面向黎曼曲面轨迹规划的约束引导速度场设计

《Computer Aided Geometric Design》：Constraint guided velocity field design for riemannian surface trajectory planning

　　

本文提出了一种结合流匹配与受约束优化模型的曲面轨迹规划方法。提出了一种转弯平滑性约束以表征路径的平滑性。大量实验证明了所提算法的有效性。

引言

轨迹规划是机器人和自主系统中的基本问题，其目标是生成平滑、安全且与环境约束一致的轨迹（Hwang et al., 2024; Zhang et al., 2024）。大量研究通过采样方法（LaValle, 1998; Kavraki et al., 1996）、基于优化的方法（Goaoc et al., 2013）以及基于学习的技术（Tonti et al., 2025; Liu et al., 2025; Ni and Qureshi, 2024）在欧几里得空间中解决了这一问题，为在许多场景中生成可行且无碰撞的轨迹奠定了成熟的基础。

然而，当运动被约束在曲面而非自由空间上时，规划问题呈现出不同的特性。机器人必须停留在决定可行运动形态的底层流形上，距离、平滑性和允许的控制等概念不再像在平坦域中那样表现。几何控制和曲率感知轨迹设计（Laumond, 1998; Bloch et al., 2015; Kano and Fujioka, 2018）的先前工作已探讨了该问题的某些方面，但现有方法在处理曲面约束运动带来的更广泛挑战方面仍然有限。流形几何、安全考量与高质量轨迹生成的结合创造了一种通用规划框架难以直接应用的场景，凸显了需要更好地适应这些几何环境的新公式的必要性。

一条重要的研究路线通过将运动代价和碰撞避免直接编码在黎曼度量中来解决此类问题，然后在该度量下计算测地线。Klein et al.（2023）构建了区域规避度量，其测地线会被排斥到指定的禁止区域之外，为黎曼流形上的碰撞安全运动生成提供了几何上严谨的机制。Bao et al.（2026）将航向、转向努力度和障碍物可达性边界纳入黎曼度量中用于港口转移机器人，并通过几何热流求解由此产生的测地线规划问题。这些研究特别重要，因为它们展示了几何结构如何同时表示运动质量和障碍物避免，而不是将它们视为不相关的后处理目标。它们也为本文提供了有价值的参考：这些方法设计度量并优化其测地线，而我们的框架从学习的内在速度场开始，在线应用切向约束校正，包括对局部转弯平滑性的显式约束。

流匹配最近作为一种强大的框架出现在生成建模和控制中的连续时间动态建模中。其核心思想是学习一个向量场，其积分可产生作为常微分方程解的轨迹，而不是从离散样本或优化阶段组装路径。这种连续流的观点与轨迹规划的目标紧密呼应，因为平滑性和全局一致性自然地源于学习到的动态结构。最近的进展显著增强了该方法的适用性。Lipman及其合作者（Lipman et al., 2022）引入了基础公式。随后，Liu et al.（2022）通过校正流技术改进了其数值稳定性，而Sprague et al.（2024）分析了其在自主系统中的鲁棒性。与此同时，将该框架扩展到欧几里得域之外的努力也扩大了其相关性。Chen和Lipman（2023）做出了一个关键进展，他们提出了无坐标构造，使得流可以固有地定义在黎曼流形上。这使得学习直接沿弯曲曲面演化的向量场以生成路径成为可能，这一可能性已在更简单的环境中得到探索，如在球形流形上（Braun et al., 2024; Ding et al., 2025）。此外，方法学进展正沿两个有前景的方向进行：通过变分方法在一般几何上实现更灵活的随机建模（Zaghen et al., 2025），以及通过学习数据驱动的黎曼度量更准确地捕捉流形结构（Kapu?niak et al., 2024）。这些发展为在日益复杂的几何上扩展和实施该框架提供了新的动力。总体而言，这些进展表明，流匹配为生成约束在弯曲几何上且与底层流形结构一致的轨迹提供了原则性的基础。

这些观察结果表明，流匹配为直接在弯曲曲面上生成轨迹提供了自然的基础，然而利用这一潜力需要一种将控制约束纳入学习动态的机制。曲面约束运动不仅仅受几何支配：它还必须满足安全、收敛和平滑性要求，这些要求传统上通过控制理论工具（Bahreinian et al., 2025; Chow et al., 2018; Ames et al., 2019）如控制障碍函数（Wieland and Allg?wer, 2007; Xu et al., 2015）和控制李雅普诺夫函数（Sontag, 1999; Artstein, 1983）来执行。虽然流匹配提供了适合轨迹生成的连续向量场表示，但它本身并不能保证流形上的障碍物避免、稳定性或平滑性正则化运动。弥合这些视角需要一种公式，使内在几何流和控制约束在轨迹演化上共同作用。在本工作中，我们通过将流匹配与控制障碍函数、控制李雅普诺夫函数以及额外的平滑性感知正则化相结合，开发了这样的公式，使学习到的流能够生成在弯曲曲面上同时安全、稳定且与底层几何一致的轨迹。

安全流匹配（Dai et al., 2025）是与我们公式最接近的控制流框架。因此，我们不声称将CBF校正添加到流匹配中作为独立贡献。此处考虑的贡献是曲面特定的构造：受控场保持在切丛中，目标收敛通过CLF纳入，并且提出的TSC与CBF和CLF在一个切向QP中一起执行。

为解决这一差距，我们提出了一种几何感知的控制框架，以转弯平滑性调节增强基于流形的流匹配。除了安全和稳定性约束外，我们明确考虑了在弯曲曲面上演化的轨迹的几何平滑性。关键思想是引入一种转弯平滑性控制机制，以惩罚流形上的过度局部弯曲，同时保持与控制障碍函数和控制李雅普诺夫函数的兼容性。通过量化连续切向方向之间的横向变化，所提出的转弯平滑性约束抑制了即使安全和收敛条件得到满足也可能出现的突然几何折叠。这种设计使得学习到的内在流可以通过统一的基于优化的控制器在线校正，从而产生的轨迹不仅无碰撞且收敛，而且与底层曲面结构在几何上一致。

基于这些思想，本工作将曲面约束轨迹规划表述为受控内在流问题，并开发了一个统一的框架，集成了几何建模、流场学习和基于约束的优化。通过将流形感知的流匹配与安全、稳定性和转弯平滑性调节相结合，所提出的方法能够在保持与底层曲面几何一致性的同时在线校正学习动态。由此产生的框架为连续时间生成流与控制理论约束之间提供了原则性的联系，为几何约束环境下的高质量轨迹生成提供了一种灵活且可计算的有效解决方案。本文其余部分将详细说明所提方法的公式、约束设计、算法实现和数值评估。

黎曼条件流匹配
设机器人工作空间被建模为光滑连通的黎曼流形(M,g)。流匹配旨在学习一个时间相关的向量场vt_θ:M→TM，使得由常微分方程ddtx(t)=vt_θ(x(t))，x(0)～p0诱导的流将初始分布p0平滑地传输到目标分布p1（Chen and Lipman, 2023）。为训练向量场vt_θ，采用条件流匹配。给定一个预度量d:M×M→R≥0，条件向量场zt(x|x1)可以……

流形上的受控流匹配
为了在确保轨迹保持在流形M上的同时引入外部引导，向黎曼流匹配（RFM）动态中引入了切向控制项。设系统状态满足xt∈M?Rd，其中M是嵌入在Rd中的光滑流形。我们定义一个环境向量场v?t_θ:Rd→Rd和一个环境控制信号?t:Rd→Rd，它们被投影到流形的切空间上。设n(x)∈Rd表示M在x∈M处的单位法向量。正交投影……

转弯平滑性约束
经典的CBF和CLF约束分别确保安全和稳定性，但它们并不直接正则化在弯曲流形M?Rm上演化的轨迹的几何平滑性。为了明确促进相对于M的几何平滑性，我们通过添加一阶QP友好约束引入了一种几何正则化方案。这种正则化建立在转弯平滑性代价函数W的设计之上，其核心思想是量化局部弯曲的"严重程度"……

实验设置
所有仿真都在配备Intel i7-6700 CPU（3.4 GHz）、32GB RAM和NVIDIA GTX 1070 GPU（8GB内存）的台式计算机上进行。我们在三个曲面网格上评估所提方法，即兔子（bunny）、奶牛（cow，Crane et al., 2013）和猫（kitten），并与两种经典路径规划方法进行比较：人工势场（APF）方法（Khatib, 1986）和A*算法（Hart et al., 1968）。性能通过四个互补视角进行评估：轨迹安全性……

结论与未来工作
本文提出了一种通过在黎曼流形上结合受控流匹配与几何约束进行曲面轨迹规划的方法。我们将路径规划问题公式化于黎曼流形上，并开发了一个通过学习到的流动力学增强新的转弯平滑性约束的框架。通过综合控制障碍函数（CBF）用于安全、控制李雅普诺夫函数（CLF）用于目标收敛以及我们提出的约束用于几何平滑性，我们建立了一个……

CRediT作者贡献声明
李宇杰：撰写初稿，软件。郭子由：撰写初稿，软件。徐澳：撰写-审阅与编辑，验证。龚文勇：撰写-审阅与编辑，监督。吴铁如：验证。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些关系可能会影响本文所报告的工作。

李宇杰|郭子由|徐澳|龚文勇|吴铁如