离散赋值环上的簇堆向量丛与布尔哈 - 蒂茨建筑

《Advances in Mathematics》：Toric vector bundles over a discrete valuation ring and Bruhat-Tits buildings

　　

# 摘要

我们给出了离散赋值环 O 上的一个簇模空间 X 上秩为 r 的环面作用向量丛 E 的分类，该分类以从 X 的扇形到 GL(r)（扩展的）建筑的分级分片线性映射 Φ 为手段。一方面，这扩展了 Klyachko 对簇上环面作用向量丛的分类；另一方面，它扩展了 Mumford 对 O 上簇模空间上作用等变线丛的分类。我们还给出了一个判定 E 等变分裂为簇线丛之和的简单判据，该判据以其分片线性映射为根据。除其他内容外，本文的工作为研究簇向量丛的算术几何奠定了基础。

# 引言

自 20 世纪初出现以来，向量丛一直是现代几何许多重要发展的焦点。尽管如此，我们对向量丛结构知之甚少，特别是在维数大于 1 的簇上尤其如此。由于其组合本质，簇上的等变向量丛提供了一类丰富的例子，使人得以一窥高维簇上向量丛的世界。

设 T 为域 K 上的 n 维（分裂的）代数环面，令 X = X_Σ 为与扇形 Σ 相关联的 T-簇簇。我们回忆一下，X 上的一个环面作用向量丛（或简称簇向量丛）是 X 上的一个向量丛 E，连同 T 的一个线性作用，该作用提升了 X 上的作用。众所周知，簇线丛由簇扇形 Σ 上的整分片线性函数分类。它们是核心对象，将簇的几何与凸多面体的理论联系起来，这一联系在代数、几何和组合学中被证明是极其富有成效的。

簇向量丛已由 Klyachko 在其卓越的工作[16]中作出了著名的分类，该工作在后续理论发展中影响深远。他的分类以有限维向量空间 E 中某些相容 filtration 的数据为手段（见第 1.1 节）。我们指出，簇向量丛的第一次分类可追溯到 Kaneyama，其以某些 cocycle 的数据为手段（[14]）。在[17]、[18]和[22]中，簇向量丛的 Klyachko 数据被诠释为从簇扇形到向量空间 E 上赋值空间的（GL(E) 的扩展 Tits 建筑）的分片线性映射。

在本文中，我们关注离散赋值环 O 上的簇模空间。离散赋值环的基本例子是 O = k[[t]]，幂级数环（这在热带几何中常被考虑），以及 O = ?_p，p 进整数环（这在算术几何中常被考虑）。离散赋值环上的簇模空间已由 Mumford 在[15, §IV]中分类。在[11]中，Gubler 将该分类推广到非离散赋值环。

本文的主要结果是离散赋值环 O 上的簇模空间上簇向量丛 E 的组合分类。当簇模空间对 DVR 是 proper 的时，该分类以从簇模空间的分片复形 Σ_1 到 GL(r) 的扩展 Bruhat-Tits 建筑的分片仿射整映射为手段，其中 r 是 E 的秩。这既扩展了 Klyachko 的分类，也扩展了 Mumford 对簇模空间上簇线丛的分类（见[15, §IV.3(e)]、[3, 第 3.6 节]）。

本文可视为[18]中思想的延续，其中域 K 上簇簇上环面作用主丛（或简称簇主丛）的分类与代数群的 Tits 建筑理论相关联。[18]中的主要结果是：对于约化群 G，X_Σ 上的簇主 G-丛由从扇形 Σ 到 G 的扩展 Tits 建筑（也称 Tits 建筑之上的锥）的分片线性映射分类。

本文结果在算术和组合代数几何中的应用已开始涌现。

- 在[5]中，本文结果被用来给出 DVR 上簇向量丛的等变 Chern 类的组合描述。我们希望这有助于推进我们对算术 Chern 类理解。
- 在[2]中，作者定义了积和的常类，它是积和的簇簇上的某些 Chow 上同调类。他们利用这一构造给出积和一些重要不变量的几何诠释并证明了相关猜想。在一份进行中工作中，我们使用本文的分类，定义离散赋值环上热带簇向量丛的概念。然后我们用它来扩展[2]的构造，定义带值积和的常类及其等变 Chern 类。我们希望这一方法能导致[12]中度量图上的向量丛理论向高维热带簇的推广。
- 扩展 Klyachko 对域上簇向量丛的分类，期望且富有雄心地要求环面（其维数可能小于簇的维数）作用的（正规）簇上等变向量丛的组合分类是合理的。在[8]中，以本文的结果为主要成分，给出了具有余维数一 torus 作用（复杂度一 T-簇）的（正规）簇上环面作用向量丛的组合分类。
- 类似地，本文结果可用于给出 Dedekind 域 D（例如数域的整数环）上 Spec(D) 的簇向量丛分类。
- 通过考虑高秩局部域上的簇模空间上的簇向量丛，本文的主要分类可用于建议将 Bruhat-Tits 建筑的概念推广到高维局部域（参看[21]）。

现在我们更详细地说明本文的主要结果。设 K 为带离散赋值 val: K → ? ∪ {∞} 的域，O 为其离散赋值环。设 T 为 O 上的（分裂的）环面。回忆一下，Spec(O) 上的 T-簇模空间 X = X_Σ 由 N^R × ?_{≥0} 中的扇形 Σ 给出，其中 N 表示 T 的共字符格（第 1.2 节）。

为使结果陈述更简洁，我们首先在 X = X_Σ 对 Spec(O) 是 proper 的情况下陈述，或者等价地，Σ 是完全的，即 Σ 的支集是整个 N^R × ?_{≥0}。我们记 Σ_1（分别为 Σ_0）为将 Σ 中的锥与超平面 N^R × {1}（分别为 N^R × {0}）相交所得的分片复形（分别为扇形）。扇形 Σ_0 是分片复形 Σ_1 的 recession 扇形。泛纤维 X_η 是与扇形 Σ_0 相关联的簇簇（在 K 上）。

**定义 1** 设 E 为 K 上的 r 维向量空间。对于任意 m ≥ 0，E 上的一个 level m 加法范是一个函数 v: E → ?? = ? ∪ {∞}，满足以下公理：
(1) v(λe) = m·val(λ) + v(e)，对所有 e ∈ E 和 λ ∈ K。
(2)（非阿基米德性质）v(e_1 + e_2) ≥ min{v(e_1), v(e_2)}，对所有 e_1, e_2 ∈ E。
(3) v(e) = ∞ 当且仅当 e = 0。
加法范若取整数值则称其为整的。我们将主要关注 m = 0, 1 的情形。当 m = 1 时，我们有 v(λe) = val(λ) + v(e)；当 m = 0 时，对于所有 λ ≠ 0，有 v(λe) = v(e)。

我们记所有 level m 加法范的空间为 B?_m(E)。特别地，我们记 E 上所有 level 1 加法范的空间为 B?_aff(E) = B?_1(E)。我们同样记所有 level 0 加法范的空间为 B?_sph(E) = B?_0(E)。我们称 B?_aff(E)（分别为 B?_sph(E)）为 E 的扩展 Bruhat-Tits 建筑（分别为扩展 Tits 建筑）。见第 2 节，也见第 3 节关于其与 GL(E) 的 Tits 及 Bruhat-Tits 建筑关联的内容。最后我们令 B?(E) = ?_{m≥0} B?_m(E)，并称之为 E 的总扩展建筑。空间 B?(E) 是以扩展 Bruhat-Tits 建筑 B?_aff(E) 为体的锥，将扩展 Tits 建筑 B?_sph(E) 粘附为其边界。

为 K-向量空间 E 选取一个基 B，指定了 B?_sph(E) 的一个子集，该子集是一个 r 维实向量空间，其中 r = dim(E)。我们记该子集为 ?_sph(E)，并称之为与基 B 相关联的扩展公寓。类似地，B?_aff(E) 有一个子集是一个 r 维实仿射空间。我们记之为 ?_aff(E)，并称之为与基 B 相关联的扩展公寓。B?_sph(E) 和 B?_aff(E) 都是其公寓的并。

设 Σ_0 和 Σ_1 如上。在第 4.2 节中，我们定义以下概念：

- 从扇形 Σ_0 到扩展 Tits 建筑 B?_sph(E) 的分片线性映射 Φ_0。大致来说，这意味着 Φ_0 将 Σ_0 中每个锥 σ 映射到一个扩展公寓，且在 σ 上的限制是一个线性映射。
- 从分片复形 Σ_1 到扩展 Bruhat-Tits 建筑 B?_aff(E) 的分片仿射映射 Φ。大致来说，这意味着 Φ 将 Σ_1 中每个分片 Δ 映射到一个扩展公寓，且在 Δ 上的限制是一个仿射映射。我们还定义整分片线性（分别为整分片仿射）映射的概念，大致来说意味着它将格点映射到整加法范。

回忆一下，给定一个分片仿射函数 ?: |Σ_1| → ?，可以定义 ?_0: |Σ_0| → ?，即 ? 的线性部分。这里 Σ_0 是 Σ_1 中分片的 recession 锥的集合。更一般地，对于一个分片仿射映射 Φ，我们可以定义 Φ_0: |Σ_0| → B?_sph(E)，即 Φ 的线性部分。

存在一个自然的分片仿射映射间的态射概念（定义 4.9），并且到有限维向量空间 E 的扩展 Bruhat-Tits 建筑的分片仿射映射构成一个范畴。

设 X_Σ 是 Spec(O) 上相应的簇模空间，对应 N^R × ?_{≥0} 中的扇形 Σ，及其在 N^R × {1} 中相应的分片复形 Σ_1。

我们考虑两个范畴。第一个是 X_Σ 上簇向量丛的范畴，其态射是向量丛的等变态射。第二个是所有有限维 K-向量空间 E 从 |Σ_1| 到 Bruhat-Tits 建筑 B?_aff(E) 的整分片仿射映射的范畴（态射定义在定义 4.9 中）。我们下面的主要结果表明这两个范畴是等价的。为此，给定 X_Σ 上的一个簇向量丛 E，我们构造一个整分片仿射映射 Φ_E: |Σ_1| → B?_aff(E_{x_0})，其中 E_{x_0} 是开轨道中一个区分点 x_0 处的纤维。它是一个 r 维 K-向量空间，其中 r = rank(E)。反过来，给定一个有限维 K-向量空间 E，与每个整分片仿射映射 Φ: |Σ_1| → B?_aff(E)，我们关联一个簇向量丛 E_Φ，连同区分纤维 E_{Φ,x_0} 与 E 的一个等同。

**定理 2 主定理，第一部分** 按上述记号，设 X_Σ 是 Spec(O) 上的一个 proper 簇模空间。映射 F: E ? Φ_E 和 E: Φ ? E_Φ 是函子性的，并在 X_Σ 上簇向量丛的范畴与从 |Σ_1| 到有限维 K-向量空间 E 的 B?_aff(E) 的整分片仿射映射的范畴之间给出范畴等价。

定理 2 的要义是，扩展 Bruhat-Tits 建筑 B?_aff(E) 可被视为 proper 簇模空间上秩为 r 的簇向量丛的 GL(E) 类空间的类比。

下一个定理描述泛纤维的 Klyachko 数据。我们回忆一下，在[17, 第 2.1 节]中，域上簇簇上的簇向量丛的 Klyachko 数据被诠释为到扩展 Tits 建筑的整分片线性映射。

**定理 3 主定理，第二部分** 设 E 为 proper 簇模空间 X_Σ 上的一个簇向量丛，对应分片仿射映射 Φ: |Σ_1| → B?_aff(E_{x_0})。

然后，对应于泛纤维 Eη 的分段线性映射，Eη 是定义在域 K 上的扇形簇 Xη=XΣ0 上的一条（通常）分形向量丛，为 Φ0:|Σ0|→B?sph(Ex0)，即 Φ 的线性部分。定理2、定理3推广了关于扇形群胚上线性丛分类的已知结果（[3, Section 3.3]）。当 XΣ 在 Spec(O) 上不是proper时（等价地，Σ的支撑不是整个 NR×R≥0），主要定理仍然成立，但除了分段仿射映射 Φ1:|Σ1|→B?aff(E) 之外，我们还需要分段线性映射 Φ0:|Σ0|→B?sph(E) 的数据，该映射与 Φ1 相容。为了方便，我们在从扇 Σ 到扩张全 Bruhat-Tits 建筑 B?(E)=?m≥0B?m(E) 的分级分段线性映射 Φ 的概念中编码 Φ1 和 Φ0 的数据。我们称映射 Φ 为分级分段线性映射，如果它是分段线性的，并且对于任意 m≥0，它将每个点 (x,m)∈|Σ| 映射到 B?m(E)（见定义4.4）。给定扇形簇 XΣ 上的一个分形向量丛 E，我们构造一个整数分级分段线性映射 ΦE:|Σ|→B?(Ex0)。反之，给定有限维 K-向量空间 E，对每个整数分级分段线性映射 Φ:|Σ|→B?(E)，我们关联一个分形向量丛 EΦ，并给出区别纤维 EΦ,x0 与 E 的等同。定理4 主定理，一般情形设 Σ 是 NR×R≥0 中的一个扇，不一定完备。映射 F:E?ΦE 和 E:Φ?EΦ 是函子性的，且在扇形簇 XΣ 上分形向量丛的范畴与有限维 K-向量空间 E 对应的整数分级分段线性映射 Φ:|Σ|→B?(E) 的范畴之间给出一个范畴等价。此外，泛点上的分形向量丛 Eη 对应于整数分段线性映射 Φ0:=Φ|Σ0:|Σ0|→B?sph(Ex0)。在第5节中，我们给出了扇形簇 XΣ 上分形向量丛等变分裂的判别准则。它将 Klyachko 关于域上分形向量丛等变分裂的准则推广到DVR上的扇形簇情形。我们使用这个准则给出了一个秩2分形向量丛的例子，它定义在 P1 的典范模型（在 p 进整数 Z2 上）上，且不可分裂（例5.3）。如 Klyachko 所示，射影空间（在域上）上低秩分形向量丛的分裂可以从 GL(E) 的 Tits 建筑的 Helly 型定理推出（[16, Theorem 6.1.2]）。在例5.4中，我们观察到 Klyachko 的 Helly 定理的一个类比对 GL(2,Qp) 的 Bruhat-Tits 建筑成立（它是一个 (p+1)-正则的无穷树）。在未来的工作中，我们计划将 Klyachko 的 Helly 定理推广到任意有限维 K-向量空间 E 对应的 GL(E) 的 Bruhat-Tits 建筑。我们在引言的最后提出了一些有待进一步研究的问题：•类比于 [13]、[17]，给出DVR上分形向量丛的丰富性（ampleness）的的组合刻画，用其分段仿射映射来表示。•构造DVR上分形向量丛的"多面体议会"（parliament of polytopes）的类比（[9]），捕获全截面空间并给出全生成（globally generated）的判别准则。关于线性丛情形的论文 [19] 与此相关。•用分段仿射映射研究DVR上分形向量丛纤维的（半）稳定性。致谢：我们要感谢 Huayi Chen、Martin Sombra、Eric Katz，以及特别感谢 Sam Payne 和 Jose Burgos Gil 的非常有用的邮件交流。特别是，Jose Burgos Gil 建议我们使用 level m 加法范数的空间。前两位作者获得 NSF 合作研究基金（DMS-2101911 和 DMS-2101843）以及 Simons 数学家合作基金（714052, 587209）的资助。符号约定：•K，带赋值 val:K→Z￣=Z∪{∞} 的离散赋值域•O，(K,val) 的赋值环•m，O 中的最大理想•?，O 的一个一致化参数，即 m 的一个生成元•k=O/m，O 的剩余域•Spec(O)，O 对应的仿射胚•η，Spec(O) 的泛点，即与素理想 {0} 对应的点•s，Spec(O) 的特殊点，即与最大理想 m 对应的点•对于 Spec 上的胚 X，我们分别用 Xη 和 Xs 表示 X 在 η 和 s 上的纤维。•T?Gmn，O 上的分裂环面。我们有 Tη?(K×)n 和 Ts?(k×)n。•N 和 M，T 的余角色格和角色格，NR=N?R 和 MR=M?R•N?=N×Z 和 M?=M×Z•对于锥 σ?NR×R≥0，令 Δ=σ∩(NR×{1})。反之，对于多面体 Δ?NR×{1}，令 σ?NR×R≥0 为 Δ 上方的锥。•Σ，NR×R≥0 中的一个扇•Σ1，通过将 Σ 中的锥与 NR×{1} 相交得到的 NR×{1} 中的多面体复形•X=XΣ，NR×R≥0 中扇 Σ 对应的扇形簇。•B?m(E)，K-向量空间 E 上 level m 加法范数的集合（见定义2.1）。我们称并集 B?(E)=?m≥0B?m(E) 为 E 的扩张全 Bruhat-Tits 建筑。•特别是，B?aff(E)=B?1(E) 是 K-向量空间 E 上所有加法范数的集合（见定义2.1）。它被称为 GL(E) 的扩张 Bruhat-Tits 建筑。•此外，B?sph(E)=B?0(E) 是 K-向量空间 E 上所有赋值（valuation）的集合（见定义2.1）。我们称其为 GL(E) 的扩张 Tits 建筑。章节片段Klyachko 对域上分形向量丛的分类在本节中我们回顾 Klyachko 在 [16] 中对分形向量丛的分类。设 T?Gmn 表示域 k 上的 n 维代数环面。我们用 M 和 N 分别表示其角色格和余角色格。我们亦用 MR 和 NR 表示由 M 和 N 张成的 R-向量空间。对于锥 σ∈NR，令 Mσ 为商格：Mσ=M/(σ⊥∩M)。设 Σ 为 NR 中的一个（有限有理多面体）扇，XΣ 为对应的扇形簇。Xσ 表示不变仿射开子集 关于加法范数和赋值的基础知识在本节中我们回顾有限维 K-向量空间 E 上赋值和加法范数的一些基本事实。它们与 GL(E) 的 Tits 建筑和 Bruhat-Tits 建筑的几何实现相关。这些是我们关于扇形簇上分形向量丛分类主定理中的主要工具（第4节）。如往常一样，设 E 为域 K 上的 r 维向量空间，K 配备有离散赋值 val:K→Z￣。我们将关注两种 GL(E) 的 Tits 建筑和 Bruhat-Tits 建筑建筑（building）是一个（抽象的）单纯复形，附带一个称为公寓（apartments）的特定子复形集合，满足某些公理（见 [1, Definition 4.1]）。可以认为建筑的概念是 Lie 理论和微分几何中对称空间概念的组合版本。有两种重要的建筑类型：球面建筑和仿射建筑。•在球面建筑中，每个公寓是球面的一个三角剖分。对一个代数群 G 而言 离散赋值环上的分形向量丛如前所述，设 X=XΣ 为 Spec(O) 上的扇形簇，其中 Σ 是 NR×R≥0 中的一个扇，对应 NR×{1} 中的多面体复形 Σ1。我们回顾 X 带有一个在开图表 U0 中的区别点 x0，给出此开集与环面 Tη=TK 的等同。定义4.1 X 上的分形向量丛是 X 上的一个 T-线性化向量丛。分形向量丛等同于 X 上秩恒定的 T-线性化 OX-模的局部自由层。XΣ 上分形向量丛之间的态射指的是 扇形簇上分形向量丛的等变分裂在本节中，我们通过关联的分段仿射映射给出了分形向量丛分裂为分形向量丛之和的一个简单判别准则。它将域上分形向量丛分裂的类似判别准则进行了推广（见 [16] 以及 [18, p. 5, A little application]）。定义5.1 我们说分形向量丛 E 等变分裂，如果它等变同构于分形线性丛的直和。定理5.2 等变分裂判别准则 XΣ 上的分形向量丛 E 等变分裂当且仅当 Kiumars Kaveh|Christopher Manon|Boris Tsvelikhovskiy