微悬臂梁相比增加执行电压。微悬臂梁的宽度w(x)和厚度t(x)多项式表示为，(32) w(x) = w?·(y? + y?·x + y?·x2 + y?·x3)，(33) t(x) = t?·(y? + y?·x + y?·x2 + y?·x3)。宽度和厚度多项式使用八个参数y?、y?、...y?指定。通过改变这些特征，可以提供许多合适且充分的设计选项。微悬臂梁将具有比固定端更小的材料分布，因为如边界条件所示，没有弯曲或剪切应力作用。Najar等人[44]的文章也报道了这一事实。为了防止不切实际的解，除了在宽度和厚度轮廓上的面积和体积约束外，还对每个设计参数设置了限制。使用最大和最小宽度及厚度值时，采用了微制造设施可以生产的最小特征尺寸以及文献中发现的不同微悬臂梁尺寸。在优化微悬臂梁形状时，必须适当选择介质的介电强度和两个电极之间的初始距离。之前研究过微器件介电击穿限制的一些研究人员的工作在此作为约束考虑。

4.2. 基于惩罚的约束违反方法。在本节中，定义了公式(19)中违反每个约束的惩罚方程。i. 常数重叠面积违反被称为C_P_area。可变几何形状微悬臂梁与固定电极之间的重叠面积应与参考棱柱形微悬臂梁的重叠面积匹配。(34) C_P_area = C_T_area·(1 - ∫?1 b(x)dx)2，其中，C_T_area表示面积约束的惩罚成本。ii. 常数体积约束的违反程度由C_P_vol定义。所建议的可变几何形状微悬臂梁的体积应与棱柱形微悬臂梁的体积匹配，(35) C_P_vol = C_T_vol·(1 - ∫?1 b(x)·h(x)dx)2，其中，破坏常数体积要求的惩罚成本为C_T_vol。iii. 最小宽度约束违反由表达式C_P_w_min定义。数学上可表示为，(36) C_P_w_min = C_T_w_min·(min[0, *w_min(x) - w_min])2，其中，破坏最小宽度要求的惩罚表示为C_T_w_min。

对于任意四个参数取值，非棱柱微悬臂梁的最小宽度由公式 ??????????(??) 表示。在第??次迭代中取??1,??2,??3,??4。每个测试工况的宽度无量纲下界用 ???????? 表示。违反最大宽度约束的程度用 ???????????? 表示，可数学表达为 (37)????????????=?????????????(max?[0,??????????(??)?????????])2，其中违反最大宽度约束的惩罚代价用 ???????????? 表示。优化过程中第??次迭代时非棱柱微悬臂梁的最小宽度用 ??????????(??) 表示。每个不同测试工况所指定的宽度无量纲上界用 ???????? 表示。(38)????????????=?????????????(min?[0,??????????(??)?????????])2，其中违反最小厚度要求的惩罚代价用 ???????????? 表示。任意四个参数组合下微悬臂梁的最小厚度由公式 ??????????(??) 表示，即第??次迭代时的??5,??6,??7,??8。每个测试实例的厚度归一化下限用 ???????? 表示。违反最大厚度约束的程度用 ???????????? 表示。用数学形式表达为 (39)????????????=?????????????(max?[0,??????????(??)?????????])2，其中违反最大厚度约束的惩罚代价用 ?????????? 表示。优化过程中第??次迭代时非棱柱微悬臂梁的最大厚度用 ??????????(??) 表示。每个测试工况的厚度归一化上界用 ?????????? 表示。每个优化过程的惩罚代价都会因具体问题而异。因此，每个惩罚代价都是在MATLA?BTM代码中通过迭代过程、采用不同取值确定的。以下是违反不同约束的惩罚代价取值：面积约束设为????????????=1000；体积限制通过设??????????=10000来满足；违反最大宽度和最小宽度限制的适宜取值为????????????=1000和????????????=1000。由于厚度是决定最小特征尺寸的最敏感参数，因此违反最大和最小厚度约束设置的惩罚值最高，??????????=10000和??????????=10000。4.3 微驱动器的介质击穿电压众所周知，静电微驱动器产生力矩的能力受到两个电极间隙在击穿前电场强度的限制。对于电极间隙为微米级的静电微驱动器，必须考虑电极间隙之间的击穿电压。20世纪70年代早期，关于两种电极间常见气体的击穿电压数据以Paschen曲线的形式给出[45]。根据Paschen定律，对于小于5μ?m的电极间隙，建议采用修正的Paschen曲线。在将介质击穿电压作为微悬臂梁形状优化的极限电压时，参考棱柱微悬臂梁的尺寸取自Krylov[39]所做研究的结论，并对其宽度作了小幅修改。作为参考的棱柱微梁采用如下尺寸：???=300μ?m,?????=45μ?m,?????=2μ?m,?????=2μ?m。此处所采用的宽高比与文献[31]中所取的相同，其灵感来源于Joglekar和Pawaskar[25]所做的研究。在下一节中，将对MPSO进行讨论并将其用于微悬臂梁的形状优化。5. 利用变异粒子群优化最大化微悬臂梁的拉入位移群体智能（SI）为具有挑战性的组合优化问题提供了解决方案[20]、[46]。它象征着鱼群或鸟群的社会行为。PSO从随机选取的解出发寻找最优值。每个潜在解称为一个粒子，一组粒子称为一个群体。这些粒子在n维搜索空间中协作移动。群体中的每个粒子按照一个称为速度的变量移动，该速度受社会因素和局部因素的影响[47]。每个粒子依据自身迄今找到的最优位置??????????以及群体找到的最优位置（即全局最优）??????????在搜索空间中导航。对于搜索空间????中的每个粒子??，计算目标函数（适应度函数）值。第??次迭代时每个粒子的位置和速度分别为???(??)和???????(??)。PSO中影响每个粒子运动的有三个要素：(i)粒子的方向搜索；(ii)粒子的最优位置；(iii)群体的最优位置。每次迭代后，每个粒子的位置和速度按(40)更新。(40)???(??+1)=???(??)+????????(??+1)，??????????(??+1)=?????????(??)?????????(??)+??1???1?(???????????????(??))+??2???2?(???????????????(??))，其中????????(??)表示粒子的"惯性"。??????????和??????????的影响分别由系数??1、??1和??2、??2决定。??1和??2分别称为"个体"因素和"社会"因素，而??1和??2是0到1之间的随机值。本工作采用PSO的变惯性模型，并由文献[47]中的因子控制惯性值的变化。每个粒子按(41)移动，????????(??)=(???????????????????)(???1)(???1)+?????????，其中?????????和?????????分别为初始惯性和最终惯性，变惯性的迭代次数记为??。本质上，粒子群优化（PSO）与遗传算法（GA）相似，但其区别在于候选解——即粒子——在各自被赋予随机速度后"飞越"搜索空间。每个粒子都保留其在设计空间中坐标的记录，该坐标与其迄今找到的最优解??????????相关联，如图6所示。在实现PSO的全局变体时，很难判断是否应更重视??????????还是??????????。PSO的一个主要缺陷是过早收敛于局部极小值。群体的粒子试图向最优解移动，随着迭代后期速度的减小，群体的探索能力减弱。当全局最优附近存在返回较差函数值的位置时，这一问题可能更加明显。在本文中应用了一种变异粒子群优化（MPSO），在其中除了最优位置外也会重视最差位置。粒子能够在较长时间内探索更宽的搜索空间，即使全局最优被返回较差值的位置所包围，也能找到接近全局最优的解，因此收敛解接近全局最优的概率更高。Trivedi等人[7]的文章讨论了粒子群优化在微驱动器形状优化中的应用，并在文中将变异粒子群优化的部署与PSO一并呈现。变异粒子群优化通过"最优粒子"和"最差粒子"两阶段更新速度方程。前几个粒子遵循"个体最差"????????????和"全局最差"????????????，其余粒子遵循"个体最优"??????????和"全局最优"??????????。在许多PSO变体中，迭代后期侧重于开发，探索与开发之间存在权衡。由于探索不足，过早收敛的可能性增大。相反，对于MPSO，即使在迭代后期，探索与开发仍在同时进行。这有助于避免陷入局部极小值，并找到接近全局最优的解。在MPSO中，部分粒子将遵循全局最差粒子????????????，而非整个群体的速度都受全局最优??????????影响。如果群体中部分粒子遵循????????????和????????????，就能使设计者有信心：在保持PSO及其变体同样速度的同时，避免局限于局部极小值。使用MPSO，对搜索空间????中的每个粒子??评估适应度函数。第??次迭代后，第??个粒子的位置???(??)和速度????????(??)通过以下方程更新。(42)???(??,??+1)=???(??,??)+????????(??,??+1)，????????(??,??+1)=?????????(??)?????????(??,??)+??1???1?(????????????????(??,??))+??2???2?(????????????????(??,??))，(43)???(??,??+1)=???(??,??)+????????(??,??+1)，????????(??,??+1)=?????????(??)?????????(??,??)+??1???1?(???????????????(??,??))+??2???2?(???????????????(??,??))，其中，(44)?????????(??)=(???????????????????)(???1)(???1)+?????????。下载：下载高分辨率图像（148KB）下载：下载全尺寸图像图6. 最优位置对粒子当前速度的影响。6. 结果与讨论本节展示了采用MPSO并利用公式(19)最大化微悬臂梁拉入位移的研究结果。为了评估范围广泛的拉入参数以达到推广的目的，考虑了九个微悬臂梁的示例测试工况。表3给出了每种测试工况下微梁几何尺寸的上下界。根据众多研究文献[8]、[25]、[48]中找到的棱柱微悬臂梁尺寸，以归一化形式确定宽度和厚度限制。表3中不同微悬臂梁测试工况采用如下术语：静电力驱动记为??，动力力驱动记为??，数字跟在字母之后。表3的行号用数字表示。每个行号对应行中列出了该测试工况的几何约束。例如，??7表示静力驱动模式，其几何限制见表3第7行。类似地，在??4中，??代表动力驱动，而4表示对应于表3第4行的限制。对于参考棱柱梁，归一化宽度和厚度取为?????/???=0.15，?????/???=0.00667，??????=0.00667[8]、[25]、[48]。表3 展示微悬臂梁几何限制的测试工况表。工况号 ????????/?? ????????/?? ????????/?? ????????/?? S1;D1 0.20 0.02 0.008 0.003 S2;D2 0.30 0.02 0.009 0.003 S3;D3 0.40 0.02 0.010 0.003 S4;D4 0.20 0.04 0.008 0.004 S5;D5 0.30 0.04 0.009 0.004 S6;D6 0.40 0.04 0.010 0.004 S7;D7 0.20 0.06 0.008 0.005 S8;D8 0.30 0.06 0.009 0.005 S9;D9 0.40 0.06 0.010 0.005 6.1 微悬臂梁形状优化的MPSO参数此处讨论MPSO的参数以及违反约束时的惩罚取值。(i) 优化中变量总数：8（??1??2??3??4??5??6??7??8）；(ii) 最大迭代次数：6000；(iii) 群体规模：30；(iv) 群体初始化方法：随机初始化；(v) 群体初始速度：随机初始化；(vi) 影响群体粒子的社会因素：2.1；(vii) 粒子的认知因素：2.1；(viii) 群体的惯性权重：按公式(41)取[0.9,0.4]；(ix) 函数容差：10??；(x) 遵循最差位置的粒子数：5；(xi) 遵循最优位置的粒子数：25。群体规模的选择取决于问题，并受用户对进化算法熟悉程度的影响。在本例中，通过对某个代表性测试工况开展的数值实验来确定群体规模（微悬臂梁的测试工况S9）。6.2 微悬臂梁形状优化：提高拉入位移同时降低驱动力上升据报道，为最大化拉入位移而采用HSA、PSO、MPSO开展的数值实验结果表明，拉入位移的增加伴随着驱动力电压的上升[7]。因此，与参考棱柱微悬臂梁相比，该器件需要消耗更多功率。本节致力于在降低相对于参考棱柱微悬臂梁的驱动力上升的同时，最大化行程范围。这一目标通过以下方式实现：1. 使用多项式函数定义微悬臂梁的宽度和厚度；2. 以介质击穿电压作为给定微悬臂梁的最大电压。在不影响微悬臂梁性能的前提下，将恒定体积约束修改为不等式约束，表示公式(30)中定义的最大和最小体积范围。对驱动力电压的约束进行了修改，并将驱动力电压的上下界表示为参考棱柱微悬臂梁所需驱动力电压的倍数。允许变几何微梁的归一化体积在静电力驱动下取参考微悬臂梁的0.85到1之间的值。用多项式函数定义宽度和厚度的微悬臂梁由公式(32)、(33)表示。从Trivedi等人[7]所做并报告的数值实验可以清楚看出，微悬臂梁在静力和动力驱动模式下的优化形状保持不变，并不表现出显著差异。因此在本研究中也，微悬臂梁在静力和动力运行下的形状是相同的。表4给出了利用多项式函数优化所得的设计变量??1.....??8的取值。使用这些设计变量，各种测试工况均显示出静力和动力拉入位移的上升。为便于说明，此处仅在表5中给出动力拉入参数增加的算例。然而，静力拉入位移也采用相同方法进行了计算。表4。

微悬臂设计参数的优化：在静态和动态驱动下最大化拉入位移

案例编号 | y? | y? | y? | y? | y? | y? | y? | y?
S1, D1 | 0.5434 | 2.2300 | 0.0193 | ?2.6594 | 0.5366 | 2.0531 | ?1.2697 | ?0.8699
S2, D2 | 0.1334 | ?0.3736 | 11.6493 | ?11.2756 | 0.4495 | 5.9611 | ?11.6831 | 5.7220
S3, D3 | 0.1450 | ?0.8612 | 13.0127 | ?12.1636 | 0.4499 | 6.2347 | ?12.3834 | 6.1484
S4, D4 | 0.4776 | 1.9821 | 0.9598 | ?3.1545 | 0.5990 | 2.7036 | ?4.0209 | 1.3173
S5, D5 | 0.2955 | ?1.4034 | 12.7828 | ?11.4191 | 0.6100 | 5.2801 | ?11.1574 | 5.8812
S6, D6 | 0.2701 | ?0.6365 | 10.6987 | ?10.0724 | 0.6100 | 4.8757 | ?10.0814 | 5.1969
S7, D7 | 0.4000 | 2.1757 | 0.6864 | ?2.8665 | 0.7496 | 2.2423 | ?4.1880 | 1.9454
S8, D8 | 0.4000 | 0.2647 | 6.4272 | ?6.6989 | 0.7496 | 3.2675 | ?7.0649 | 3.8153
S9, D9 | 0.4000 | 1.0249 | 4.1457 | ?5.1776 | 0.7496 | 2.8149 | ?5.7818 | 2.9662
等截面梁 | 1.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 1.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000

这些优化后的设计参数用于创建独特的微悬臂形状。图7展示了测试案例S1、D1、S2、D2、S3、D3的微悬臂宽度与厚度轮廓。对于S4、D4、S5、D5、S6、D6案例，宽度和厚度轮廓如图8所示。在平行线上，测试案例S7、D7、S8、D8、S9、D9的宽度和厚度形状如图9所示。

表5. 使用改进粒子群优化（MPSO）优化的微悬臂设计参数，通过多项式宽度和厚度函数最小化驱动电压升幅并最大化动态拉入位移。

案例编号 | 优化变量 y? y? y? y? y? y? y? y? | 体积分数 | 归一化动态拉入值：V_pd | V_pd升幅?% | u_pd | u_pd升幅?%
D1 | 0.543 2.230 0.019 ?2.659 0.537 2.053 ?1.270 ?0.870 | 0.98 | 1.127 | ?3.49 | 0.548 | 24.98
D2 | 0.133 ?0.374 11.649 ?11.276 0.450 5.961 ?11.683 5.722 | 0.991 | 1.185 | 1.53 | 0.586 | 35.56
D3 | 0.145 ?0.861 13.013 ?12.164 0.450 6.235 ?12.383 6.148 | 0.991 | 1.186 | 1.61 | 0.587 | 35.82
D4 | 0.478 1.982 0.960 ?3.155 0.599 2.704 ?4.021 1.317 | 0.98 | 1.178 | 0.92 | 0.542 | 25.31
D5 | 0.296 ?1.403 12.783 ?11.419 0.610 5.280 ?11.157 5.881 | 0.98 | 1.180 | 1.05 | 0.560 | 29.52
D6 | 0.270 ?0.637 10.699 ?10.072 0.610 4.876 ?10.081 5.197 | 0.98 | 1.179 | 1.04 | 0.559 | 29.43
D7 | 0.400 2.176 0.686 ?2.867 0.750 2.242 ?4.188 1.945 | 0.98 | 1.177 | 0.81 | 0.520 | 20.22
D8 | 0.400 0.265 6.427 ?6.699 0.750 3.268 ?7.065 3.815 | 0.98 | 1.177 | 0.81 | 0.524 | 21.29
D9 | 0.400 1.025 4.146 ?5.178 0.750 2.815 ?5.782 2.966 | 0.98 | 1.177 | 0.86 | 0.524 | 21.19

? 基准值为等截面微悬臂的参数——u_pd = 0.4383，V_pd = 1.1672，体积 V = 1。

这些微悬臂形状的新颖之处在于，拉入位移得到了显著提升，而驱动电压仅出现微乎其微的升高。带有设计变量的优化动态拉入参数如表6所示。对静态拉入位移也进行了相同的处理过程。悬臂微梁的优化参数清晰地展示了宽度和厚度随多项式函数变化对增强拉入位移的显著效果。Trivedi等人[7]曾尝试使用宽度和厚度的参数化函数来优化拉入位移。

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图7. 使用改进粒子群优化，在动态驱动模式下，为测试案例D1、D2、D3优化的悬臂微梁宽度与厚度轮廓，以实现最大拉入位移和最小驱动电压升幅。

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图8. 使用改进粒子群优化，在动态驱动下，为测试案例D4、D5、D6优化的悬臂微梁宽度与厚度轮廓，以实现最大拉入位移和最小驱动电压升幅。

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图9. 使用改进粒子群优化，在动态驱动下，为测试案例D7、D8、D9优化的悬臂微梁宽度与厚度轮廓，以实现最大拉入位移和最小驱动电压升幅。

表6. 静态和动态驱动下微悬臂用于最大化拉入位移的优化参数。

案例编号 | 静态拉入位移 | 升幅% | V_pds | V_pds升幅?% | 动态拉入位移 | 升幅% | V_pdd | V_pdd升幅?% | 体积分数
S1 | 0.374 | 24.48 | 1.24 | ?3.63 | — | — | — | — | —
S2 | 0.399 | 32.83 | 1.30 | 1.22 | — | — | — | — | —
S3 | 0.399 | 33.03 | 1.30 | 1.28 | — | — | — | — | —
S4 | 0.371 | 23.45 | 1.29 | 0.84 | — | — | — | — | —
S5 | 0.382 | 27.38 | 1.29 | 0.84 | — | — | — | — | —
S6 | 0.382 | 27.31 | 1.29 | 0.83 | — | — | — | — | —
S7 | 0.357 | 18.86 | 1.29 | 0.83 | — | — | — | — | —
S8 | 0.360 | 19.89 | 1.29 | 0.83 | — | — | — | — | —
S9 | 0.359 | 19.73 | 1.29 | 0.84 | — | — | — | — | —
D1 | 0.547 | 24.98 | 1.126 | ?3.49 | — | — | — | — | 0.980
D2 | 0.586 | 33.68 | 1.185 | 1.53 | — | — | — | — | 0.990
D3 | 0.587 | 33.93 | 1.186 | 1.61 | — | — | — | — | 0.990
D4 | 0.541 | 23.57 | 1.177 | 0.92 | — | — | — | — | 0.980
D5 | 0.559 | 27.72 | 1.179 | 1.05 | — | — | — | — | 0.979
D6 | 0.559 | 27.63 | 1.179 | 1.04 | — | — | — | — | 0.980
D7 | 0.519 | 18.55 | 1.176 | 0.81 | — | — | — | — | 0.980
D8 | 0.524 | 19.60 | 1.176 | 0.81 | — | — | — | — | 0.980
D9 | 0.523 | 19.51 | 1.177 | 0.86 | — | — | — | — | 0.979
等截面梁 | 0.300 | 0.00 | 1.28 | 0.00 | 0.438 | 0.00 | 1.167 | 0.00 | 1

? 等截面微悬臂静态模式下的参考参数：W_pds = 0.3006，V_pds = 1.2834。
? 等截面微梁动态模式下的参考参数：w_pdd = 0.4383，V_pdd = 1.1672。

6.3. 使用参数化函数定义的宽度与厚度轮廓的拉入参数与使用多项式函数的新型设计之间的比较

本节中，对使用参数化函数定义的宽度与厚度函数所得到的拉入参数（由Trivedi等人[7]及Joglekar和Pawaskar[25]采用）与本文案例中宽度与厚度通过多项式函数（32）、（33）定义的情况进行比较，保持所有约束条件和优化目标函数相同。宽度和厚度轮廓通过以下方程定义[18]：
(45) w(x) = y?(1 ? y?·x/y?)^y?
t(x) = y?(1 ? y?·x/y?)^y?

保持所有上下限相同，拉入参数的比较结果如表7所示。

从表7可以非常清楚地看出，在静态情况下，多项式函数的最大升幅出现在S3案例中，拉入位移升幅为33.03%，而驱动电压仅升高1.28%。而在参数化函数情况下，拉入位移升幅为55.32%，但驱动电压大幅升高了230.50%。在D3案例的动态模拟结果非常令人鼓舞。对于D3案例，采用多项式形状的微悬臂，拉入位移增加了33.93%，而对应的驱动电压增幅仅为1.61%，与等截面微悬臂几乎相当。

表7. 具有参数化宽度和厚度函数的非等截面微悬臂的拉入参数与使用多项式函数获得的拉入参数比较。

案例编号 | 多项式函数：u_ps升幅% | V_ps升幅% | 参数化函数：u_ps* | V_ps*升幅% | 案例编号 | 多项式函数：u_pd | V_pd*升幅% | 参数化函数：u_pd | V_pd*升幅%
S1 | 24.48 | ?3.63 | 46.67 | 118.29 | D1 | 24.98 | ?3.49 | 44.38 | —
S2 | 32.83 | 1.22 | 54.46 | 209.37 | D2 | 33.67 | 1.53 | 48.62 | —
S3 | 33.03 | 1.28 | 55.32 | 230.50 | D3 | 33.92 | 1.61 | 49.90 | —
S4 | 23.45 | 0.84 | 33.53 | 98.14 | D4 | 23.56 | 0.92 | 31.67 | —
S5 | 27.38 | 0.84 | 35.10 | 143.63 | D5 | 27.72 | 1.05 | 33.33 | —
S6 | 27.31 | 0.83 | 34.00 | 139.16 | D6 | 27.62 | 1.04 | 33.08 | —
S7 | 18.86 | 0.83 | 22.02 | 75.18 | D7 | 18.54 | 0.81 | 20.28 | —
S8 | 19.89 | 0.83 | 22.36 | 91.54 | D8 | 19.59 | 0.81 | 20.69 | —
S9 | 19.73 | 0.84 | 22.42 | 87.57 | D9 | 19.50 | 0.86 | 20.60 | —
等截面梁 | 0.00 | 0.00 | 0 | 0 | 等截面梁 | 0 | 0 | 0 | 0

6.4. 使用三维有限元分析验证结果

使用COMSOL? MEMS多物理场求解器[40]进行的三维有限元分析（3-D FEA）模拟，验证了优化后微悬臂形状的性能，结果如表8所示。本分析采用砖形单元。采用映射网格划分以获得准确结果。悬臂微梁的单元数量为1109个。在COMSOL?中使用参数化求解器。

等截面微悬臂的尺寸如下：L? = 300μm，b?_p = 45μm，?_p = 2μm，?_p = 2μm。此处采用的宽度与长度比与Joglekar和Pawaskar[25]研究中所取的比例相同。所开发代码的结果通过与有限元分析软件包COMSOL多物理场模拟软件进行比较进行验证。模型采用自由网格划分。模拟中涉及的物理场包括移动网格、结构力学和MEMS。图4展示了微悬臂变形的等高线图。从三维有限元分析中提取的静态拉入参数与能量法获得的结果吻合良好。微悬臂拉入电压估算的误差为0.46%。这表明单自由度缩减阶模型（ROM）可用于预测微悬臂的拉入参数。对于动态模拟的验证，代表案例D9的相平面图如图10(a)所示，时程图如图10(b)所示。从图10(a)中可以清楚地看出，在临界电压之前的响应是周期性的。超过临界点后，响应变为非周期性，如果继续升高电压，可能导致器件失效。通过动态分析，我们能够预测微悬臂新型设计的临界驱动电压。在下一节中，将对重要要点进行总结，作为结论性评论。

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图10. 使用COMSOL?获得的动态分析结果与能量法动态模拟获得的测试案例D9结果的比较。

表8. 使用能量法获得的静态拉入参数与使用三维有限元分析获得的等截面微悬臂参数的比较。

梁类型 | 梁几何尺寸 | 拉入参数（能量法） | 拉入参数（三维有限元分析COMSOL）
| | 位移（μm） | 电压（V） | 位移（μm） | 电压（V）
悬臂梁 | 等截面 | 0.871 | 76.45 | 0.861 | 76.48

7. 结论

从本文的研究中得出以下重要结论：

1. 采用计算高效的伽辽金方法构建的单自由度（SDOF）模型来预测微悬臂的机电行为。对等截面微悬臂的静态和动态拉入参数进行了估算，并与先前发表的数值和实验数据进行了科学验证。结果表明偏差小于2%，表明基于能量法的开发代码能够提供令人满意的结果。

2. 通过将估算的拉入参数与使用三维有限元分析软件（COMSOL?）获得的结果进行比较，确认了SDOF模型的准确性。SDOF模型特别适用于优化算法，因为这些算法需要反复计算拉入参数。

3. 使用改进粒子群优化（MPSO）方法，所有测试案例的结果在约5000至6000次迭代后收敛。

4. 以介质击穿电压为约束条件的改进粒子群优化结果更为真实，可用于利用特定介质流体来延迟拉入位移。

5. 使用三次多项式定义宽度和厚度函数的形状优化，在微悬臂行程范围增强方面进行了数值实验。MPSO成功应用于具有多项式宽度与厚度轮廓的微悬臂形状优化。

6. 提出微悬臂新型形状提供了节能的设计替代方案，与基准等截面微悬臂相比，静态拉入位移最大升幅为33.03%，而电压仅升高1.28%（测试案例S3）。

7. 微悬臂新型设计在动态拉入位移方面表现出显著提升，最大升幅为33.92%（测试案例D3），而拉入电压仅升高1.61%，与基准等截面微悬臂相比。

8. 从静态和动态拉入参数的结果可以得出结论：将宽度和厚度作为三次多项式函数进行变化，可以获得最优化形状的微悬臂，其驱动电压与基准等截面悬臂相当，同时拉入位移可提升约33%。

据作者所知，这是首次报道微悬臂的新型形状，与基准等截面微悬臂相比，其拉入位移显著增强，而驱动电压仅出现微乎其微的升高。未来的工作可在此基础上进一步扩展，考虑各种阻尼效应（包括气膜阻尼）以及器件制造过程中产生的残余应力。此外，未来器件建模还可考虑非线性弹性因素。

CRediT作者贡献声明

Reena Trivedi：撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理。
Dnyanesh Pawaskar：撰写——审阅与编辑，监督，软件，调查。
Rameshchandra Shimpi：撰写——审阅与编辑，验证，监督。

Reena Trivedi | Dnyanesh Pawaskar | Rameshchandra Shimpi