用于燃烧模拟的数据驱动降阶模型中主成分分析与非线性变换耦合关系的评估

《Combustion and Flame》：An assessment of the coupling between principal component analysis and nonlinear transformation in data-driven reduced-order models for combustion simulations

　　

# 数据驱动的降阶燃烧模型中主成分分析与非线性变换的协同作用

## 摘要

数据驱动的降阶模型（ROMs）在无法计算地解析所有化学物种时，能够实现高效的燃烧模拟。主成分分析（PCA）常被用于压缩化学组分空间，在某些情况下，还与非线性变换（如Box–Cox函数）相结合，以提高点火问题中的回归精度。然而，基于PCA的线性压缩与非线性数据变换之间的相互作用，以及其对燃烧ROMs回归精度的综合影响，鲜少被研究。本研究在一系列涉及大分子烃类燃料的压缩点火问题中，系统评估了PCA与非线性变换在ROM框架中的耦合效应。结果表明，尽管PCA在低阶数下截断误差占主导时有效，但PCA与非线性变换的结合可能降低回归性能，特别是在较高阶数下，这与保留主成分之间的非线性交叉项耦合有关。研究结果阐明了PCA在何种情况下仍然具有优势，并为开发适用于复杂点火问题的稳健数据驱动ROMs提供了指导。

## 创新性与重要性声明

本研究首次系统地澄清了数据驱动燃烧ROMs中一个此前未解决的问题：基于PCA的降维如何与常用于训练点火问题代理模型的非线性变换相互作用。研究揭示了PCA截断优势与变换引起的回归复杂性之间依赖于阶数的权衡关系，并表明在足够高阶数下，PCA输运可能不如直接子集输运可靠。这一发现对于设计稳健的ROM框架具有重要意义，该类框架能够减轻涉及广泛热化学状态的点火模拟中的时间累积误差。

## 引言

数据驱动的降阶模型（ROMs）在求解所有化学物种的输运方程计算不可行时，已成为模拟燃烧过程的重要手段。通过将化学组分空间投影到低维流形上，ROMs能够在保留关键动态特征的同时，高效地建模复杂反应流动[1]–[11]。在众多降维技术中，基于PCA的ROMs已被广泛应用于反应流动模拟，因为PCA提供了相关物种行为的简单线性压缩，并且可以与人工神经网络（ANNs）[3]–[4]、[6]或高斯过程回归[12]–[14]等机器学习模型耦合。

在基于PCA的ROMs中，主成分（PC）得分作为降阶标量变量进行输运，而其扩散项和化学源项通常使用回归模型进行预测（以下将基于PCA的ROM称为PC输运ROM）。早期的PC输运ROM框架使用所有化学物种构建主成分。然而，这种方法往往导致困难，因为每个主成分成为具有不同时间尺度的主要物种和次要物种的线性组合，使得降阶变量与其源项之间的函数映射变得复杂。为缓解这一问题，引入了物种子集选择策略[5]–[7]、[15]，即首先选择一个物种子集，然后对该子集应用PCA。通过从输运集中排除某些物种，该策略有效地减少了主成分定义中物种的过度线性混合。因此，近期的PC输运ROM框架通常采用以下工作流程：（步骤1）物种子集选择；（步骤2）使用PCA进一步降维；（步骤3）基于机器学习预测输运标量的扩散项和化学源项[5]–[7]、[16]。

与PC输运ROM框架的发展并行，数据驱动的燃烧建模越来越多地引入了非线性变换，如对数[17]–[20]或Box–Cox型函数[21]–[25]，在回归训练前对输入和输出进行变换以提高精度。这些变换对于点火和熄灭问题特别有效，因为在这些问题的化学状态表现出强烈的非线性行为并跨越宽动态范围[19]、[21]–[25]。通过增强小数值物种质量分数和反应速率，它们可以显著改善原始物种空间中的ANN回归。

然而，基于PCA的降维与非线性变换之间的相互作用，特别是其对PC输运ROM性能的影响，尚未得到系统研究。尽管PCA提供了物种空间的最优线性压缩，但非线性变换会改变降阶变量的统计结构并引入额外的耦合。因此，基于PCA的降维优势可能与变换引起的回归复杂性相互竞争，特别是在为具有高度非线性物种行为的化学源项训练回归模型时。

具体而言，当在PCA之后对PC得分及其源项应用非线性变换时，降阶变量不再是原始物种的简单线性组合。该变换在构成每个PC的物种之间引入了交叉项，从而使得降阶变量与其源项之间的函数关系变得复杂。例如，考虑两个物种质量分数$y_1$和$y_2$，假设PC定义为$\psi = a_1 y_1 + a_2 y_2$。为简化起见，假设取正值，若应用指数为0.5的非线性变换，则变换后的变量变为$\psi^{0.5} = (a_1 y_1 + a_2 y_2)^{0.5}$。与原PC不同，该表达式无法分解为$y_1$和$y_2$的独立函数。Taylor展开表明，所得表示包含涉及物种乘积的混合项，如$y_1 y_2$，表明贡献物种之间存在非线性耦合。此外，PCA提供的非相关结构不再被保留，导致变换后的分量之间产生统计耦合。

这些观察促使了本研究的核心问题：尽管PCA对于线性压缩是最优的，但当需要非线性变换来训练精确的回归模型时，PCA是否仍然具有优势？因此，我们考察了在需要非线性变换的点火问题中，PC输运ROM是否仍然有效。我们假设PCA与非线性变换的结合会在降阶空间中引入额外的非线性耦合，并破坏PC得分的非相关结构，从而增加ANN的输入-输出复杂性。

在此背景下，PC输运ROM相对于子集输运ROM（即不经过PCA直接输运物种子集[26]）的相对优势，可能取决于两种竞争效应之间的平衡。PCA在给定阶数下提供更有效的降维和更低的截断误差，而子集输运避免了非线性耦合并可以简化回归，可能在相同阶数下相对于PC输运提高预测精度。因此，整体ROM性能取决于在给定降维维度下哪种效应占主导地位。

本研究通过系统比较带有非线性变换的PC输运和子集输运ROM框架来回答这一问题。从零维（0-D）点火到正庚烷/空气和主参考燃料（PRF）/空气压缩点火配置的二维（2-D）直接数值模拟（DNS），我们比较了输运（i）物种子集和（ii）变换后主成分的ROMs，两者均包含不带非线性变换的情况。分析表明，PCA在截断误差占主导的区域内提高了精度，但在非线性变换下可能降低回归精度，特别是在中等降维维度下。

## 降阶建模

简要总结基线PC输运ROM。PC输运公式的详细推导见文献[1]、[5]、[6]、[7]。首先，使用相对简单且经济的配置收集训练数据集。然后选择一个物种子集$\boldsymbol{\theta} \in \mathbb{R}^N$，其中$N$表示子集中的物种数量。在本研究中，子集根据训练数据集中物种最大质量分数的预设阈值确定。

## 结果

### 结果I：0-D算例

本节比较了带有和不带有式（2）中非线性变换的0-D大分子烃类燃料点火的基线PC输运和子集输运ROMs。先验和后验测试均评估了每个ROM阶数$r$下输运标量的预测精度和原始物种的重建精度。对于先验评估，ANN训练重复十次，其性能使用归一化均方根误差（NRMSE）衡量。

### 结果II：2-D算例

先前的0-D点火问题足够简单，$r=3$–$4$即可有效捕捉整体行为。相比之下，具有显著湍流-点火相互作用的空间非均匀湍流点火算例预计需要高得多的阶数。为评估PC输运和子集输运ROMs在此类场景下的性能，我们在不同$r$值下使用一系列相关于发动机条件的2-D模拟进行后验评估。ANN训练...

## 结论

本研究通过比较大分子烃类燃料0-D和2-D点火算例中的PC输运和子集输运ROM框架，评估了非线性预处理在与PCA耦合时如何影响数据驱动燃烧ROMs的性能。结果表明，尽管PCA压缩在低阶数下有效（此时截断误差占主导），但与非线性预处理的结合在较高阶数下会降低回归性能。这种降低与额外的交叉项耦合有关...

## CRediT作者贡献声明

Gyeong Ho Son：撰写-初稿，软件，方法论，调查研究，数据管理。Hae Ram Park：撰写-审稿与编辑，软件，调查研究，数据管理。Ki Sung Jung：撰写-审稿与编辑，监督，软件，方法论，资金获取，概念化。

## 利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些可能影响本文所报告的工作。

## 致谢

本研究为"区域成长与人才发展体系（Anchor）"项目研究成果，由教育部和大邱广域市支持。（2026-Anchor-02-001-054）

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