具有弱反向双常数性质的齐次型空间上球拟巴拿赫函数空间拟范数的Maz'ya–Shaposhnikova表示

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Maz'ya–Shaposhnikova representation of quasi-norms of ball quasi-Banach function spaces on spaces of homogeneous type with weak reverse doubling property

　　

摘要

设 $Y(X)$ 为齐次型空间 $(X,\rho,\mu)$ 上的一个球拟巴拿赫函数空间，并满足一些较温和的附加假设，$q\in(0,\infty)$，且 $s\in(0,1)$ 时 $W\dot{Y}_{s,q}(X)$ 为与 $Y(X)$ 相关联的齐次分数阶 Sobolev 空间。在本文中，我们证明，对任意 $f\in Y(X)\cap\bigcup_{s\in(0,1)}W\dot{Y}_{s,q}(X)$，有
$$\|f\|_{Y(X)}\lesssim \varliminf_{s\to 0^+} s^{1/q}\Big\|\Big\{\int_X |f(\cdot)-f(y)|^q U(\cdot,y)[\rho(\cdot,y)]^{-sq}\,d\mu(y)\Big\}^{1/q}\Big\|_{Y(X)}\le \varlimsup_{s\to 0^+} s^{1/q}\Big\|\Big\{\int_X |f(\cdot)-f(y)|^q U(\cdot,y)[\rho(\cdot,y)]^{-sq}\,d\mu(y)\Big\}^{1/q}\Big\|_{Y(X)}\lesssim \|f\|_{Y(X)},$$
其中对任意 $x,y\in X$，$U(x,y):=\min\{\mu(B(x,\rho(x,y))),\mu(B(y,\rho(x,y)))\}$，且隐含的常数与 $f$ 无关；该结果可应用于十个具体的球拟巴拿赫函数空间，因而具有广泛的普适性。特别地，当 $Y(X)=L^q(\mathbb{R}^n)$ 且 $q\in[1,\infty)$ 时，上述公式与 Maz'ya 和 Shaposhnikova 在 2002 年所得出的著名结果密切相关。我们还建立了 $X$ 上的域上的上述表示公式。本文的主要新颖之处在于提出了两个新概念，即（针对 $X$ 的）弱反向倍增条件与（针对 $X$ 的域的）弱测度密度条件，并且证明这些条件在某种意义上是必要的。此外，我们发现了这样一个有趣的事实：当所考虑的底层空间是有界时，上述 Maz'ya–Shaposhnikova 型极限总趋于零。

引言

齐次分数阶 Sobolev 空间 $W\dot{s,p}(\mathbb{R}^n)$（其中 $s\in(0,1)$，$p\in[1,\infty)$）的研究受到了广泛关注。该空间定义为所有可测函数 $f$ 的集合，使得
$$\|f\|_{W\dot{s,p}(\mathbb{R}^n)}:=\Big[\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}}\,dx\,dy\Big]^{1/p}=: \big\|\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{n/p+s}}\big\|_{L^p(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)}$$
有限。在过去几十年中，人们对这一主题的兴趣与日俱增。事实上，这些空间已成为不可或缺的有力工具，并在纯数学分析与应用数学中都发挥着关键作用；尤其是它们在与调和分析、变分法和偏微分方程相关的许多问题上都有着重要应用；参见 [8]、[9]、[11]、[12]、[13]、[14]、[18]、[41]、[46]、[69]。

分数阶半范数族 $\{\|\cdot\|_{W\dot{s,p}(\mathbb{R}^n)}\}_{s\in(0,1)}$ 一个众所周知的缺陷在于其在端点 $s=0$ 处（对应于 $\|\cdot\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}$）缺乏连续性；参见例如 [15]、[52]。在 2002 年，Maz'ya 和 Shaposhnikova [80] 以一种巧妙的方式修补了上述缺陷，他们证明了，对任意 $f\in L^p(\mathbb{R}^n)\cap\bigcup_{s\in(0,1)}W\dot{s,p}(\mathbb{R}^n)$，有
$$\lim_{s\to 0^+} s^{1/p}\|f\|_{W\dot{s,p}(\mathbb{R}^n)}=C(p,n)\|f\|_{L^p(\mathbb{R}^n)},$$
其中 $C(p,n)$ 是一个仅依赖于 $p$ 和 $n$ 的正常数。这里及此后，$s\to 0^+$ 意指 $s\in(0,1)$ 且 $s\to 0$。恒等式 (1.2) 如今被称为著名的 Maz'ya–Shaposhnikova 公式。有关 Maz'ya–Shaposhnikova 公式 (1.2) 及其各种变体的更多研究，参见 [4]、[32]、[44]、[55]、[63]、[79]、[99]；有关 (分数阶) Sobolev 空间的相关研究，参见 [10]、[16]、[17]、[38]、[40]、[45]、[47]、[48]、[64]、[100]。

自诞生之日起，Maz'ya–Shaposhnikova 公式 (1.2) 得到了持续发展，并被推广到许多不同的非欧几里得情形；例如 Carnot 群 [26]、各向异性空间 [51]、非坍缩 RCD 度量测度空间 [55]，以及配备 N 维 Hausdorff 测度的度量测度空间 [57]。在更一般的情形下考虑 Maz'ya–Shaposhnikova 公式 (1.2)，例如 Coifman 和 Weiss 意义下的齐次型空间 [30]、[31]（即配备倍增测度的拟度量空间），是相当自然的；齐次型空间的精确定义见定义 2.2。这些空间为调和分析中算子有界性的研究和函数空间的实变理论提供了自然的框架。特别是，齐次型空间上 Sobolev 空间的研究引起了相当大的关注并取得了重要进展；参见例如 [50]、[54]、[58]、[65]。

另一方面，在过去几十年中，各种 (分数阶) Sobolev 型空间在偏微分方程和调和分析的研究中得到了系统的发展和广泛的应用，例如加权 (或变指数) Sobolev 空间、Orlicz–Sobolev 空间以及 Morrey–Sobolev 空间。重要的是，构成上述 Sobolev 空间基础的这些基本函数空间（加权 Lebesgue 空间、变指数 Lebesgue 空间、Orlicz 空间和 Morrey 空间），已被全面纳入 Sawano 等人 [106] 引入的球拟巴拿赫函数空间的统一框架中；球拟巴拿赫函数空间的精确定义见定义 2.5。事实证明，这一包容性框架系统地组织了调和分析与偏微分方程中许多重要函数空间的研究。有关球拟巴拿赫函数空间的更多研究，参见与之相关联的 Hardy 空间 [27]、[71]、[103]、[106]、[125]，与之相关联的 Sobolev 空间 [37]、[39]、[72]、[98]、[124]、[127]、[128]、[129]、[130]，以及其上的算子有界性 [59]、[60]、[115]、[116]、[126]。

受上述工作的启发，在本文中，我们致力于将 Maz'ya–Shaposhnikova 公式 (1.2) 推广到 [106] 意义下的球拟巴拿赫函数空间情形，分别在齐次型空间 $(X,\rho,\mu)$ 以及域 $\Omega\Subset X$ 上进行，其中 $(X,\rho,\mu)$ 满足附加的弱反向倍增条件，$\Omega$ 假设满足测度密度条件的一个弱版本。值得一提的是，[98] 中已经建立了 $\mathbb{R}^n$ 上球拟巴拿赫函数空间上的类似 Maz'ya–Shaposhnikova 公式。

Maz'ya–Shaposhnikova 公式根据所考虑的底层空间或域是有界还是无界，会产生截然不同（乃至令人惊讶）的结果。我们首先给出有界情形下的一个意外结果；$Y(\Omega)$ 和 $W\dot{Y}_{s,q}(\Omega)$ 的精确定义分别见定义 3.1 和定义 3.3。回想一下，$\Omega\Subset X$ 相对于拟度量 $\rho$ 称为有界的，如果 $\mathrm{diam}(\Omega):=\sup_{x,y\in\Omega}\rho(x,y)<\infty$。

**定理 1.1** 设 $q\in(0,\infty)$，$(X,\rho,\mu)$ 为拟度量测度空间，$\Omega\Subset X$ 为有界可测集，$Y(X)$ 为球拟巴拿赫函数空间，$Y(\Omega)$ 为 $Y(X)$ 限制到 $\Omega$ 上所得的空间。则对任意 $f\in\bigcup_{s\in(0,1)}W\dot{Y}_{s,q}(\Omega)$，有
$$\lim_{s\to 0^+} s^{1/q}\Big\|\Big\{\int_\Omega |f(\cdot)-f(y)|^q U(\cdot,y)[\rho(\cdot,y)]^{-sq}\,d\mu(y)\Big\}^{1/q}\Big\|_{Y(\Omega)}=0,$$
其中对任意 $x,y\in X$，$U(x,y):=\min\{\mu(B(x,\rho(x,y))),\mu(B(y,\rho(x,y)))\}$。

**注 1.2**
(i) 当 $\mathrm{diam}(X)<\infty$ 时，定理 1.1 对任意可测集 $\Omega\Subset X$ 成立，特别地，$\Omega=X$ 时也成立。
(ii) 对于底层空间或域是无界的情形，参见下面的定理 1.5、定理 1.7、定理 1.11、定理 1.13，其中我们假设底层空间 $(X,\rho,\mu)$ 是齐次型空间。然而，当底层空间无界但不是齐次型空间时（例如非倍增度量空间），定理 1.5 中的 Maz'ya–Shaposhnikova 表示是否成立目前尚不清楚。

除了定理 1.1 外，在本文其余部分，我们总是假设底层空间 $(X,\rho,\mu)$ 是齐次型空间且 $\mathrm{diam}(X)=\infty$（这等价于 $\mu(X)=\infty$，参见 [92, Lemma 5.1]）。为了建立该情形下的 Maz'ya–Shaposhnikova 表示，我们首先引入如下针对拟度量测度空间上测度的弱反向倍增条件。

**定义 1.3** 称拟度量测度空间 $(X,\rho,\mu)$ 满足弱反向倍增条件（简称 WRD 条件），如果存在 $x_0\in X$ 和 $\lambda,C(\mu)\in(1,\infty)$ 使得
$$\varliminf_{r\to\infty}\frac{\mu(B(x_0,\lambda r))}{\mu(B(x_0,r))}\ge C(\mu).$$
这里及此后，我们用 $\varliminf$ 和 $\varlimsup$ 分别表示下极限和上极限。

**注 1.4**
(i) 由 (1.3) 和 $C(\mu)>1$，我们容易证明，若拟度量测度空间 $(X,\rho,\mu)$ 满足 WRD 条件，则 $\mathrm{diam}(X)=\infty$。此外，若齐次型空间 $(X,\rho,\mu)$ 满足 WRD 条件，则 $\mu(X)=\infty$，因为在这种情况下 $\mathrm{diam}(X)=\infty$ 当且仅当 $\mu(X)=\infty$（参见 [92, Lemma 5.1]）。
(ii) 设 $(X,\rho,\mu)$ 为满足 WRD 条件的拟度量测度空间。即 (1.3) 对某个 $x_0\in X$ 和 $\lambda\in(1,\infty)$ 成立。则由 $\rho$ 的拟三角不等式 [参见定义 2.1(iii)]，容易证明存在 $\tilde{\lambda}\in(0,\infty)$ 使得，对任意 $x\in X$，(1.3) 在将 $x_0$ 和 $\lambda$ 分别替换为 $x$ 和 $\tilde{\lambda}$ 后依然成立；参见命题 2.28。
(iii) 设 $\mathrm{diam}(X)=\infty$。回忆一下，称 $(X,\rho,\mu)$ 为 RD 空间（由 Han 等人 [56] 引入），如果 $(X,\rho,\mu)$ 是齐次型空间且满足如下反向倍增条件：存在 $C\in(1,\infty)$ 使得对任意 $x\in X$ 和 $r\in(0,\infty)$，
$$C\mu(B(x,r))\le \mu(B(x,2r)).$$
若测度 $\mu$ 满足 (1.4)，则 $\mu$ 总是满足 WRD 条件，这可由命题 2.27 推出。但其逆命题不必成立；参见 [118, Proposition 2.3] 中的一个例子，该例子满足 WRD 条件但不满足 (1.4)。

我们还需要如下关于球巴拿赫函数空间的基本而温和的假设，它是本文两个关键假设中的第一个；$[Y(X)]'$ 的精确定义见定义 2.9。

**假设 I** $Y(X)$ 是球巴拿赫函数空间，且 Hardy–Littlewood 极大算子 $M$ 在 $[Y(X)]'$ 上有界。

下面给出本文的第二个主要结果；$Y^1_p(X)$、$C_b^\beta(X)$ 和 $Y(X)/C$ 的精确定义分别见定义 2.7、定义 2.4、定义 2.10。

**定理 1.5** 设 $(X,\rho,\mu)$ 为满足 WRD 条件的齐次型空间。设 $0(v) 定理 1.5 中的 wrd 条件在下述意义上是最佳的：存在一个齐次型空间的例子，它不满足 wrd 条件，而在这种情况下定理 1.5 的结论失败；参见注 2.35。
(vi) han [54, theorem 3.11] 在非紧度量测度空间上建立了与一般磨光核相关联的广义 maz'ya–shaposhnikova 公式。我们指出，[54, theorem 3.11] 与定理 1.5 不能彼此完全包含。事实上，[54, assumption 3.4] 中对测度的体积增长条件的要求强于定理 1.5 中对 $\mu$ 的假设。此外，[54, theorem 3.11] 中的磨光核 $\{\rho_n(x,y)\}_{n\in\mathbb{n}}$ 假设为径向的；即对任意 $x,y\in x$，$\rho_n(x,y)$ 仅依赖于 $x$ 与 $y$ 之间的距离。在定理 1.5 中，我们使用磨光核 $u(x,y)[\rho(x,y)]^{-sq}$，它关于 $\rho(x,y)$ 可能不是径向的。因此，定理 1.5 即使在 $y(x):=l^p(x)$ 的特殊情形下也不能被 [54, theorem 3.11] 所包含。另一方面，发现在对测度和磨光核作某些假设下，han [54, theorem 3.11] 得到了带有精确常数 2 的等式（见 [54, (3.20)]）。但定理 1.5 不能给出带精确常数的等式，因此定理 1.5 在 $y(x):=l^p(x)$ 的特殊情形下也不能包含 [54, theorem 3.11]。

当 $p\in(0,\infty)$ 且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $y^1_p(x)$ 的对偶空间上的有界性未知时，定理 1.5 似乎无法应用于这种情形；例如 morrey 空间。为了在 $m$ 可能在 $[y^1_p(x)]'$ 上无界的球拟巴拿赫函数空间 $y(x)$ 上建立与定理 1.5 对应的结论，我们需要如下假设，这是本文两个关键假设中的第二个（也是最后一个）。

**假设 ii** $y(x)$ 是球巴拿赫函数空间，且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $[y(x)]'$ 上端点有界；即存在 $(0,1)$ 中的一个序列 $\{\theta_m\}_{m\in\mathbb{n}}$，使得 $\lim_{m\to\infty}\theta_m=1$，$y^{1/\theta_m}(x)$ 是球巴拿赫函数空间且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在其对偶空间 $[y^{1/\theta_m}(x)]'$ 上有界（对任意 $m\in\mathbb{n}$），且
$$\lim_{m\to\infty}\|m\|_{[y^{1/\theta_m}(x)]'\to[y^{1/\theta_m}(x)]'}<\infty.$$

基于假设 ii 而非假设 i，我们给出本文的第三个主要结果。 p<\infty$ 的要求在某种意义上也是最佳的。 (v) 定理 1.5 中的 wrd 条件在下述意义上是最佳的：存在一个齐次型空间的例子，它不满足 wrd 条件，而在这种情况下定理 1.5 的结论失败；参见注 2.35。 (vi) han [54, theorem 3.11] 在非紧度量测度空间上建立了与一般磨光核相关联的广义 maz'ya–shaposhnikova 公式。我们指出，[54, theorem 3.11] 与定理 1.5 不能彼此完全包含。事实上，[54, assumption 3.4] 中对测度的体积增长条件的要求强于定理 1.5 中对 $\mu$ 的假设。此外，[54, theorem 3.11] 中的磨光核 $\{\rho_n(x,y)\}_{n\in\mathbb{n}}$ 假设为径向的；即对任意 $x,y\in x$，$\rho_n(x,y)$ 仅依赖于 $x$ 与 $y$ 之间的距离。在定理 1.5 中，我们使用磨光核 $u(x,y)[\rho(x,y)]^{-sq}$，它关于 $\rho(x,y)$ 可能不是径向的。因此，定理 1.5 即使在 $y(x):=L^p(X)$ 的特殊情形下也不能被 [54, theorem 3.11] 所包含。另一方面，发现在对测度和磨光核作某些假设下，han [54, theorem 3.11] 得到了带有精确常数 2 的等式（见 [54, (3.20)]）。但定理 1.5 不能给出带精确常数的等式，因此定理 1.5 在 $y(x):=L^p(X)$ 的特殊情形下也不能包含 [54, theorem 3.11]。 当 $p\in(0,\infty)$ 且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $y^1_p(x)$ 的对偶空间上的有界性未知时，定理 1.5 似乎无法应用于这种情形；例如 morrey 空间。为了在 $m$ 可能在 $[y^1_p(x)]'$ 上无界的球拟巴拿赫函数空间 $y(x)$ 上建立与定理 1.5 对应的结论，我们需要如下假设，这是本文两个关键假设中的第二个（也是最后一个）。 **假设 ii** $y(x)$ 是球巴拿赫函数空间，且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $[y(x)]'$ 上端点有界；即存在 $(0,1)$ 中的一个序列 $\{\theta_m\}_{m\in\mathbb{n}}$，使得 $\lim_{m\to\infty}\theta_m=1$，$Y^{1/\theta_m}(X)$ 是球巴拿赫函数空间且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在其对偶空间 $[y^{1 \theta_m}(x)]'$ 上有界（对任意 $m\in\mathbb{n}$），且 $$\lim_{m\to\infty}\|m\|_{[y^{1 \theta_m}(x)]'\to[y^{1 \theta_m}(x)]'}<\infty.$$ 基于假设 ii 而非假设>(v) 定理 1.5 中的 wrd 条件在下述意义上是最佳的：存在一个齐次型空间的例子，它不满足 wrd 条件，而在这种情况下定理 1.5 的结论失败；参见注 2.35。
(vi) han [54, theorem 3.11] 在非紧度量测度空间上建立了与一般磨光核相关联的广义 maz'ya–shaposhnikova 公式。我们指出，[54, theorem 3.11] 与定理 1.5 不能彼此完全包含。事实上，[54, assumption 3.4] 中对测度的体积增长条件的要求强于定理 1.5 中对 $\mu$ 的假设。此外，[54, theorem 3.11] 中的磨光核 $\{\rho_n(x,y)\}_{n\in\mathbb{n}}$ 假设为径向的；即对任意 $x,y\in x$，$\rho_n(x,y)$ 仅依赖于 $x$ 与 $y$ 之间的距离。在定理 1.5 中，我们使用磨光核 $u(x,y)[\rho(x,y)]^{-sq}$，它关于 $\rho(x,y)$ 可能不是径向的。因此，定理 1.5 即使在 $y(x):=l^p(x)$ 的特殊情形下也不能被 [54, theorem 3.11] 所包含。另一方面，发现在对测度和磨光核作某些假设下，han [54, theorem 3.11] 得到了带有精确常数 2 的等式（见 [54, (3.20)]）。但定理 1.5 不能给出带精确常数的等式，因此定理 1.5 在 $y(x):=l^p(x)$ 的特殊情形下也不能包含 [54, theorem 3.11]。

当 $p\in(0,\infty)$ 且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $y^1_p(x)$ 的对偶空间上的有界性未知时，定理 1.5 似乎无法应用于这种情形；例如 morrey 空间。为了在 $m$ 可能在 $[y^1_p(x)]'$ 上无界的球拟巴拿赫函数空间 $y(x)$ 上建立与定理 1.5 对应的结论，我们需要如下假设，这是本文两个关键假设中的第二个（也是最后一个）。

**假设 ii** $y(x)$ 是球巴拿赫函数空间，且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在 $[y(x)]'$ 上端点有界；即存在 $(0,1)$ 中的一个序列 $\{\theta_m\}_{m\in\mathbb{n}}$，使得 $\lim_{m\to\infty}\theta_m=1$，$y^{1/\theta_m}(x)$ 是球巴拿赫函数空间且 hardy–littlewood 极大算子 $m$ 在其对偶空间 $[y^{1/\theta_m}(x)]'$ 上有界（对任意 $m\in\mathbb{n}$），且
$$\lim_{m\to\infty}\|m\|_{[y^{1/\theta_m}(x)]'\to[y^{1/\theta_m}(x)]'}<\infty.$$

基于假设 ii 而非假设 i，我们给出本文的第三个主要结果。>

回顾，若测度 μ 满足以下条件，则称 μ 为 Borel-半正则的：μ 是 X 上的 Borel 测度，且对于任意可测集 E?X，存在 Borel 集 F?X 使得 μ(EΔF):=μ(E?F)+μ(F?E)=0；参见文献[5, 定义3.9]。

**定理1.7** 设 (X,ρ,μ) 为满足 WRD 条件的齐次型空间。设 0$$u(x,y):=\min\{\mu(b(x,\rho(x,y))), \mu(b(y,\rho(x,y)))\}.$$
(x,ρ) 的直径 diam(x) 定义为 diam(x):=sup_{x,y∈x} ρ(x,y)。在本文中，除非另有说明，所有函数均假设为复值函数。用 m(x) 表示 x 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意 f∈m(x)，f 的支集 suppf 定义为 suppf:={x∈x: f(x)≠0}。对于任意 p∈(0,∞]，用记号 l^{p,loc}(x) 表示 x 上所有局部 p-可积函数的集合。hardy-littlewood 极大算子 m 定义为：对于任意 f∈l^{1,loc}(x) 和 x∈x，
$$m(f)(x):=\sup_{b\ni x} \frac{1}{\mu(b)}\int_b |f(y)|\,d\mu(y),$$
其中上确取遍所有包含 x 的球 b?x。我们始终用 c 表示与所涉及的主要参数无关但可能逐行变化的正常数。我们也用 c(α,β,…) 表示依赖于所示参数 α,β,… 的正常数。记号 f?g 意味着 f≤cg。若 f?g 且 g?f，则我们写作 f～g。若 f≤cg 且 g=h 或 g≤h，则我们写作 f?g=h 或 f?g≤h。对于任意 q∈[1,∞]，用 q' 表示其对偶指数（即 1/q+1/q'=1）。我们也用 liminf 和 limsup 分别表示下极限和上极限。最后，在所有证明中，我们始终保持原定理（或相关命题）中引入的记号。

**第2节摘要：满足wrd条件的齐次型空间上的maz'ya–shaposhnikova表示**

在本节中，我们旨在建立满足wrd条件的齐次型空间上球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第2.1小节中，我们证明定理1.5的上界估计。在第2.2小节中，我们证明定理1.5的下界估计。在第2.3小节中，我们证明定理1.7。在第2.4小节中，我们证明对μ的弱逆双重假设在某种意义上是必要的。

**第3节摘要：满足wmd条件的领域上的maz'ya–shaposhnikova表示**

在本节中，我们在开集 ω?x 上建立球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第3.1小节中，我们证明定理1.11。在第3.2小节中，我们证明定理1.13。在第3.3小节中，我们证明对所考虑领域的弱测度密度假设在某种意义上是必要的。

设 ω?x 为开集，m(ω) 表示 ω 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意定义在 x 上的函数 g，用 g|_ω 表示...

**第4节摘要：应用于特定的球拟巴拿赫函数空间**

在本节中，我们将本文的主要定理，即定理1.11和定理1.13，分别应用于加权（或变指数）lebesgue 空间、加权 lorentz 空间、加权 orlicz 空间、广义 morrey（或 lorentz-morrey、orlicz-morrey）空间以及广义 block（或 lorentz-block、orlicz-block）空间。在整个本节中，我们始终假设 (x,ρ,μ) 为满足wrd条件的齐次型空间，ω?x 为满足wmd条件的开集。

**致谢**

作者感谢 durvudkhan suragan 教授提出的富有洞察力的建议，即在领域的设定下考虑本文的原始结果，这促成了定理1.11和定理1.13。作者还衷心感谢审稿人对本文的仔细审阅和提出的若干意见，这些意见确实提高了本文的质量。本项目部分由国家自然科学基金资助（项目编号12371093、12431006）。

作者：永井英一 | 唐梦浩 | 杨大淳 | 袁文 | 朱晨峰 λ∈(0,∞) 和任意球 b:=B(x_B, r_b)（其中 x_b∈x，r_b∈(0,∞)），令 λb:=B(x_B, λr_b)。对于任意 x,y∈x，令 $$u(x,y):=\min\{\mu(B(x,\rho(x,y))), \mu(b(y,\rho(x,y)))\}.$$ (x,ρ) 的直径 diam(x) 定义为 diam(x):=sup_{x,y∈X} ρ(x,y)。在本文中，除非另有说明，所有函数均假设为复值函数。用 m(x) 表示 x 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意 f∈m(x)，f 的支集 suppf 定义为 suppf:={x∈X: f(x)≠0}。对于任意 p∈(0,∞]，用记号 l^{p,loc}(x) 表示 x 上所有局部 p-可积函数的集合。hardy-littlewood 极大算子 m 定义为：对于任意 f∈l^{1,loc}(x) 和 x∈x， $$m(f)(x):=\sup_{B\ni x} \frac{1}{\mu(b)}\int_b |f(y)|\,d\mu(y),$$ 其中上确取遍所有包含 x 的球 b?x。我们始终用 c 表示与所涉及的主要参数无关但可能逐行变化的正常数。我们也用 c(α,β,…) 表示依赖于所示参数 α,β,… 的正常数。记号 f?g 意味着 f≤cg。若 f?g 且 g?f，则我们写作 f～g。若 f≤cg 且 g=h 或 g≤h，则我们写作 f?g=h 或 f?g≤h。对于任意 q∈[1,∞]，用 q' 表示其对偶指数（即 1 q+1 q'=1）。我们也用 liminf 和 limsup 分别表示下极限和上极限。最后，在所有证明中，我们始终保持原定理（或相关命题）中引入的记号。 **第2节摘要：满足wrd条件的齐次型空间上的maz'ya–shaposhnikova表示** 在本节中，我们旨在建立满足wrd条件的齐次型空间上球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第2.1小节中，我们证明定理1.5的上界估计。在第2.2小节中，我们证明定理1.5的下界估计。在第2.3小节中，我们证明定理1.7。在第2.4小节中，我们证明对μ的弱逆双重假设在某种意义上是必要的。 **第3节摘要：满足wmd条件的领域上的maz'ya–shaposhnikova表示** 在本节中，我们在开集 ω?x 上建立球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第3.1小节中，我们证明定理1.11。在第3.2小节中，我们证明定理1.13。在第3.3小节中，我们证明对所考虑领域的弱测度密度假设在某种意义上是必要的。 设 ω?x 为开集，m(ω) 表示 ω 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意定义在 x 上的函数 g，用 g|_ω 表示... **第4节摘要：应用于特定的球拟巴拿赫函数空间** 在本节中，我们将本文的主要定理，即定理1.11和定理1.13，分别应用于加权（或变指数）lebesgue 空间、加权 lorentz 空间、加权 orlicz 空间、广义 morrey（或 lorentz-morrey、orlicz-morrey）空间以及广义 block（或 lorentz-block、orlicz-block）空间。在整个本节中，我们始终假设 (x,ρ,μ) 为满足wrd条件的齐次型空间，ω?x 为满足wmd条件的开集。 **致谢** 作者感谢 durvudkhan suragan 教授提出的富有洞察力的建议，即在领域的设定下考虑本文的原始结果，这促成了定理1.11和定理1.13。作者还衷心感谢审稿人对本文的仔细审阅和提出的若干意见，这些意见确实提高了本文的质量。本项目部分由国家自然科学基金资助（项目编号12371093、12431006）。 作者：永井英一 | 唐梦浩 | 杨大淳 | 袁文 |>$$u(x,y):=\min\{\mu(b(x,\rho(x,y))), \mu(b(y,\rho(x,y)))\}.$$
(x,ρ) 的直径 diam(x) 定义为 diam(x):=sup_{x,y∈x} ρ(x,y)。在本文中，除非另有说明，所有函数均假设为复值函数。用 m(x) 表示 x 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意 f∈m(x)，f 的支集 suppf 定义为 suppf:={x∈x: f(x)≠0}。对于任意 p∈(0,∞]，用记号 l^{p,loc}(x) 表示 x 上所有局部 p-可积函数的集合。hardy-littlewood 极大算子 m 定义为：对于任意 f∈l^{1,loc}(x) 和 x∈x，
$$m(f)(x):=\sup_{b\ni x} \frac{1}{\mu(b)}\int_b |f(y)|\,d\mu(y),$$
其中上确取遍所有包含 x 的球 b?x。我们始终用 c 表示与所涉及的主要参数无关但可能逐行变化的正常数。我们也用 c(α,β,…) 表示依赖于所示参数 α,β,… 的正常数。记号 f?g 意味着 f≤cg。若 f?g 且 g?f，则我们写作 f～g。若 f≤cg 且 g=h 或 g≤h，则我们写作 f?g=h 或 f?g≤h。对于任意 q∈[1,∞]，用 q' 表示其对偶指数（即 1/q+1/q'=1）。我们也用 liminf 和 limsup 分别表示下极限和上极限。最后，在所有证明中，我们始终保持原定理（或相关命题）中引入的记号。

**第2节摘要：满足wrd条件的齐次型空间上的maz'ya–shaposhnikova表示**

在本节中，我们旨在建立满足wrd条件的齐次型空间上球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第2.1小节中，我们证明定理1.5的上界估计。在第2.2小节中，我们证明定理1.5的下界估计。在第2.3小节中，我们证明定理1.7。在第2.4小节中，我们证明对μ的弱逆双重假设在某种意义上是必要的。

**第3节摘要：满足wmd条件的领域上的maz'ya–shaposhnikova表示**

在本节中，我们在开集 ω?x 上建立球拟巴拿赫函数空间拟范数的maz'ya–shaposhnikova表示。在第3.1小节中，我们证明定理1.11。在第3.2小节中，我们证明定理1.13。在第3.3小节中，我们证明对所考虑领域的弱测度密度假设在某种意义上是必要的。

设 ω?x 为开集，m(ω) 表示 ω 上所有 μ-可测函数的集合。对于任意定义在 x 上的函数 g，用 g|_ω 表示...

**第4节摘要：应用于特定的球拟巴拿赫函数空间**

在本节中，我们将本文的主要定理，即定理1.11和定理1.13，分别应用于加权（或变指数）lebesgue 空间、加权 lorentz 空间、加权 orlicz 空间、广义 morrey（或 lorentz-morrey、orlicz-morrey）空间以及广义 block（或 lorentz-block、orlicz-block）空间。在整个本节中，我们始终假设 (x,ρ,μ) 为满足wrd条件的齐次型空间，ω?x 为满足wmd条件的开集。

**致谢**

作者感谢 durvudkhan suragan 教授提出的富有洞察力的建议，即在领域的设定下考虑本文的原始结果，这促成了定理1.11和定理1.13。作者还衷心感谢审稿人对本文的仔细审阅和提出的若干意见，这些意见确实提高了本文的质量。本项目部分由国家自然科学基金资助（项目编号12371093、12431006）。

作者：永井英一 | 唐梦浩 | 杨大淳 | 袁文 | 朱晨峰>