基于精确三维弹性曲线的近似与交互设计

《Computer Aided Geometric Design》：Approximation and interactive design with exact 3D elastic curves

　　

• 将弹性空间曲线段的空间参数化为一个11维空间。
• 一种使用目标形状（而非边界约束）快速生成精确3D弹性曲线的方法。
• 一个易于计算的量，用于衡量给定的空间曲线段在多大程度上可能被弹性曲线逼近。
• 一种用弹性曲线逼近任意给定空间曲线段的方法。

**引言**

弹性曲线（或弹性线）是在长度和边界约束下弯曲能量 ∫κ2 ds 的临界点。它们自然地出现在由柔性物理元件（如杆、带、线或刀片）形成的曲线中。这引出了许多实际应用，例如电缆建模与布线（Jin等，2022；Monguzzi等，2024）、外科缝合线（Wang等，2017）、计算机视觉中的曲线补全模型与图像修复（Mumford，1994；Shen等，2003）、机器人对柔性线性物体的操作（Moll和Kavraki，2006；Levin等，2025）、机器人热刀片切割（S?ndergaard等，2016），以及几何设计，例如弹性线柱面以及由弹性线带组装的动力结构（Lee和Xie，2020；Bi等，2023）。

解决上述许多问题的基本要素是计算一条匹配给定目标形状的弹性曲线，在某些情况下只需粗略匹配即可。现有的弹性曲线计算方法涉及某种形式的边值问题求解，例如指定端点、端切线和长度，并使用优化来最小化弹性能量（见第2节）。当此类约束至关重要时，这种方法是有意义的，但对于我们希望考虑的逆向拟合问题，这类方法并不太适用，因为要将其调整为匹配目标形状的问题，需要求解许多更小的边值问题才能达到插值或逼近的效果。尽管即使对于一大类曲线也能做到这一点，但这既耗时，而且其结果（取决于所采用的方法）可能是弹性能量较低的曲线，但不一定是真正的弹性线。我们的目标是开发一种快速方法，使用精确的3D弹性曲线进行形状逼近。

在本文中，我们仅限于无扭转的弹性曲线。在这一假设下，曲线形状与材料无关，因为它不依赖于与材料相关的扭转响应，从而允许广泛应用。我们预计该方法可以扩展到有扭转的弹性杆（见下文第10节）。

平面曲线用弹性曲线逼近的问题在（Brander等，2016b）中有研究。该方法基于利用椭圆函数对平面弹性线空间进行的参数化。我们将用于3D弹性线的方法遵循类似的逻辑，主要区别在于解空间的解析描述要复杂得多。

我们将3D弹性曲线段的空间表示为一个11维参数空间；也就是说，任何弹性曲线段（本质上唯一地）由11个数的元组 σ = (σ?, …, σ??) 确定。（其中只有两个参数是弹性线的内禀参数；其余参数描述尺度、平移、旋转以及在标准化模型曲线上选取的线段。见第4节。）

**最小二乘弹性线 Γ(t; σ_γ)：** 空间曲线 γ(t) 是弹性曲线当且仅当它满足一个三阶非线性方程，该方程涉及 σ 中相关的弹性曲线参数。通过对这些参数（而非解本身）以及曲线的一些其他相关几何方程进行最小二乘意义下的求解，可以得到一系列线性最小二乘问题。我们得到一个11元组 σ_γ，即弹性曲线的参数，我们将其指定为 Γ(t; σ_γ)。如果 γ 本身就是一条弹性曲线，则 σ_γ 就是 γ 的参数集。此外，最小二乘问题序列中的第一个残差 Res_λ 与 γ 和其所拟合弹性线 Γ(t; σ_γ) 之间的 L2 距离有很好的相关性。

**应用1：使用精确3D弹性线和弹性样条进行交互式建模。** 由于 σ_γ 和 Res_λ 可以通过仅求解线性问题来非常快速地计算，并且 Γ(t; σ_γ) 是一条真正的弹性曲线，其与目标形状 γ 的偏差可以通过 Res_λ 来粗略估计，因此这些要素可用于3D弹性曲线的动态几何建模。这在"使用最小二乘近似进行弹性曲线配置的交互式设计"一节中有说明：6.1 交互式设计弹性线扫掠面、6.2 线性元件的机器人控制、7 第一个残差、8 弹性样条。

**应用2：用精确弹性曲线逼近目标CAD曲线。** 本工作的一个重要动机是机器人热刀片切割中的曲面合理化问题。这是EPS泡沫热丝切割的推广，其中使用加热的弹性杆代替直线丝（见S?ndergaard等，2016）。在本工作相关的一个项目中，我们寻求开发使用连续变化的3D弹性曲线叶状分解进行曲面合理化的方法。此处的基本问题是尽可能精确地用弹性曲线逼近目标曲线。为解决这个问题，我们取最小二乘弹性线 Γ(s; σ_γ)，然后应用梯度驱动的优化在11维参数空间中移动到最优解。这在第9节中有讨论。图1展示了结果的示例。

在第2节中，我们对相关工作进行了简要综述。在第3节"变分方法与解析表示"和第4节"弹性线空间的参数化"中，我们描述了3D弹性曲线的解析模型，包括基于球摆方程推导相关方程、利用椭圆函数表示所有解，以及弹性曲线的11维参数空间。

第5节给出了通过最小二乘法恢复弹性曲线控制参数的方法。这是最重要的结果，因为它可以应用于任何曲线以获得形状相似的弹性曲线。如前所述，该方法可用于各种需要由目标曲线的全局形状引导的精确弹性曲线的问题，这在本文其余部分有描述。

**章节摘要**

**一些背景和相关工作**

我们没有发现任何直接解决寻找与给定空间曲线段形状接近的3D弹性曲线这一问题的研究。然而，有许多关于所谓弹性曲线正向问题的研究，即计算满足某些约束的弹性曲线，我们将在此尝试对其进行总结。

**变分方法与解析表示**

弹性曲线的理论是经典的，在Singer（2008）和Pinkall与Gross（2024）中可以找到很好的相关论述。在本节中，我们使用一种不同的方法来描述弹性曲线的变分特征，该方法基于弹性曲线的Euler-Lagrange方程与球摆运动方程一致这一事实。我们在本节结尾推导了椭圆函数的解析表示，并引入了"弹性线空间参数化"的概念。

**弹性线空间的参数化**

如前一节所示，每条弹性曲线（除由 λ = 0 产生的圆以外）都可以在缩放和欧几里得运动不变的意义下，由一条标准化弹性曲线表示。因此，弹性线的任意线段由两步确定。首先选择 λ?? 和 ω? 来选取标准化弹性线 ξ?_{λ??, ω?} 的类型，并指定起点 s? 和终点 s? + ? 来选取线段。其次，应用缩放因子 S > 0，以及由 R ∈ SO(3) 给出的旋转和平移 (x?, y?, z?)。

注意，?,

**通过最小二乘法寻找控制参数**

设 γ : [0, L] → ?3 为充分光滑的单位速度参数化曲线。如果 γ 是一条弹性曲线，则其导数满足第3节中推导的恒等式。对于一般的输入曲线，这些恒等式不严格成立。因此，我们通过最小二乘意义下强制这些恒等式成立来恢复弹性参数。这导致一系列在本节中描述的参数估计步骤。所得到的参数为文中描述的"使用最小二乘近似进行弹性曲线配置的交互式设计"中的非线性优化提供了初始猜测。

**最小二乘参数恢复方法在应用中的适应**

第5节中描述的最小二乘参数恢复方法可以适应于各种需要以交互速度生成近似遵循给定形状的精确弹性曲线的应用。本节中我们考虑了一些示例。

**第一个残差 Res_λ 作为输入曲线质量的度量**

在许多应用中（例如，参见下文第8节关于样条的讨论），我们希望估计输入曲线 γ 和最小二乘逼近弹性线 Γ(t; σ_γ) 之间的接近程度，而无需恢复所有参数并评估两条曲线之间的差异。

将输入曲线视为仅作为期望弹性曲线大致形状的指导，我们可以如上所述，首先用三次样条替换输入曲线。作为一般原则，我们期望"弹性样条"如下所述。

**弹性样条**

对于一些应用，弹性样条是期望的。例如，电缆可以通过一系列连接器进行布线，其中电缆可以自由旋转和/或穿过连接件滑动，从而创建 C? 或 C1 样条。同样，C? 样条出现在由薄柔性线性带制造物体的过程中。我们在此考虑如何使用最小二乘弹性线方法来做到这一点。

**非线性优化**

初始猜测可以作为一系列优化问题的初始值。这里我们试图用同长度的弹性线段逼近给定的单位速度曲线 γ，因此初始猜测 Γ(t; σ_γ) 通过最小化尺度不变误差来细化：

(1/L3 ∫?^L ‖γ(s) ? Γ(sL; σ)‖2 ds)^(1/2)

其中 σ = (λ??, ω?, s?, ?, S, R, x?)，Γ(t; σ) 是对应的弹性线段。

在实验中，该最小化使用MATLAB的fmincon函数和SQP算法完成。初始值为σ_γ。

**结论与未来方向**

我们提出了一种稳定的三维弹性曲线段参数恢复方法，并使用它来逼近一般空间曲线。该方法既可以作为一种快速生成弹性曲线用于各种应用的方式，也可以作为非线性优化的初始猜测。虽然在这篇论文中我们优化的是 L2 意义上的接近程度，并且使用相同方法结合例如 H1 度量也很简单，但我们预计可以使用相同的初始猜测用于其他优化目标。

**CRediT作者贡献声明**

David Brander：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，监督，项目管理，方法论，调查研究，资金获取，概念化。
Jens Gravesen：监督，方法论，调查研究，概念化。
Marc Isern：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查研究。

**代码可用性**

最小二乘逼近以及曲线用弹性线优化逼近的MATLAB实现可在以下仓库中找到：https://github.com/mishadtu/3d-elastic-curves

**利益冲突声明**

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能已影响本文所报告的工作。

**致谢**

研究由Horizon-EIC-2023 Pathfinder Challenge 01项目（编号101161085 STACK）资助。

David Brander | Jens Gravesen | Marc Isern