引言
在不确定条件下研究结构或系统的可靠性始终是一个重要课题。与已建立完善的静态可靠性理论相比[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8]]，时变可靠性研究起步较晚，成熟度也远低于前者。时变可靠性问题的主要研究目标是考察结构或系统在其服役期内于动态随机荷载和性能劣化作用下的失效概率。早期的时变可靠性研究大致可分为三类：首次穿越法[[9], [10], [11], [12], [13]]、极值法[[14], [15], [16], [17], [18]]和复合极限状态法[[19], [20], [21], [22]]。
首次穿越法首先需要使用Rice外穿越率公式[9]、PHI2方法[10]或FOTRE方法[13]来计算结构在不同时间点的穿越率。然后，假设穿越事件服从Poisson过程[12]或Markov过程[23]，建立穿越率与结构或系统在其服役期内失效概率之间的关系。随后，可以推导出以穿越率表示的失效概率表达式。极值法的基本思想是在时域内建立性能函数极值与随机变量之间的映射关系[[14], [15], [16]]，从而将其转化为静态可靠性问题。随后，可以采用常见的静态可靠性方法求解失效概率。复合极限状态法的基本思想是将时域离散化为多个时间点，并将每个时间点的瞬态响应视为串联系统的组成部分，从而构成一个整体的串联系统。通过这样做，可以将时变可靠性问题等价地转化为由所有这些瞬态响应分量组成的静态串联系统可靠性问题[[19], [20], [21], 24]。
极值法和复合极限状态法将时变可靠性问题转化为等价的静态可靠性问题，从而可以应用已建立的静态可靠性方法，包括基于主动学习的Kriging蒙特卡洛模拟、重要性抽样、线抽样和子集模拟[[25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]]。这些方法还被扩展到基于可靠度的优化、不确定控制以及涉及多种不确定源的可靠性分析[[35], [36], [37], [38], [39], [40], [41]]。在这些方法中，重要性抽样特别具有吸引力，因为它可以显著减少估计小失效概率所需的样本量。
针对时变可靠性分析的近期重要性抽样方法，可根据其如何融入重要性抽样大致分为三类。1）第一类将重要性抽样与Kriging、高斯过程回归或其他代理模型相结合[[42], [43], [44]]。在这些方法中，代理模型的预测可用于构建或更新重要性抽样密度，而生成的重要性样本则可用于指导代理模型修正或由代理模型进行分类。这类方法可以显著减少原始模型的评估次数。然而，其实用性能取决于代理模型是否能正确识别所有重要的失效区域和控制时间瞬间。2）第二类采用顺序、分层或自适应重要性抽样来探索时变失效域的等价静态表示[45, 46]。常用的公式通过取性能函数在规定时间区间内的最小值来定义等价的极值函数，从而可以应用一般的静态可靠性方法。虽然这种表述在数学上等价于原始的时变问题，但最小化运算可能引入非光滑性和分段行为。因此，构造高效的重要性抽样密度可能需要反复的候选样本生成、精英样本选择、聚类、代理模型增强或迭代密度更新。3）第三类显式地利用时变可靠性问题的时间或串联系统结构。Wang等人[31]在一个代表性时间瞬间构造重要性抽样分布，随后生成条件过程轨迹。然而，对于稳态问题或弱相关的随机荷载，其收敛性可能会下降。Yuan等人[32]利用串联系统结构发展了一种包含两个抽样阶段的高效重要性抽样方法，但要求响应相对于随机荷载是条件线性的。此外，文献[47, 48]中的自适应方法估计多个终端时间上的累积失效概率，其计算目标与本研究不同，本研究关注的是在规定的单一时间区间上估计一个累积失效概率。
上述讨论揭示了本研究所解决的三个计算问题。首先，直接针对等价的极值函数构造重要性抽样密度可能需要迭代探索复杂的失效域。其次，从多个瞬时失效区域构造专门针对时变问题的重要性抽样密度可能需要重复的可靠性分析或限制性假设。第三，在重要性样本生成之后，直接计算所有时间点的响应仍然计算代价高昂。
为了解决这些问题，本文提出了一种基于一阶时变可靠性展开的高效重要性抽样方法，称为FOTRE重要性抽样法。具体而言：(1) 基于FOTRE在整个时间区间上近似的瞬时最概然点（MPP）和可靠度指标，构造加权混合重要性抽样概率密度函数（PDF）；(2) 利用FOTRE中采用的一阶响应表达式，在重要性抽样分布下构造近似的响应高斯过程；(3) 发展了一种针对单个样本轨迹的主动学习策略，以识别关键时间位置并高效计算指示函数。所提的混合密度保持了串联系统结构并覆盖了不同时间瞬间所关联的重要区域，而FOTRE避免了在每个时间点使用一阶可靠度方法（FORM）。因此，密度构造不需要条件线性的荷载响应关系，也不需要选择单一代表性时间瞬间。重要性抽样部分减少了达到规定统计精度所需的样本轨迹数量，而响应高斯过程和主动学习部分则减少了每条轨迹所需的原始模型评估次数。本文其余部分组织如下。第2节简要回顾时变可靠性和静态可靠性问题的重要性抽样方法。第3节介绍所提方法。第4节提供若干数值算例以展示其精度和效率。最后，第5节对全文进行总结。
