一种在任意曲面上求解整数阶与含时分数阶抛物型界面偏微分方程的浅层神经网络方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A shallow neural network approach for solving integer-order and time-fractional parabolic interface PDEs on arbitrary surfaces

　　

摘要

本文提出了一种新颖的浅层神经网络方法，用于求解任意曲面上的整数阶和时间分数阶抛物型界面偏微分方程。该方法的核心策略是将低维的不连续解嵌入到维度增高的连续光滑函数中。随后，利用一个浅层前馈网络来逼近界面偏微分方程问题中的分段连续解函数。这种物理信息驱动的架构通过在弯曲域上定义的加权二次损失函数，综合实现了内部偏微分方程残差最小化、必要边界条件的强制施加以及界面不连续性的保持。该方法完全无需网格，可轻松应用于具有复杂几何形状的曲面。网络的参数量相对较少，提高了训练和计算效率。此外，该网络能够准确地捕捉跨界面的尖锐跳跃，从而实现了高计算精度。采用L1和L2-1σ方案在时间分数阶问题中实现了高精度。据我们所知，目前尚无任何已发表的研究将浅层神经网络应用于任意曲面上的整数阶和时间分数阶抛物型界面偏微分方程。

引言

表面界面问题，其特征是在流形上具有不连续系数的偏微分方程，在工程和力学中有着广泛的应用。这些问题的重要性体现在物理和生命科学中各种自然系统的表征和模拟中，其中弯曲表面的界面相互作用出现在流体力学、先进材料工程和细胞生物学等领域。例如，肥皂泡上的图案运动、表面上的枝晶结晶以及超薄弯曲合金结构中的热传导[1], [2], [3], [4]。这些模型的复杂几何结构往往使得解析求解技术力有未逮。因此，开发准确、可靠且高效的计算方法对于实际模拟、参数评估和模型改进至关重要。

过去几年中，人们为曲面偏微分方程和界面问题开发了许多计算方法。曲面上偏微分方程的典型空间离散化技术包括曲面有限元方法[5]、最近点方法[4], [6]以及局部切向提升技术[7], [8], [9]。然而，由于表面复杂性，网格拟合方法往往耗时较长。为解决这一问题，研究者设计了使用非拟合网格的有限元方法。Guo等人[10]通过引入浸入界面法（IIM）的概念来增强曲面有限元方法。此外，Guo等人[11]扩展了一种广义有限差分方法（GFDM），结合局部切向提升技术，以解决曲面上的椭圆型界面问题。然而，对于涉及复杂曲面和界面的问题，这些方法往往由于网格生成而遇到计算困难，可能降低精度和效率。

由于曲面和界面的复杂几何结构以及扩散系数的突变，用数值方法求解曲面界面问题具有挑战性。近年来，科学计算领域对使用神经网络来解决这些困难并求解偏微分方程表现出越来越浓厚的兴趣。神经网络为求解偏微分方程提供了强有力的工具，因为它们具有逼近非线性函数的能力。自动微分的引入进一步增强了神经网络在机器学习中的实用性，简化了导数计算。此外，神经网络非常适合高维逼近任务，为传统计算方法因"维数灾难"而难以应对的高维偏微分方程提供了独特优势。

使用深度神经网络求解偏微分方程的代表性方法包括Raissi等人[12]提出的物理信息神经网络（PINNs）、深度Galerkin方法（DGM）[13]以及E和Yu提出的深度Ritz方法[14]。然而，由于标准激活函数的光滑性，当偏微分方程的解非光滑或仅分段光滑时，深度神经网络可能表现不佳。因此，一些面向界面的神经模型引入了特殊的不连续性表示。例如，针对具有尖锐对比不连续系数的椭圆型界面问题，设计了一种基于深度Ritz的方法[15]。该神经网络由两个段加上一个线性输出层组成，每段包含两个全连接隐藏层。该方法表示的解在界面处保持连续，但导数存在跳跃。此外，为了解决界面处解和导数均存在不连续性的椭圆问题，提出了一种分段深度神经网络方法[16]。该方法使用两个神经网络来建模界面问题两个子域内的解，在每个子域内保持解的光滑性。虽然该方法在椭圆型界面问题上表现良好，但更深的网络需要更多的计算量，特别是当为每个子域分别训练深度网络时。

与整数阶偏微分方程不同，分数阶偏微分方程（FPDEs）以其非局部性和空间异质性为特征。近几十年来，分数阶偏微分方程的数值解取得了显著进展，发展出了多种技术，如有限差分法[17], [18]、有限元法[19], [20]、谱方法[21], [22]等。然而，传统的神经网络方法，如PINNs，由于经典链式法则在分数阶微积分中的不适用性而面临一些困难。为解决这一挑战，分数阶物理信息神经网络（fPINNs）[23]将标准数值方法获得的离散分数算子纳入PINNs的损失函数中。在fPINNs的基础上，改进的分数阶PINNs（IFPINNs）[24]和基于蒙特卡洛采样的PINNs（MC-fPINNs）[25]被提出分别处理奇异摄动问题和高维问题。

最近，人们越来越重视使用浅层或低深度网络来解决界面问题。Hu等人[26]提出了一种名为"不连续性捕捉浅层神经网络"（DCSNN）的简单神经网络，用于求解椭圆型界面问题。该方法将不连续解嵌入到增广输入空间中，并使用浅层网络来建模由此产生的连续表示，同时保持界面处的尖锐跳跃。在[27]中进一步开发了一种尖点捕捉PINN，用于界面附近存在导数奇性的椭圆型界面问题，利用尖点强制水平集特征来改善逼近。此外，作者提出了一种混合方法[28]，将神经网络学习技术与传统有限差分方法结合，用于处理泊松界面问题。这些网格无关的神经网络方法为复杂域中的问题提供了替代方案，特别是在网格生成困难的场景中。

几项最近的工作与当前设定特别相关，但它们处理的是整体问题的不同部分。Li等人[29]提出了两种去不连续性PINNs（DR-PINNs）变体，用于检测椭圆型曲面界面问题中解函数及其导数的不连续性。自适应界面PINNs[30]和界面门控PINNs[31]为欧几里得椭圆型界面问题引入了界面感知架构，而针对点云曲面上的PINNs公式[32]和弯曲曲面上Allen-Cahn方程的迁移学习PINNs[33]则侧重于不涉及本文所考虑的抛物型界面和分数阶记忆结构的曲面偏微分方程。相比之下，本方法使用一个增广浅层网络，以迹标签s=±1来表示曲面界面的两个物理侧面，而不是训练独立的子域网络或构建去不连续性辅助场。该公式直接在任意指定曲面上施加曲面抛物型残差、值跳跃和通量跳跃，并将此表示与时间分数阶情况下Caputo导数的L1和L2-1σ离散化相结合。为评估最近的界面-PINN思想如何迁移到当前几何中，示例3.1-3.8还报告了AdaI-PINNs和IG-PINNs的曲面适应版本，其中其原始椭圆型损失被替换为曲面抛物型残差和曲面值跳跃及通量跳跃损失。因此，本工作的主要区别不仅在于使用神经残差损失，还在于在紧凑的浅层网络框架内结合了增广迹表示、曲面界面跳跃约束、抛物型时间依赖性和时间分数阶记忆项。

本文其余部分组织如下：第2节描述求解整数阶和时间分数阶抛物型曲面界面问题的方法，第3节展示数值结果，第4节以结论和未来研究方向作为总结。

增广函数

我们首先介绍DCSNN方法中使用的增广表示，并将其适应于曲面界面问题。对于界面问题，期望的解函数可表示为：
u(x) = u?(x)，若x∈Ω?；u?(x)，若x∈Ω?
其中解u(x)定义在空间区域Ω=Ω?∪Ω?∪Γ（Ω??^d）上。这里，x=(x?,x?,...,x_d)，在二维和三维中分别将x写为(x,y)和(x,y,z)。对于时间相关问题，x被替换为(x,t)，分别写为(x,y,t)和(x,y,z,t)。

数值结果

为评估所提方法的数值性能，我们进行了一系列数值实验。除另有说明外，惩罚参数α、αb、α0、αΛ和系数κ均设为1，计算时间区间为(0,1]。训练在满足[35]中定义的停止准则或达到3000次迭代上限时停止。设Ni和No分别表示网络的输入通道数和输出通道数。

为便于复现，表1总结了相关参数设置。

结论与未来工作

本研究引入了一种利用低深度神经网络解决任意曲面上界面偏微分方程问题的新颖方法。核心策略是将d维半连续函数等距嵌入到(d+1)维环境空间中，在此空间中施加全局连续性。扩展公式将分段连续性约束转化为可由浅层网络求解的凸学习问题，其特征为参数量可控且结构简单。

数据与代码可用性

本文所描述的研究未使用外部数据集。数值示例由手稿中所述的解析曲面、界面、系数、源项和精确解定义生成。PyTorch实现代码、用于附加修订实验的脚本及其原始JSON输出结果可通过合理请求向通讯作者获取。

作者贡献声明

常业何（Changye He）：原创性撰写、验证、软件、方法学、形式分析。谭志军（Zhijun Tan）：审阅与编辑、验证、监督、项目管理、资金获取。

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

常业何|谭志军
中山大学计算机科学与工程学院，广东省计算科学重点实验室，广州，510006，广东，中国