反常动力学输运的分数阶非局域玻尔兹曼框架：熵耗散、速度空间级联与类孤子结构形成

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A Fractional Nonlocal Boltzmann Framework for Anomalous Kinetic Transport: Entropy Dissipation, Velocity-Space Cascades, and Soliton-Like Structure Formation

　　

摘要

我们提出了一个Boltzmann动力学框架的分数阶非局域扩展，用于描述远离平衡态的稀薄气体和等离子体介质中的异常输运过程。该框架通过Caputo型分数阶时间导数引入记忆效应，并结合非局域速度空间扩散以及考虑长程关联的广义碰撞算子。由此得到的动力学方程定义了一类非马尔可夫演化问题，其中经典的向Maxwellian平衡态的弛豫被分数阶弛豫动力学所取代，表现出持续的偏离高斯统计的特性。我们分析了分数阶耗散与非线性碰撞机制之间的相互作用，并证明它们对系统的谱能量分布和弛豫路径产生了显著修改。直接数值模拟揭示了相空间中稳健的空间局域相干结构的涌现，这些结构在长时间演化过程中持续存在。这些结构源于非线性动力学相互作用与分数阶扩散之间的平衡，导致了经典Boltzmann动力学中不存在的自组织模式。结果表明，分数阶动力学算子为产生非平衡动力学系统中的异常弛豫行为和相干结构形成提供了一种灵活的机制，为等离子体及相关介质中的非局域输运和模式形成提供了新的视角。

引言

Boltzmann方程是现代统计力学和动力学理论的重要基石之一，为描述稀薄气体和非平衡系统中粒子分布函数的演化提供了严格的数学框架。自Ludwig Boltzmann提出该方程以来，它建立了微观粒子碰撞与宏观输运现象之间的基本联系，从而解释了扩散、粘性、热传导、熵产生以及向热力学平衡态的趋近过程。凭借其坚实的理论基础和预测能力，Boltzmann方程在气体动力学、稀薄流体力学、等离子体物理、半导体输运、天体物理系统和动力学湍流理论等领域得到了广泛应用[1], [2], [3]。除经典应用外，动力学理论已成为理解复杂物理系统中多尺度输运过程的不可或缺的工具，在这些系统中，微观相互作用共同决定了涌现的宏观行为。

尽管取得了显著成功，经典Boltzmann方程依赖于若干简化假设，包括局域二元碰撞、短程粒子相互作用、马尔可夫演化以及布朗扩散。这些假设对于接近平衡态的稀薄气体非常适用，但在许多涉及复杂介质的当代应用中变得不足。实验和计算研究表明，许多物理系统表现出长程相互作用、遗传效应、异常扩散、非高斯统计、重尾速度分布和持续性时间关联等特征，这些无法在经典动力学框架内得到忠实描述。此类行为自然出现在等离子体湍流、天体物理输运、颗粒气体、复杂流体、多孔材料以及其他以非局域相互作用和多尺度输运机制为特征的非平衡系统中[4], [5], [6]。这些局限性促使人们寻求能够纳入记忆效应和空间非局域性的广义动力学模型，同时保持经典动力学理论的基本物理原理。

分数阶微积分已成为建模依赖于记忆和非局域过程的最成功数学工具之一。通过将微分和积分扩展到非整数阶，分数阶算子自然地考虑了遗传效应、幂律弛豫、异常扩散以及在复杂系统中经常观察到的长程时间或空间关联。因此，分数阶微分方程已成功应用于粘弹性、多孔介质、生物输运、金融、异常扩散和非平衡统计力学等多个领域[4], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]。在动力学理论中，分数阶算子的引入激发了广义动力学方程、分数阶Fokker–Planck模型以及能够描述超越经典布朗范式的异常粒子动力学的非局域输运方程的发展[14], [15]。这些发展表明，分数阶模型为表征当前状态不仅依赖于瞬时相互作用而且依赖于其全部演化历史的系统提供了自然的数学框架。

随着对分数阶微积分的兴趣日益增长，非局域相互作用机制在现代动力学建模中变得越来越重要[16], [17], [18], [19], [20]。在许多物理系统中，长程库仑力、集体粒子相互作用、非局域碰撞核和速度空间耦合对输运动力学和弛豫过程产生了重大影响。这些效应通常产生非Maxwellian平衡态、间歇性输运、重尾速度分布、分数阶湍流以及局域碰撞模型无法充分捕获的广义熵产生[2], [3], [21]。因此，时间记忆和非局域粒子相互作用的结合代表了经典动力学理论的自然扩展，并为高度异质和非平衡环境中输运过程提供了更现实的数学描述。

近年来，分数阶动力学方程在理论和计算发展方面取得了重大进展。Li和Cao[22]通过从广义Boltzmann输运方程直接推导分数阶热传导模型，为非傅里叶热传递建立了严格的动力学基础。Zhmakin[23]通过Boltzmann方程和Fokker–Planck方程的分数阶表述进一步扩展了理论框架，提供了关于由记忆和非局域性支配的广义输运机制的更深入见解。这些研究表明，分数阶动力学模型为描述超越经典统计力学假设的输运过程提供了物理一致的框架，这一认识正日益得到重视。

在分数阶格子Boltzmann方法的发展方面也取得了并行进展，这些方法已成为求解科学和工程中出现的分数阶偏微分方程的强大数值工具。最近的贡献包括广义时间分数阶波动方程的格子Boltzmann表述[24]、具有时间分数阶效应的 porous 介质不可压缩流动[25]、使用完美匹配层技术定价美式回望看跌期权[26]以及各向异性Cahn–Hilliard方程的数值模拟[27]。这些研究共同证明了格子Boltzmann方法在建模各类应用中依赖于记忆和非局域输运现象方面的灵活性和计算效率。它们还突出了分数阶微积分、动力学理论和格子Boltzmann技术在异常输运过程研究中的日益融合。

尽管这些贡献大大推进了该领域的发展，但仍有若干重要挑战尚未解决。现有研究主要关注分数阶输运修正、广义扩散模型、分数阶Fokker–Planck方程或针对特定控制方程类的格子Boltzmann表述。相对较少的研究致力于发展一个同时纳入分数阶时间记忆、广义非局域碰撞动力学、分数阶速度空间扩散、严格的数学分析、广义熵结构和异常动力学输运谱研究的统一定量框架。因此，一个能够连接严格数学分析与具有物理意义的动力学建模的综合理论框架在很大程度上仍未被探索。

基于上述观察，本研究发展了一个统一的分数阶非局域Boltzmann框架，用于描述复杂非平衡系统中的异常输运过程。通过将Caputo型时间记忆、广义非局域碰撞算子、分数阶速度空间扩散和谱动力学分析整合在单一的数学表述中，所提出的模型将经典Boltzmann方程扩展到超越传统局域相互作用和马尔可夫动力学假设的范围。所得到的框架为研究广义熵产生、异常弛豫、重尾速度分布、动力学湍流以及在等离子体物理、天体物理介质、稀薄气体以及其他经典动力学模型不再适用的多尺度系统中遇到的非平衡输运现象提供了一致的理论基础。

本研究的主要目标是发展一个数学上严格且物理上自洽的分数阶非局域Boltzmann框架，能够描述由记忆效应、非局域相互作用和异常扩散支配的输运过程。为此，通过引入Caputo分数阶时间导数、广义非局域碰撞算子和分数阶速度空间扩散项，对经典Boltzmann方程进行推广。该表述旨在提供一个统一定量模型，将经典统计力学的适用性扩展到表现出遗传动力学、长程粒子相互作用和非马尔可夫输运行为的复杂系统。

除模型开发外，本研究旨在为所提出的分数阶动力学框架建立全面的理论基础。具体而言，在适当的函数设置下，发展了关于解的存在性、唯一性、稳定性和长时间渐近行为的严格解析结果。此外，引入广义熵泛函和H定理的分数阶类似物，以研究熵产生、不可逆弛豫以及向广义平衡态的收敛。随后利用谱分析来表征所提出动力学模型的稳定性性质，并进一步深入理解非平衡输运现象的演化。

本研究的另一个重要目标是通过高分辨率数值模拟来考察所提出模型的计算和物理含义。采用傅里叶伪谱离散化结合高效分数阶时间积分策略，以准确解析非局域动力学演化。数值实验旨在考察不同分数阶和非局域相互作用参数下的重尾速度分布、熵演化、异常弛豫、谱能量转移、相空间相协结构和分数阶速度空间级联动力学。这些研究为记忆和非局域性对动力学输运的影响提供了定量证据，并揭示了经典Boltzmann框架中不存在的输运机制。

本工作的主要贡献可总结如下：

• 通过整合Caputo型时间记忆、广义非局域碰撞动力学和分数阶速度空间扩散，提出了一个统一的分数阶非局域Boltzmann方程。

• 发展了严格的数学分析，建立了所提出分数阶动力学模型解的存在性、唯一性、稳定性和渐近行为。

• 构建了广义熵结构以及经典H定理的分数阶扩展，以表征表现出记忆和非局域相互作用的系统中的熵产生和不可逆非平衡弛豫。

• 发展了分数阶动力学方程的谱表述，以研究稳定性性质、速度空间动力学以及广义动力学平衡态的演化。

• 构建了一个高效的傅里叶伪谱数值框架，以准确逼近所提出模型并解析底层的分数阶非局域输运动力学。

• 进行了全面的数值研究，以考察异常输运、重尾速度分布、熵演化、谱能量级联、相空间相干结构以及分数阶动力学湍流，从而证明所提出框架在捕获超越经典Boltzmann方程范围的复杂输运现象方面的有效性。

本文其余部分组织如下。第3节介绍了所提出的分数阶非局域Boltzmann方程及其物理解释和数学表述。第6节给出了理论分析，包括广义熵结构、存在性和唯一性结果、稳定性分析以及所提出模型的渐近性质。第7节描述了数值方法和计算实现，第8节讨论了展示异常输运、熵演化和分数阶动力学湍流的广泛数值实验。最后，我们讨论了主要发现，第11节以所提出框架的意义和未来研究方向评述作为论文的结论。

第3节片段

经典Boltzmann方程

Boltzmann方程是经典动力学理论和统计力学的基石，为经历二元碰撞的粒子系统演化提供了微观描述。该方程支配单粒子分布函数 ?? = ??(??, ??, ??) 的时间演化，其中 ?? ∈ ??? 表示空间坐标，?? ∈ ??? 表示粒子速度，?? > 0 表示时间。经典Boltzmann方程为

分数阶动力学表述

鉴于经典Boltzmann方程在建模异常输运、依赖于记忆的弛豫和非局域粒子相互作用方面的局限性，我们引入一个广义分数阶非局域动力学框架，能够描述遗传输运动力学和长程碰撞效应。所提出的模型将分数阶时间演化、非局域碰撞结构和异常速度扩散整合在统一动力学表述中。

设 ?? = ??(??, ??, ??) 表示

广义熵泛函

动力学理论最基本的方面之一是通过熵产生机制来表征不可逆输运动力学。在经典Boltzmann理论中，熵提供了无序度的微观度量，量化了非平衡粒子系统向热力学平衡态不可逆趋近的趋势。对于所提出的分数阶非局域Boltzmann框架，记忆效应、分数阶扩散和非局域碰撞动力学的存在需要

傅里叶动力学表述

谱分析在分数阶动力学方程的研究中起着核心作用，特别是在非局域输运、速度空间湍流和异常弛豫动力学的研究中。傅里叶表述将高度非线性的积分微分动力学系统转化为谱框架，在该框架中可以更清晰地分析非局域算子、分数阶扩散机制和碰撞诱导的能量转移。

设 ?? = ??(??, ??, ??) 为足够正则的

函数框架

分数阶非局域Boltzmann方程的解析处理需要适当的函数设置，同时容纳空间输运、速度正则性、分数阶扩散和非局域碰撞结构。设 ?? = ??(??, ??, ??) 定义在 (??, ??) ∈ Ω × ??? 上，其中 Ω ? ???。

我们引入加权动力学Sobolev空间，形式为

????,???(???) = {?? : ????? ????? ?? ∈ ??2(???), |??| ≤ ??}，???? = (1 + |??|2)1/2，

这些空间捕捉了多项式速度增长和动力学正则性。

对于空间变量，我们需要光谱数值方法。分数阶非局域Boltzmann方程的数值近似需要同时具备解析非局域碰撞积分、分数阶扩散算子和相空间中输运动力学的能力。由于分数阶拉普拉斯算子和卷积型碰撞算子本身都具有内在的光谱性质，基于Fourier的离散化提供了一种自然的计算框架。设f(x, v, t)表示在周期空间域Ω=[0, L]^d上以及

数值模拟与物理动力学
所有数值实验均采用分数阶非局域Boltzmann系统的高分辨率光谱实现：
??_??^?? f + v·?_?? f = ??_??(f, f) + ??_??(?Δ_??)^?? f
在相空间中采用完全耦合的Fourier伪光谱离散化，并基于卷积来评估非局域碰撞算子。

等离子体物理学与气体动力学中的应用
Boltzmann方程及其现代扩展形式在跨动力理论、等离子体物理学和流体动力学的多尺度输运现象建模中继续发挥着核心作用。最新进展表明其在经典和非经典领域中的通用性。例如，离散Boltzmann公式已成功应用于可压缩流动模拟和通量重构格式[28]，而非局域Poisson-Boltzmann模型提供了高效的计算

未来方向
本工作中开发的分数阶非局域Boltzmann框架开辟了若干具有丰富数学内涵和重要物理意义的进一步研究方向。一个核心的理论扩展涉及相对论效应的引入，即粒子速度接近光速时，经典动能结构必须被替换为Lorentz不变量表述。在此设定下，输运算子v·?_??f被替换为相对论相空间流

结论
本工作发展了一个统一的分数阶非局域Boltzmann框架，用于描述具有时间记忆性、长程粒子相互作用和异常速度空间扩散特征的系统中动理学输运过程。与假设马尔可夫动力学、局部二元碰撞和高斯输运的经典Boltzmann方程不同，所提出的公式纳入了Caputo分数阶时间导数、分数阶速度拉普拉斯算子以及广义的

致谢
本研究未获得外部资助。

CRediT作者贡献声明
Kolade M. Owolabi：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，资金获取，形式分析，数据管理，概念构思。Sonal Jain：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，形式分析，概念构思。Eben Mare：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明不存在利益冲突。

Kolade M. Owolabi | Sonal Jain | Eben Mare
奥库联邦科技大学数学科学系，邮编PMB 704，奥贡达州，奥库，尼日利亚