具有非局部非线性的薛定谔晶格系统的动力学

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Dynamics of Schr....dinger lattice system with nonlocal nonlinearity

　　摘要
本文研究了一个具有非局部非线性相互作用的阻尼离散非线性薛定谔格子系统，该系统受到时变外力的作用。本研究的首个核心贡献是探讨了循环动态行为。我们证明了关于周期解、拟周期解、几乎周期解和几乎自守解的存在性和唯一性的Massera型结果，据我们所知，这些结果是首次针对此类非局部格子系统得出的。其次，通过证明全局均匀吸引子与循环解轨迹的闭包完全一致，我们开发了一种方法来证明吸引子对于非局部参数的连续性。这一结果为以下直觉提供了严格的理论支持：在弱耦合极限下，非局部相互作用逐渐趋近于经典局部行为。这种方法是基于三角不等式和Hausdorff半距离对称性的缺失所导致的技术难题的解决方法。证明吸引子连续性的方法还揭示了均匀吸引子的结构。最后，作为一个具体应用示例，我们研究了具有非线性跳跃的三次薛定谔格子系统的旋转解和呼吸子解。

引言
我们考虑以下具有非局部非线性的阻尼薛定谔格子系统：
\[ \mathcal{I}\dot{\mathbf{\psi}}(\mathbf{n}) = -\Delta\mathbb{d}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - \mathbf{f}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n})) - \mathbf{i}\mathcal{\eta}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - \mathbf{\theta}\mathbf{h}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n}+1), \mathbf{\psi}(\mathbf{n}-1)\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) + \mathbf{g}(\mathbf{n}, \mathbf{t}), \quad \mathbf{n} \in \mathbb{Z} \]
其中，$\delta > 0$ 是阻尼系数，$\mathbf{g}(\mathbf{t}) = \{\mathbf{g}(\mathbf{n}, \mathbf{t})\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 在系统中作为时变外力。离散拉普拉斯算子 $\Delta_d: \ell^2 \to \ell^2$ 定义为 $\Delta\mathbb{d}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) = \mathbf{\psi}(\mathbf{n}+1) - 2\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) + \mathbf{\psi}(\mathbf{n}-1)$。$\mathbf{\theta}\mathbf{h}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n}+1), \mathbf{\psi}(\mathbf{n}-1)\mathbf{\psi}(\mathbf{n})$（其中 $\theta \in (0, 1]$）是非局部非线性项。当 $\mathbf{\theta} = 0$ 时，（1）式变为经典阻尼薛定谔格子系统：
\[ \mathcal{I}\dot{\mathbf{\psi}}(\mathbf{n}) = -\Delta\mathbb{d}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - \mathbf{f}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n})) - \mathbf{i}\mathcal{\eta}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) + \mathbf{g}(\mathbf{n}, \mathbf{t}), \quad \mathbf{n} \in \mathbb{Z} \]
离散非线性薛定谔方程（DNLS）是非线性科学中的基本模型。它们自然地源于连续非线性薛定谔方程的空间离散化，同时也是对诸如耦合光波导阵列、非谐振子链和生物分子链等本质上离散系统的自洽描述。关于物理应用和数学结果的全面概述，可以参考经典综述 [1]。
耗散格子系统的长时间渐近行为通常用全局吸引子来描述。对于具有局部非线性的自治DNLS格子，Karachalios和Yannacopoulos [2] 已证明了全局吸引子的存在性和有限维性。后续工作将这些结果扩展到了各种一阶和二阶格子系统；例如参见 [3], [4], [5], [6], [7] 及其中的参考文献。对于具有时变外力的非自治系统，适当的概念是均匀全局吸引子，对于局部格子模型已有若干存在性结果 [8], [9], [10]。比全局吸引子更强的概念是指数吸引子，它具有明确的指数吸引速率。Eden等人 [11] 为自治系统发展了这一理论，后来Zhou和Han [12] 将其扩展到了具有拟周期外力的非自治格子系统。
从物理角度来看，非局部非线性项自然出现在具有 site-to-site 势能的非谐链模型、混合Fermi-Pasta-Ulam/Klein-Gordon格子系统以及具有非线性跳跃的DNLS中 [13], [14], [15]。非局部耦合引入了真正的新数学难题。特别是，必须修改标准的尾部估计方法以考虑非线性项的最近邻依赖性。因此，本文的第一个目标是将吸引子理论扩展到非局部环境（1）。
除了吸引子的存在性之外，另一个重要问题是结构稳定性：随着非局部参数 $\theta$ 的变化，吸引子集如何变形？直接通过Hausdorff半距离进行分析非常困难，因为半距离不满足三角不等式且不对称。本文的第二个主要创新点是基于循环解开发了一种方法论。

循环运动——周期解、拟周期解、几乎周期解和几乎自守解——是自Poincaré和Birkhoff以来动力系统理论中的经典课题。对于抛物型演化方程，Nakao [16], [17] 得出了基础性结果。最近，人们研究了各种连续PDE系统的循环解，如Ginzburg-Landau方程 [18], [19] 和KdV方程 [20]。然而，对于格子系统的循环解几乎一无所知。
在本文中，我们证明了在阻尼存在的情况下，非局部DNLS（1）中所有四种类型的有界循环解的存在性和唯一性。然后我们展示了当外力是循环的时，全局均匀吸引子与唯一循环解的轨迹闭包完全一致。这种结构特征使得我们将吸引子的连续性问题简化为循环解的连续性问题。由此我们证明，随着 $\theta \to 0^+$，非局部系统的吸引子与局部系统的吸引子之间的Hausdorff距离趋于零。这一结果为以下直观理解提供了严格的数学基础：在弱耦合范围内，非局部相互作用渐近地趋近于其经典的局部对应物。

回顾之前的工作，Hennig [21] 为非自治格子证明了指数吸引子的存在性，但未讨论参数变化下吸引子的连续性问题。本文构建的均匀指数吸引子遵循Zhou-Han框架，但将其应用于更一般类型的非线性，这需要修改尾部估计以处理最近邻非线性耦合。同时，Hennig [22] 关注在相同激励/阻尼条件下不同模型吸引子之间的共性（结构相似性）。关键洞见是——当阻尼和激励满足某些兼容条件时，可积和非可积DNLS方程的吸引子是一致的——这为模型空间而非参数空间提供了结构稳定性结果。我们论文的连续性结果（定理6.2）可以视为关于非局部性参数 $\theta$ 的一个补充结构稳定性陈述，关键区别在于本文通过循环轨迹的证明避免了直接的Hausdorff半距离估计。Hausdorff半距离缺乏三角不等式和对称性这一关键难点传统上阻碍了参数空间中吸引子连续性的直接证明。证明吸引子连续性的方法揭示了均匀吸引子的结构。
最后，作为一个说明性示例，我们将我们的通用结果应用于具有非线性跳跃的三次薛定谔格子系统，该系统在呼吸子和间隙孤子背景下已被广泛研究 [13], [14], [15]。我们证明了旋转解的存在性，并且在驻波激励下证明了在 $\theta$ 中连续的唯一呼吸子解。

本文的其余部分组织如下：第2节总结了我们对非线性项和外力的假设。第3节通过半群理论证明了系统（1）的全局适定性，并建立了关于 $\theta$ 的基本连续性结果。第4节构建了均匀全局吸引子和均匀指数吸引子。第5节专门讨论有界解和循环解。第6节证明了吸引子与循环轨迹的一致性以及吸引子在 $\theta$ 中的连续性。第7节介绍了旋转解和呼吸子解的应用。

预备知识和基本假设
我们在希尔伯特空间 $\ell^2 = \ell^2(\mathbb{Z}; \mathbb{C})$ 上工作，该空间定义为整数格子上平方可和的复值序列，其范数为 $\|\mathbf{\psi}\|_2^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}|\mathbf{\psi}(\mathbf{n})|^2$。离散拉普拉斯算子 $\Delta_d: \ell^2 \to \ell^2$ 是一个有界线性算子，其算子范数最多为4。
在整个论文中，局部非线性项 $\mathbf{f}: \mathbb{Z} \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 满足以下三个假设：
- $(f1)\ \mathbf{f}(\mathbf{n}, 0) = 0$ 且当 $|\psi| \to 0$ 时，$\mathbf{f}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}) = \mathcal{O}(\mathbf{\psi})$（对所有 $\mathbf{n} \in \mathbb{Z}$ 均匀成立）。
- $(f2)\ \mathbf{f}(n, \psi)$ 对 $\psi$ 是局部Lipschitz连续的。

全局适定性
我们考虑系统（1）的柯西问题，其初始条件为 $\mathbf{\psi}(\mathbf{n}, \mathbf{t}_0) = \mathbf{\psi}_0(\mathbf{n})$，其中 $\mathbf{t}_0 \in \mathbb{Z}$，对于某个初始数据 $\psi_0 \in \ell^2$。定义线性算子 $\mathcal{L}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) = \mathcal{i}\Delta\mathbb{d}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - \mathcal{\eta}\mathbf{\psi}(\mathbf{n})$。由于 $\mathcal{i}\Delta_d$ 是斜对称且有界的，并且 $-\mathcal{\eta}\mathbb{I}$ 是耗散的，L在 $\ell^2$ 上生成了一个C0-半群 $\mathcal{S}_L(t)$，满足 $\|\mathcal{S}_L(t)\mathbf{\psi}\| \leq \mathcal{e}^{-\mathcal{\eta}\mathbf{t}\|\mathbf{\psi}\| \leq \mathcal{e}^{-\mathcal{\eta}\mathbf{t}\|_{\mathbb{L}}$，对于所有 $\mathbf{t} \geq 0$。
问题（1）-（3）的温和表述为：
\[ \mathbf{\psi}(\mathbf{t}) = \mathcal{S}_L(t-\mathbf{t}_0)\mathbf{\psi}_0 + \int_{\mathbf{t}}^{\mathbf{t}_0}\mathcal{S}_L(t-\mathbf{s})\mathbf{F}(\mathbf{s}, \mathbf{\psi}(\mathbf{s}))\mathbf{d}\mathbf{s} \]
其中非线性映射 $\mathbf{F}(\mathbf{t}, \mathbf{\psi}) = \{\mathbf{F}(\mathbf{n}, \mathbf{t}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n})\}_{n \in \mathbb{Z}}$ 定义为：
\[ \mathbf{F}(\mathbf{n}, \mathbf{t}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n}) = (-\mathcal{i})(-\mathbf{f}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n})) - \mathbf{\theta}\mathbf{h}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}(\mathbf{n}+1), \mathbf{\psi}(\mathbf{n}-1)) \]

吸引子
在本节中，我们研究了非自治系统（1）的长时间行为。我们首先使用扩展的相空间方法构建了均匀全局吸引子。然后我们在拟周期时间符号下构建了均匀指数吸引子。

有界解和循环解
在本节中，我们研究了定义在整个实数线上有界解，并证明了它们继承了外力的循环性质。在本节中，我们加强了我们的假设：
- $(fh)\ 函数 $f$ 和 $h$ 是局部Lipschitz可微的。更准确地说，对于每个 $R > 0$，存在 $L_3(R), L_4(R) > 0$ 使得 $|\partial_f\mathbf{f}(\mathbf{n})\partial_{\mathbf{Re}}\mathbf{\psi}| + |\partial_f\mathbf{f}(\mathbf{n})\partial_{\mathbf{Im}}\mathbf{\psi}| \leq L_3(R)$，$|\partial_{\mathbf{h}}\mathbf{h}(\mathbf{n})\partial_{\mathbf{Re}}\mathbf{\psi}| + |\partial_{\mathbf{h}}\mathbf{h}(\mathbf{n})\partial_{\mathbf{Im}}\mathbf{\psi}| + |\partial_{\mathbf{h}}\mathbf{h}(\mathbf{n})\partial_{\mathbf{Re}}\mathbf{f}(\mathbf{n})|\partial_{\mathbf{Im}}\mathbf{f}(\mathbf{n})| \leq L_4(R)$，只要 $|\psi|, |\phi| \leq R$。
外力满足 $\mathbf{g} \in \mathcal{C}_{1,\mathbb{B}(\mathbb{R}; \mathbb{L}^2)$，其中 $\|\dot{\mathbf{g}}_{1,\mathbb{B}(\mathbb{R}; \mathbb{L}^2) = \mathcal{L}'\mathbf{g} < \infty$。

关于非局部参数的吸引子连续性
在本节中，我们证明了主要结构结果：均匀吸引子在 $\mathbf{\theta} \to 0^+$ 时在Hausdorff距离上是连续的。关键步骤是证明吸引子与循环解轨迹的闭包一致。
在本节中，我们假设 $g_0$ 是周期的、拟周期的或几乎周期的，因此其包络 $H(g_0)$ 是紧凑的。我们还加强了阻尼条件为 $\mathcal{\eta}- \mathcal{L}_1^2(2\mathcal{L}_1\mathbf{g}_\mathcal{g}\mathcal{L}_2(2\mathcal{L}_1\mathbf{g}\mathcal{g}) > 0$，这确保了所有符号的有界解的唯一性。

应用：旋转解和呼吸子解
作为我们通用理论的一个具体应用，我们考虑了具有非线性跳跃的三次薛定谔格子系统：
\[ \mathcal{I}\dot{\mathbf{\psi}}(\mathbf{n}) = -\Delta\mathbb{d}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - \mathcal{i}\mathcal{\eta}\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - |\mathbf{\psi}(\mathbf{n}|^2\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) - |\mathbf{\psi}(\mathbf{n}+1)|^2 + |\mathbf{\psi}(\mathbf{n}-1)|^2\mathbf{\psi}(\mathbf{n}) + \mathbf{g}(\mathbf{n}, \mathbf{t}) \]
该模型在呼吸子和间隙孤子背景下已被广泛研究；参见 [13], [14], [15]。它符合我们的通用框架，其中 $\mathbf{f}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}) = |\mathbf{\psi}|^2\mathbf{\psi},\mathcal{H}(\mathbf{n}, \mathbf{\psi}_1, \mathbf{\psi}^2) = |\mathbf{\psi}_1|^2 + |\mathbf{\psi}_2|^2$。很容易验证假设 $(f1)-(f3)$ 和 $(h1)-(h2)$ 是满足的。
如果存在映射 $\mathcal{T}_{\text{Rot}}\mathbf{\psi}(t)$，则称解 $\psi(t)$ 为旋转解。

作者贡献声明
Ming Cheng：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，形式分析，概念化。
Dirk Hennig：撰写——审阅与编辑，概念化。
Lingyao Meng：撰写——审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的财务利益或个人关系。