基于非振荡赫尔米特 - 辛普森转录法的燃料最优火箭着陆

《Advances in Space Research》：Fuel-Optimal Rocket Landing via a Non-Oscillatory Hermite–Simpson Transcription

　　

•开发了一种保形、非振荡的 Hermite-Simpson 转录方法，该方法具有解析推导的仿射中点约束，用于燃料最优火箭着陆。
•提出的约束保证了在分段常数边界下，重构控制剖面在分段单调性和连续时间边界保持方面的性能。
•无需后处理饱和即可消除插值引起的过冲，显著提高了离散到连续的一致性。
•固定网格和细化网格的 GPOPS-II 基准测试以及两项 500 次试验的蒙特卡洛研究表明了高精度和稳健的收敛行为。

引言
最优控制在航空航天工程及相关应用中起着核心作用（BETTS, 2009, Liu et al., 2017, Chai et al., 2019, Patterson and Rao, 2014, Agamawi and Rao, 2020, Zhao and Li, 2017）。近年来，由于具有有利的计算特性和全局最优性保证，凸优化在航空航天最优控制领域受到了广泛关注。代表性应用包括有动力下降与着陆（A??KME?E and PLOEN, 2007, A??KME?E and BLACKMORE, 2011, SZMUK and A?IKME?E, 2016, SAGLIANO, 2018, SAGLIANO, 2019, LIU, 2019, Wang et al., 2019, Yang and Liu, 2020, Xie et al., 2020, Kwon et al., 2021, Ma et al., 2025），航天器轨道转移（Lu and Liu, 2013, Wang and Grant, 2018, Tang et al., 2018, Morelli et al., 2021, Hofmann et al., 2022），大气飞行轨迹优化（Liu et al., 2015, Wang and Grant, 2017, WANG, 2019, Zhang et al., 2024, Zhao et al., 2025, Chen et al., 2025），以及最优制导与控制问题（Foust et al., 2020）。二阶锥规划（SOCP）（Alizadeh and Goldfarb, 2003）在此背景下特别吸引人，因为可以使用具有多项式时间复杂度的内点法高效求解（Domahidi et al., 2013），且不需要凸子问题的初始猜测。然而，由于非线性动力学和非凸约束，许多航空航天最优控制问题仍然难以直接求解。因此，顺序凸规划（SCP）被广泛采用，其中原始非凸问题通过连续线性化和凸化被一系列凸子问题近似。尽管取得了广泛的成功，但实际的 SCP 实现仍然面临与可行性恢复、初始化敏感性和收敛稳健性相关的挑战，这在最近的综述中得到了全面总结（Malyuta et al., 2021, WANG, 2024）。

对于具有自由终端时间的最优控制问题，终端时间变量会在时间归一化后的动力学中引入额外的双线性耦合项。在 SCP 框架内，自由终端时间问题通常通过外环迭代更新终端时间（A??KME?E and PLOEN, 2007, LIU, 2019）或者通过连续凸化直接优化终端时间（SZMUK and A?IKME?E, 2016）来解决。然而，直接优化终端时间可能会导致凸子问题不可行，当初始猜测不当时，需要可行性恢复机制。或者，某些方法规定终端时间或选择单调状态变量作为自变量（Yang and Liu, 2020），这可能限制轨迹具有非单调状态演化时的最优性或适用性。在本工作中，通过统一的时间域 SCP 公式整合了自由终端时间优化，提供了评估离散解与传播轨迹之间一致性的代表性测试用例。

对于凸最优控制问题，连续时间公式必须离散化为与数值优化求解器兼容的形式，例如 ECOS（Domahidi et al., 2013）、MOSEK（Andersen and Andersen, 2000）和 SDPT3（Toh et al., 2012）。在各种离散化方案中，梯形转录由于简单和计算效率高而被广泛使用（Lu and Liu, 2013, Wang and Grant, 2017, Wang and Grant, 2018）。然而，其二阶精度通常需要大量网格点才能实现高精度，导致计算成本增加。为了提高精度，伪谱凸优化已被应用于火星有动力下降轨迹优化（SAGLIANO, 2018）。虽然伪谱方法可以实现高精度，但它们通常引入额外的计算复杂性。为了平衡精度和效率，开发了 hp 自适应凸框架（SAGLIANO, 2019），提供了在解保真度和计算开销之间的灵活权衡。此外，经典四阶龙格 - 库塔方案的变体已被用于可重复使用火箭着陆问题（Yang and Liu, 2020）和四旋翼机制导应用（Foust et al., 2020）。

Hermite-Simpson (HS) 转录提供了另一种有吸引力的四阶离散化替代方案。与经典 RK4 方法相比，HS 方案具有更紧凑的转录结构，实现了相当的精度，从而减少了计算成本。此外，HS 离散化已与网格细化策略结合用于解决低推力轨道转移问题（Zhao et al., 2024）。然而，经典 HS 公式在每个网格区间内隐式引入了控制的二次插值。对于具有双曲型（bang-bang 型）控制结构的最优控制问题，例如本文考虑的燃料最优有动力着陆问题，这种插值可能会在网格点之间产生非物理的振荡过冲。因此，重构的连续控制剖面可能会违反控制边界，即使所有离散控制变量都满足施加的约束。这种插值引起的违反可能导致离散最优解和传播轨迹之间的差异，潜在地降低终端精度。这个问题揭示了转录强制的离散可行性与轨迹执行所需的连续时间可行性之间的根本不一致。

除了特定的 HS 公式外，类似插值引起的振荡也可能出现在其他高阶转录中，包括伪谱方案，当在网格点之间重构不连续控制剖面时。与 SCP 迭代相关的收敛困难或最优控制中的数值颤振现象不同，此处考虑的振荡源于离散控制变量的多项式重构，而不是优化过程本身。现有的 SCP 框架通常通过虚拟控制、基于罚函数的松弛和其他可行性恢复技术来解决优化层面的可行性和收敛性，但没有明确调节高阶重构的插值几何形状。这种差距可能会损害离散解和传播轨迹之间的一致性，凸显了需要一种直接调节重构几何形状的数学机制。

已经开发了多种针对具有双曲型控制结构的不平滑最优控制问题的替代策略，包括基于平滑的同伦方法（Zhao et al., 2025）、一阶保持控制参数化（Bernardini et al., 2024, Malyuta et al., 2019）、自适应网格细化（Haman and Rao, 2025）和基于开关时间的配点方法（Abadia-Doyle and Rao, 2026, Crow and Rao, 2026）。这些方法主要旨在平滑控制不连续性、增加开关区域附近的网格分辨率或识别开关结构。然而，它们并没有直接调节高阶离散解在连续重构期间产生的插值引起的振荡。此外，其中一些方法需要显式的不连续性检测或开关结构的先验知识。最近，Zhao (2026) 考虑了一种简化的中点限制形式，在数值实现中将中点控制设置为端点控制的精确算术平均值。虽然这在抑制振荡方面很有效，但该条件消除了二次曲率，导致受约束的控制分量退化为分段线性剖面，并限制了中点控制的独立优化自由度。相比之下，本工作从 HS 二次插值的单调性条件中推导出一个限制较少的凸中点范围。该公式将中点控制保留为独立决策变量，允许非零二次曲率，并在保持底层 HS 离散化结构的同时防止插值引起的内部极值。

基于推导出的中点范围，开发了一个统一的保形、非振荡 HS 转录框架。通过在离散化层直接调节二次插值的几何形状，提出的公式防止了插值引起的内部极值，而没有修改 HS 缺陷方程，同时保留中点控制为独立决策变量。该转录被整合到时间域 SCP 框架中，用于具有复杂轨迹约束和自由终端时间的燃料最优火箭着陆，并证明了其在单调和非单调高度剖面下的适用性。由于提出的约束仅在离散化层起作用，它们可以与既定的 SCP 策略结合使用，例如虚拟控制和信赖域方法（SZMUK and A??KME?E, 2016, Wang and Grant, 2017）。

主要贡献总结如下：
(1) 通过从二次插值的单调性条件解析推导凸中点约束，开发了一种新的保形、非振荡 HS 转录。提出的约束直接调节插值几何形状，防止插值引起的内部极值，同时保留底层的四阶 HS 离散化结构。
(2) 数学上建立并数值验证了重构控制剖面的非振荡特性，无需后处理饱和即可防止插值引起的边界违反，并改善了离散解与传播轨迹之间的一致性。
(3) 提出的转录是在离散化层公式化的，使其与既定的 SCP 可行性恢复和全局化机制兼容。

本文其余部分组织如下。第 2 节公式化非线性燃料最优着陆问题。第 3 节建立时间域连续凸化公式。第 4 节详细阐述所提出的非振荡 HS 离散化及其解析推导。第 5 节概述连续算法求解过程。第 6 节展示数值结果并与传统离散化方案进行比较。最后，第 7 节得出结论。

章节片段
燃料最优有动力着陆问题公式化
在本节中，将燃料最优有动力下降导引问题公式化为一个最优控制问题，其特征是固定初始时间 t0 和自由终端时间 tf。与 Yang 和 Liu (2020) 提出的基于高度的公式不同，后者采用高度作为自变量以避免预先规定终端时间，本工作保留物理时间作为自变量。这种时间域公式自然地适应单调和非单调

通过变量重定义处理非线性动力学
凸优化要求所有等式约束都是仿射的。遵循凸化和线性化技术（Yang and Liu, 2020），我们首先通过引入归一化推力相关控制将动力学重写为控制仿射形式。具体来说，定义新的控制变量 $u_i = \frac{T i}{m}, i=1,2,3, u_4 = \frac{T(t)^2}{m}$。通过这些定义，平移动力学中的推力项变成 u 的线性项，其余非线性保留在阻力和其他状态相关项中。

Hermite-Simpson 转录
为了离散化式 (27) 中描述的归一化动力学，采用分离的 Hermite-Simpson 转录。时间范围 $\tau \in [0, 1]$ 被划分为 N 个区间，网格点为 $G = \{\tau_i\}_{i=0}^N \subset [0,1]$，其中 $\tau_0 = 0, \tau_N = 1$，且对于 $i = 0, 1, \dots, N-1$, $\tau_i < \tau_{i+1}$。
相应的区间中点定义为 $\bar{G} = \{\bar{\tau}_{i+1} = \tau_i + \frac{h_i}{2}\}, i=0,1,\dots,N-1$，其中 $h_i = \tau_{i+1} - \tau_i$。让我们用 $x_i = x(\tau_i)$ 和 $u_i = u(\tau_i)$ 表示节点 i 处的状态和控制变量，用 $\bar{x}_i = x(\bar{\tau}_i)$ 和 $\bar{u}_i = u(\bar{\tau}_i)$ 表示

连续求解过程
在前两节中，我们详细讨论了如何通过凸化非凸状态和控制约束以及非线性动力学，将具有自由终端时间的原始燃料最优着陆问题转化为连续凸公式，称为问题 P1。随后，使用 Hermite-Simpson 离散化将问题 P1 转录为有限维凸优化问题，称为问题 P2。原始问题是被

数值验证与结果
进行数值模拟以评估所提方法的性能。所有算法均在 MATLAB 中实现，所得的 SCP 子问题通过直接调用 ECOS 求解器求解，不依赖于 CVX 或 YALMIP 等任何第三方建模工具。所有模拟均在一台配备 Intel Core i7-12700 CPU (2.1 GHz)、16 GB DDR4-3200 RAM、运行 Windows 11 和 MATLAB R2017a 的台式计算机上进行。
数值调查包括四个部分。

结论
本文在 SCP 框架内开发了一种用于燃料最优火箭有动力着陆的非振荡 HS 转录。从二次插值的单调性条件解析推导了凸中点约束，以调节插值几何形状并抑制插值引起的振荡。名义场景和非单调高度场景的数值结果表明，所提方法恢复了与 GPOPS-II 一致的燃料最优控制结构

未引用参考文献
Crow et al., 2026, Zhao et al., 2025a, Zhao et al., 2025b.

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能会影响本报告中所述的工作。

致谢
作者衷心感谢 ECOS 和 GPOPS-II 的开发者，他们的软件包促进了本研究中呈现的数值工作。

Jisong Zhao