论 o-极小结构中的可定义紧半群

《Annals of Pure and Applied Logic》：On definably compact semigroups in o-minimal structures

　　

摘要
在本文中，我们研究了 o-最小结构中的可定义紧半群，旨在将可定义群的理论扩展到更广泛的代数环境中。我们证明了任何可定义紧半群都包含幂等元，并具有唯一的最小理想以及最小的左理想和右理想，它们都是可定义的且可定义紧的。我们证明了在可定义紧半群中，可消去性刻画了可定义群，并且可定义群的任何可定义紧子半群本身就是一个子群。在完全简单的情况下，我们通过可定义的 Rees 矩阵分解对可定义子半群进行分类，并分析何时可定义群理论的结果能扩展到此设置中。

引言
1986 年，A. Pillay 和 C. Steinhorn 在《有序结构中的可定义集 I》[14] 中引入了 o-最小结构的定义，其灵感来自 L. van den Dries 在 [6] 中的工作。两年后的 1988 年，A. Pillay 发表了《o-最小结构中可定义的群与域》[13]，这被广泛认为是研究 o-最小结构中可定义群的开端。

自此以来，o-最小结构中的可定义群理论已发展成为一个稳健而优雅的框架，突显了 o-最小性如何限制和影响可定义群的代数行为。这一成功引发了一个自然的问题：这些结果和技术能在多大程度上扩展到更一般的代数对象，如半群？令人惊讶的是，尽管半群在代数和拓扑学中无处不在，但它们在 o-最小结构中的可定义对应物似乎尚未得到充分开发：据我们所知，可定义半群此前未在 o-最小环境中以系统的方式进行过研究。本文旨在开始填补这一空白。

在本文中，我们调查涉及半群和拓扑半群的经典定理在翻译到 o-最小结构的可定义设置后是否仍然有效，以及关于 o-最小结构中可定义群的结果能否推广到可定义半群。在此过程中，我们不仅旨在推广可定义群的理论，还致力于在 o-最小性的几何约束下理解代数和拓扑行为的更广泛计划做出贡献。

尽管半群缺乏逆元以及群所拥有的许多结构工具，但它们的研究长期以来揭示了微妙的代数和组合行为，特别是当增加额外结构（如与半群运算兼容的拓扑）时。特别是，紧性在拓扑半群的经典理论中扮演着核心角色。受此启发，本文的重点是研究可定义紧的可定义半群。

全文我们将在一个固定的充分饱和的 o-最小结构 ? 中工作，并且所有可定义半群和群都被假设为携带与其运算兼容的豪斯多夫可定义空间结构。因此，我们方法的一个关键特征是，我们在所有半群（特别是所有群）上使用可定义空间结构。这是对通常研究可定义群设置的重要推广，在通常的设置中，人们通常使用使群成为拓扑群的可定义流形结构（如 Pillay 拓扑）。相比之下，我们允许一般的豪斯多夫可定义空间。

我们首先在第二节回顾一些初步定义和结果，这些内容将在本文其余部分大量使用，即可定义空间、可定义流形和可定义紧性的定义。第二节还简要介绍了将使用的半群理论定义和结果。

在第三节，我们开始研究可定义紧半群。与涉及紧半群的经典结果平行，我们证明：
定理 3.1 设 S 是一个可定义紧的可定义半群。则 S 至少有一个幂等元。
定理 3.9 设 S 是一个可定义紧的可定义半群。则 S 具有唯一的最小理想。此外，该最小理想是可定义的且可定义紧的。

在第四节，我们研究可定义紧完全简单半群，这是任何可定义紧半群的最小理想的情况。特别是，我们证明了一些可定义群的性质在可定义紧完全简单半群中成立，当且仅当我们施加强有限性性质（即，?-有限性）时。

章节片段
可定义空间与可定义紧性
我们假定读者熟悉 o-最小性的基础知识（有关该主题的良好介绍见 [7]）。此外，全文中，“可定义”始终意味着带参数的可定义，除非另有说明。

可定义空间和可定义流形的概念在本工作中起着核心作用。因此，尽管定义是众所周知的，我们仍将明确陈述它们。
定义 设 ? 是一个 o-最小结构， 是一个任意集合（非
幂等元和最小理想的存在性
如第一节所述，从此处开始，我们固定以下假设：除非另有说明，我们将假设本文讨论和工作的每一个可定义半群 [群] 都配备了一个与其中所述半群 [群] 的运算兼容的豪斯多夫可定义空间结构，即由可定义空间结构产生的拓扑使其成为一个拓扑半群 [群]。
拓扑半群理论中的一个经典结果是任何
可定义紧完全简单半群
如第三节先前所述，任何可定义紧半群的核都是完全简单的。这表明，对可定义紧完全简单半群的透彻理解可能为任意可定义紧半群提供一个结构视角。因此，本节的目标是研究此类半群。
我们首先从包含可定义性的角度推广 Rees 定理。
引理 4.1 可定义 Rees 定理 设 S 是一个 中可定义的完全简单半群。则存在可定义集合 I, Λ, a

致谢
本研究部分履行了波尔图大学数学硕士学位的要求，由 Mário Edmundo 指导并 Jorge Almeida 共同指导，特此感谢他们的指导和支持。

作者也感谢匿名审稿人仔细阅读手稿并提供许多有益的评论和建议，这显著改善了表述和整体内容。

爱德华多·马加尔尼亚斯
意大利因苏布里亚大学科学与技术系