有限总曲率的负曲率曲面的等距浸入

《Advances in Mathematics》：The isometric immersion of negatively curved surfaces with finite total curvature

　　

# 摘要

在本论文中，我们研究负高斯曲率的完备单连通曲面在三维欧几里得空间中的光滑等距浸入。一个基本且长期的问题是找到一个完备负曲率曲面等距嵌入R3的充分条件。这可以描述为从高斯-科达齐方程推导出的双曲型非线性偏微分方程组的初值和/或边界值问题。与该方程组相关的数学理论在很大程度上是不完整的。文献中已经证明，当高斯曲率快速且单调衰减时，全局光滑等距浸入的存在性成立。然而，当高斯曲率振荡或缓慢衰减时，问题变得更加困难，知之甚少。

在我们的论文中，我们找到了一个充分条件，包括有限总高斯曲率和高斯曲率的适当振荡。在此条件下，我们证明了高斯-科达齐方程组光滑解的全局存在性，从而实现了曲面在三维欧几里得空间中的全局光滑等距浸入。此外，我们证明了在高斯-科达齐方程组的一个特殊情况下，有限总高斯曲率是解存在的必要条件。

我们开发了新技术来克服高斯曲率缓慢衰减和振荡带来的困难。通过观察到黎曼不变量的某些组合比其他组合衰减得更快，我们将高斯-科达齐方程重新表述为对称双曲方程组，并揭示了一个关键的部分阻尼结构。这些部分阻尼，连同有限总曲率和高斯曲率的适当振荡，使我们能够通过精细分析获得全局光滑解，从而建立此类曲面的全局光滑等距浸入。

# 引言

在本论文中，我们研究负高斯曲率（即具有负高斯曲率的完备二维黎曼流形或曲面）在三维欧几里得空间R3中的全局光滑等距浸入。曲面经典理论断言，如果满足高斯-科达齐方程组，则此类曲面的等距浸入存在（参见[3]、[15]、[32]、[48]、[57]）。设$(M,g)$为具有度量$g=\sum_{i,j=1}^{2}g_{ij}dx^idx^j$的曲面。假设$(M,g)$等距浸入在R3中，其第二基本形式由以下给出，

则高斯-科达齐方程组具有以下形式：

$$\partial_2 L - \partial_1 M = \Gamma_{12}^1 L + (\Gamma_{12}^2 - \Gamma_{11}^1)M - \Gamma_{11}^2 N,$$

$$\partial_2 M - \partial_1 N = \Gamma_{22}^1 L + (\Gamma_{22}^2 - \Gamma_{21}^1)M - \Gamma_{21}^2 N,$$

其中$LN - M^2 = K(g_{11}g_{22} - g_{12}^2)$，其中$\partial_i$表示$\partial_{x_i}$，$\Gamma_{jk}^i$（$i,j,k=1,2$）是给定向度$g$的克里斯托费尔符号，$K$是高斯曲率。要建立曲面全局等距浸入的存在性，我们需要找到上述高斯-科达齐方程组的全局解。

黎曼流形的等距嵌入或浸入是微分几何中一个著名的基本问题。对于一般的$n$维黎曼流形，Janet [42]和Cartan [8]证明了在$\mathbb{R}^{n^*}$中的局部解析等距嵌入，其中$n^*$表示Janet维数$n(n+1)/2$。Nash [53]建立了光滑$n$维流形在足够大的$m$的$\mathbb{R}^m$中的光滑全局等距嵌入。Gromov [24]和Günther [28]、[29]改进了目标维数。事实上，Günther提供了一种替代证明并将目标维数改进到$m\geq\max\{n^*+2n,\, n^*+n+5\}$。另一方面，Nash [52]和Kuiper [44]获得了$\mathbb{R}^m$（$m\geq n+1$）中$C^1$等距嵌入的灵活性，结合Whitney强嵌入定理，这得到了$n$维黎曼流形到$\mathbb{R}^{2n}$的$C^1$等距嵌入（参见[62]）。Nash-Kuiper定理也对$C^{1,\theta}$等距嵌入成立，其中$\theta < (1+n+n^2)^{-1}$，对于$n\geq 3$（参见[7]、[14]），以及$\theta < 1/5$，对于$n=2$（参见[7]、[18]）。

要在具有Janet临界维数$n(n+1)/2$的欧几里得空间中找到$n$维黎曼流形的光滑或足够光滑的局部等距嵌入，是一个具有挑战性的问题。这就是Schl?fli猜想（参见[32]）。关于$n=2$时的局部和全局光滑等距浸入，Han-Hong的书[32]提供了广泛的回顾和讨论。对于$n=2$，R3中曲面等距浸入的高斯-科达齐方程组在正曲率$K>0$时是椭圆型的，在负曲率$K<0$时是双曲型的，在高斯曲率变号时是混合型。对于曲率$K\geq 0$，文献中已有许多关于局部和全局光滑嵌入的结果，请参阅[26]、[27]、[30]、[33]、[35]、[36]、[37]、[41]、[47]、[54]、[61]、书[32]及其参考文献。当曲率变号时，在[19]、[30]、[34]、[43]、[46]中获得了足够光滑的曲面局部等距嵌入，并在$\nabla K$上施加了附加条件。当曲率为负时，在[6]、[32]、[39]中研究了光滑等距浸入，并在[4]、[5]、[11]、[12]、[13]、[45]中获得了$C^{1,1}$等距浸入。在[10]、[49]、[60]中也研究了低正则性的曲面等距浸入。对于$n=3$或$n=4$，在[2]、[9]、[23]、[50]、[51]、[56]中研究了局部光滑等距浸入。

本论文关注负曲率完备曲面在R3中的全局光滑等距浸入，即具有负高斯曲率的完备二维黎曼流形。此类曲面的一个例子是双曲平面，其高斯曲率为$-1$。第一个相关结果是由Hilbert [38]得出的，他证明了双曲平面不允许在R3中存在光滑等距浸入。Efimov [21]、[22]将此结果推广到各种完备负曲率曲面类，并找到了在R3中不存在等距浸入的高斯曲率的不同条件。更精确地说，在[21]和[22]中，Efimov分别表明，如果高斯曲率由负常数界定，或者如果高斯曲率$K$为负且满足$\sup|K|,\, \sup|\nabla|K|^{-1/2}|<\infty$，则不存在R3中的$C^3$等距浸入。此条件允许$|K|$以无穷远测地距离的逆二次方衰减。具体地说，如果在某些测地极坐标$(\theta,\rho)$上，当$\rho$足够大时$K=-\rho^{-2}$，则满足(1.3)，因此不存在$C^3$等距浸入。

关于负曲率曲面的等距浸入存在性，Yau [63]提出了以下问题：找到一个完备负曲率曲面等距嵌入R3的充分条件。他指出，合理的条件应涉及高斯曲率在无穷远处的衰减率。显然，此类衰减率应快于无穷远测地距离的平方倒数。沿着这个方向，Hong [39]给出了肯定回答并获得了以下结果。

**定理A** [39] 设$(M,g)$为具有负高斯曲率$K$的光滑完备单连通二维曲面。假设在某些测地极坐标$(\theta,\rho)$上，$K$满足，对于某个常数$\gamma>0$，

$$\partial_\rho \log(|K|\rho^2 + \gamma) \leq 0 \quad \text{对于大}\,\rho,$$

且$\partial_{\theta_i}\log|K|$（$i=1,2$），$\rho\,\partial_{\theta_i}\partial_\rho\log|K|$有界。那么，$(M,g)$在R3中具有光滑等距浸入。

条件(1.4)要求高斯曲率$K$本身应沿所有测地线递减，并且不允许振荡因子。一个长期的开放问题是，是否可以放松衰减假设(1.4)并允许高斯曲率振荡。

在本论文中，我们将证明具有有限总高斯曲率和高斯曲率适当振荡的曲面在R3中全局等距浸入的存在性。更精确地说，我们有以下定理。

**定理1.1** 设$(M,g)$为具有负高斯曲率$K$和$\int_M |K|\,dA_g < \infty$的光滑完备单连通曲面，其中$dA_g$是$g$的面积元素。假设在某些测地极坐标$(\theta,\rho)$上，$K$具有分解

$$\rho^{2+\gamma}|K|(\theta,\rho) = \overline{K}(\rho)\,a^2(\theta,\rho) \quad \text{对于大}\,\rho,$$

其中$\gamma\in(0,1)$是常数，$\overline{K}$和$a$是正函数，使得

$$\overline{K}(\rho) \quad \text{对于大}\,\rho\,\text{是单调的},$$

$$a,\, a^{-1},\, \partial_{\theta_i}\log a,\, \rho\,\partial_{\theta_i}\partial_\rho\log a \quad \text{对于}\,i=1,2,3\,\text{有界},$$

$$\int_1^\infty \max_\theta |\partial_\rho a|\,d\rho < \infty.$$

那么，$(M,g)$在R3中允许光滑等距浸入。

分解(1.7)的灵感来自于[1]、[17]、[20]、[31]、[55]。函数$\overline{K}$和$a$分别称为单调因子（递增或递减）和振荡因子（从下方和上方有界）。设$K^*(\rho) = \rho^{-2-\gamma}\overline{K}(\rho)$。那么，$K^*(\rho)$是曲率$K$的衰减因子。由(1.7)和(1.11)，我们有

$$|K|(\theta,\rho) = K^*(\rho)\,a^2(\theta,\rho) \quad \text{对于大}\,\rho.$$

为了理解定理1.1，我们对假设(1.6)-(1.10)做一些评论。

首先，(1.6)中的有限总曲率条件是独立于坐标的。这个条件是由Hong [40]建议的。在定理1.1中的极坐标中，(1.6)可以重新表述为衰减因子$K^*$的可积条件，形式为

$$\int_0^\infty \rho\,K^*(\rho)\,d\rho < \infty.$$

这表明当$\rho\to\infty$时$K^*(\rho)$的平方倒数衰减是(1.13)的临界情况。事实上，根据下面的引理4.1，(1.13)意味着

$$\lim_{\rho\to\infty} \rho^2 K^*(\rho) = 0.$$

其次，在(1.7)中，我们允许$\overline{K}(\rho) = \rho^{2+\gamma}K^*(\rho)$递减或递增。如果忽略(1.7)中的振荡因子$a$，则(1.4)简化为$\partial_\rho(\rho^{2+\gamma}K^*(\rho))\leq 0$。然而，我们也允许$\rho^{2+\gamma}K^*(\rho)$递增。例如，对于固定的$\gamma_0 > 0$，考虑

$$K^*(\rho) = \frac{1}{\rho^2(\log\rho)^{2+\gamma_0}} \quad \text{对于}\,\rho\geq 2.$$

那么，$K^*$满足(1.13)，且对于任何$\gamma>0$，$\rho^{2+\gamma}K^*(\rho)$对于大$\rho$是递增的。

容易构造出被定理A排除但被定理1.1包含的例子。事实上，如果对于任何$\gamma>0$，当$\rho\to\infty$时，对于固定的$\theta$，$\rho^{2+\gamma}|K|$严格递增或变号无穷次，则$K$不满足(1.4)。例如，定义

$$a(\rho) = \exp\left\{1 + \int_1^\rho \alpha(s)\,ds\right\} \quad \text{对于}\,\rho\geq 2,$$

其中$\alpha(\rho)$是函数$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \mathbf{1}_{[n,\, n+n-2]}$的标准光滑磨光。考虑，对于固定的$\gamma_0 > 0$，

$$K = -\frac{a^2}{\rho^2(\log\rho)^{2+\gamma_0}} \quad \text{对于}\,\rho\geq 2.$$

容易验证满足(1.6)-(1.10)。然而，对于由(1.7)给出的相应$K$，可以直截了当地检查到，对于任何常数$\gamma>0$，导数

$$\partial_\rho \log(\rho^{2+\gamma}|K|) = \frac{\gamma\rho^{-2+\gamma_0}}{\rho\log\rho} + 2\alpha(\rho)$$

当$\rho\to\infty$时变号无穷次，从而违反(1.4)。此外，$|K|$也当$\rho\to\infty$时振荡。

最后，条件(1.9)与定理A中的(1.5)平行，但是施加在振荡因子$a$上。我们指出(1.10)是与证明定理1.1所用方法密切相关的技术假设。我们将求解一个对称拟线性双曲方程组并证明解的长时间存在性。利用(1.10)，我们将证明如果初值"小"，解保持"小"。如果(1.10)被违反，即使初值小，解也可能在无穷远附近趋于无穷大，对于具有类似结构的线性方程也是如此（参见[16]）。

由于(1.8)中的单调性假设是在测地极坐标$(\theta,\rho)$中对大$\rho$给出的，因此自然地要在$(\theta,\rho)$中研究高斯-科达齐方程组。不幸的是，极坐标$(\theta,\rho)$在原点处存在奇异性。类似于[32]、[39]，我们在包含原点的测地坐标$(x,t)$中求解高斯-科达齐方程组，并在其补集中在测地极坐标$(\theta,\rho)$中求解。我们需要仔细分析坐标变换，以便将两个区域的解拼接成$\mathbb{R}^2$中的解。

证明的关键部分是证明高斯-科达齐方程组(1.1)-(1.2)在测地极坐标$(\theta,\rho)$中排除原点的域中的全局存在性，如命题8.9所述。命题8.9证明的新颖之处概述如下。

在Hong [39]定理A的证明中，比较原理被实质性地用于求解高斯-科达齐方程组，一个关键步骤是在假设(1.4)下构造合适的控制函数。然而，由于(1.13)允许振荡因子和缓慢衰减的存在，构造合适的控制函数变得具有挑战性。因此，我们不再依赖比较原理，而是采用能量方法来研究高斯-科达齐方程组。

为了研究解的渐近行为，我们考虑系统(1.1)-(1.2)的一个特殊情况，即度量和黎曼不变量仅依赖于一个变量$\rho$，这是一个常微分方程组，其解可以显式获得。这些显式表达式揭示了一个有趣的现象，即黎曼不变量以相同的阶当$\rho\to\infty$时衰减，但其某些线性组合可能衰减得更快。

我们通过求解高斯-科达齐系统的等价微分系统来证明命题8.9，该系统由(2.13)-(2.14)给出，其中 $u$ 和 $v$ 表示黎曼不变量的特定线性组合，并建立了不同的衰减率。

重构后的系统(2.13)-(2.14)具有以下优势：(i) 它是一个对称双曲系统，这使得我们可以利用能量方法推导其解 $(u,v)$ 的先验估计；(ii) 它具有部分阻尼效应，因此可以控制某些具有不可积系数的项；(iii) $v$ 的正性可以直接被证明，然后可以建立两个系统(2.13)-(2.14)和(1.1)-(1.2)之间的等价性。

在推导 $\rho^{2+\gamma} K^*(\rho)$ 递增情况下的先验估计时，存在两个主要困难。具体而言，$v$ 没有阻尼，而非线性项的系数不可积。为了克服这些困难，我们应用了能量方法和连续性论证。与通常同步估计 $\|u\|_{H^1}$ 和 $\|v\|_{H^1}$ 不同，我们首先充分利用 $u$ 的阻尼效应，在 $\|(u,v)\|_{H^2}$ 具有先验界的情况下获得 $\|u\|_{H^1}$ 的衰减估计。然后，我们从 $\|u\|_{H^1}$ 的衰减估计直接估计 $\|v\|_{H^1}$。最后，我们利用已经建立的 $\|u\|_{H^1}$ 的衰减估计以及 $\partial_{\theta^2} u$ 方程中的阻尼项来控制方程中的所有非线性项，从而可以改进先验界。

对于 $\rho^{2+\gamma} K^*(\rho)$ 递减的情况，推导先验估计相对更容易。一个主要困难源于非线性项的系数不可积这一事实。然而，$u$ 和 $v$ 的方程都具有阻尼效应。在 $\|(u,v)\|_{H^2}$ 具有先验界的情况下，我们可以推导 $\|(u,v)\|_{L^2}$ 的衰减估计。然后，我们应用已经获得的 $\|(u,v)\|_{L^2}$ 的衰减估计以及系统的对称性来建立 $\|\partial_\theta(u,v)\|_{H^1}$ 的期望衰减估计。

为了证明命题8.9，我们需要引理8.3，它可以从引理6.2和引理6.3推导而来。获得引理6.2和引理6.3的关键问题在于估计测地线坐标系下度量的系数的 $C^2$ 范数以及源自坐标变换的函数 $\Phi$（如引理5.3和引理5.5所述）。由于 $\Phi$ 在 $x=0$ 处的奇异性（见(5.4)），我们在两个区域 $|x| \leq c$ 和 $|x| \geq c$ 中分别证明引理5.3和引理5.4，并通过类似文献[39]中对 $\partial_t B$ 的迭代，在定理1.1的条件下推导了一些精细估计。

本文其余部分组织如下。第2节，我们将高斯-科达齐系统重构为具有部分阻尼的等价对称拟线性双曲系统。第3节，我们给出了包含原点的区域 $\Omega_1$ 中测地线坐标系下解的存在性。第4节，我们在假设(1.6)-(1.9)下推导了度量与曲率的某些性质。第5节，我们研究了从测地线坐标系到测地极坐标系的坐标变换 $F$。第6节，我们建立了 $\partial F(\Omega_1)$ 上初始边界值的估计。第7节，我们在测地极坐标系下的区域 $\tilde{\Omega}_2 = F(\mathbb{R}^{+2} \setminus \Omega_1)$ 中证明了Sobolev空间中的解的局部存在性。第8节，我们采用能量方法并利用部分阻尼效应，证明了测地极坐标系下 $\tilde{\Omega}_2$ 中解的全局存在性。

## 预备知识

在本节中，我们将重新表述测地线坐标系和测地极坐标系下的高斯-科达齐系统，并推导出用于建立先验估计的等价系统。全文中，我们假设 $(M, g)$ 是高斯曲率 $K < 0$ 的完备单连通光滑曲面。

## 原点附近的解

为证明定理1.1，只需证明高斯-科达齐系统(1.1)-(1.2)的平滑解的全局存在性。由于(1.7)-(1.10)在测地极坐标系 $(\theta, \rho)$ 中成立，而在 $(\theta, \rho)$ 坐标系中原点处存在奇异性，因此我们仅使用测地极坐标系 $(\theta, \rho)$ 在不包含原点的区域 $\Omega$ 中求解系统(2.9)-(2.10)。我们将在包含原点的区域 $\mathbb{R}^2 \setminus \Omega$ 中研究测地线坐标系 $(x, t)$ 下的系统(2.3)-(2.4)。

## 度量与曲率的性质

从本节开始，我们考虑测地极坐标系。我们首先在假设(1.6)-(1.9)下建立度量与曲率的某些性质，以准备在 $\tilde{\Omega}_2$ 中初始边界值的估计和解的全局存在性。

为简便起见，记 $\delta = \gamma/2$。由于 $\gamma$ 满足 $0 < \gamma < 1$（如定理1.1所述），则 $\delta \in (0, 1/2)$。回顾

$$K(\theta, \rho) = -k^2(\theta, \rho), \quad \rho^{2+\gamma} |K| = \bar{K}(\rho) a^2(\theta, \rho), \quad K^* = \rho^{-2-\gamma} \bar{K}.$$

记 $k^*(\rho) = K^*(\rho)$，则 $k = a k^*$。因此，$\rho^{1+\delta} k^*(\rho)$ 与 $\bar{K}(\rho)$ 具有相同的……

## 坐标变换

在本节中，我们将研究从测地线坐标系到测地极坐标系的坐标变换

$$F: (x, t) \mapsto (\theta, \rho).$$

由两种坐标系的定义和三角不等式，我们立即得到

$$t - \frac{1}{2}|x| \leq \rho(x,t) \leq t + |x|.$$

由(2.1)和(2.7)，我们还有

$$g = G^2(\rho,\theta) d\theta^2 + d\rho^2 = B^2(x,t) dx^2 + dt^2,$$

并且

$$\rho_t^2 + G_\theta^2 = 1, \quad \rho_x^2 + G_\theta^2 = B^2, \quad \rho_t \rho_x + G_\theta^2 \theta_t \theta_x = 0.$$

此外，$t$-曲线的测地线方程给出

$$\rho_{tt} = \frac{G_\rho}{G} \theta_t^2.$$

由(5.2)的第一个方程和方程求解 $\theta_t$……

## 初始边界值

在本节中，我们将研究测地极坐标系下 $\partial \tilde{\Omega}_2$ 上的初始边界数据，它们是由测地线坐标系下 $\partial \Omega_1 = \partial \Omega_2$ 上的解变换而来的。

设

$$\begin{cases}
(\bar{p}_1(x), \bar{q}_1(x)) = (p(x, t_0(x)), q(x, t_0(x))), & \text{当 } x \leq b^- < 0, \\
(\bar{p}_0(x), \bar{q}_0(x)) = (p(x, t), q(x, t)), & \text{当 } b^- < x < b^+, \\
\rho(x,t) = R_1, & \\
(\bar{p}_2(x), \bar{q}_2(x)) = (p(x, t_0(x)), q(x, t_0(x))), & \text{当 } x > b^+ > 0,
\end{cases}$$

这些是 $\partial \Omega_1$ 上的边界数据。容易看出，在 $\partial \Omega_2 = \partial \Omega_1$ 上，$G \geq \rho \geq R$，因此由(5.1)可知 $JF > 0$。因此，我们可以进行坐标变换……

## 解的局部存在性

在本节和下一节中，我们将证明 $\tilde{\Omega}_2$ 中Sobolev空间中的解的存在性，将 $\partial \tilde{\Omega}_2$ 附近的解延拓到整个 $\tilde{\Omega}_2$。本节讨论局部存在性，下一节讨论全局存在性。

注意在 $\tilde{\Omega}_2$ 中，变换后的解

$$\tilde{p} = GF\tilde{(pB)} = Gw, \quad \tilde{q} = GF\tilde{(qB)} = Gz,$$

其中 $w$ 和 $z$ 来自(2.11)，满足

$$\begin{aligned}
\partial_\rho \tilde{p} + \frac{\tilde{q}}{G} \partial_\theta \tilde{p} &= \tilde{p} - \tilde{q}^2 (\partial_\rho + \frac{\tilde{p}}{G} \partial_\theta) \log k - \tilde{q}(1+\tilde{p}^2) \partial_\rho \log G, \\
\partial_\rho \tilde{q} + \frac{\tilde{p}}{G} \partial_\theta \tilde{q} &= \tilde{q} - \tilde{p}^2 (\partial_\rho + \frac{\tilde{q}}{G} \partial_\theta) \log k - \tilde{p}(1+\tilde{q}^2) \partial_\rho \log G.
\end{aligned}$$

我们将研究一个初始边值问题……

## 解的全局存在性

在本节中，我们通过第1.2节所述的方法，利用能量方法证明了 $\tilde{\Omega}_2$ 中解的全局存在性，从而得到 $\Omega_2$ 中的解，并完成定理1.1的证明。我们将采用与第7节相同的符号。

我们通过在整个区域 $\Sigma_\infty$ 上求解(2.13)-(2.14)带(7.5)的初始边值问题来获得 $\tilde{\Omega}_2$ 中的解，其中

$$\Sigma_\infty = \{(\theta, \rho) : \rho \in [R, \infty), \theta \in I(\rho)\}.$$

由于在区域 $\Sigma_s$ 中的局部存在性已在引理7.1中获得，剩下的问题是……

## 致谢

本工作部分由中国科学院战略性先导科技专项（编号：XDB0510201）资助。曹文韬部分由国家自然科学基金（编号：12471224）资助。韩清部分由美国国家科学基金会资助（编号：DMS-2305038）。黄飞敏部分由中国国家重点研发计划（2021YFA1000800）和国家自然科学基金（编号：12288201）资助。王德华部分由……

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