一种新型的非惯性参考框架物理信息神经网络，用于重构拍动翼旋转流场

《Aerospace Science and Technology》：A Novel Non-Inertial Frame of Physics-Informed Neural Networks for Reconstructing Flapping Wing Rotor Flows

　　• NIF-PINNs 将移动边界流转换为固定的计算域。
• 通过欧拉角参数化在非惯性框架中重新表述纳维-斯托克斯（NS）方程。
• 使用近似的硬约束来精确执行边界控制。
• 仅使用1%的稀疏CFD数据即可重建三维拍动翼旋转器流动。
• 在低至中等雷诺数（Re）下表现稳健，但在高雷诺数下受到湍流的限制。

引言
流体与移动物体之间的相互作用在自然现象和工程系统中都很常见，例如昆虫飞行、微型飞行器中的拍动翼推进以及涡流诱导的振动。准确捕捉这些问题中非定常流场的完整三维结构对于理解流动机制和优化设计至关重要[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。然而，获得高保真度的流场数据面临两个主要挑战：实验测量受到时空分辨率和传感器视野的限制，通常只能提供稀疏或局部的观测数据；同时，高保真度的数值模拟可以生成全场数据，但受到网格离散化和大量数据存储需求的限制，使得在任意时空点进行物理一致的查询变得困难[7,8]。在这种背景下，PINNs（物理信息神经网络）通过将物理方程结合到数据驱动学习中，提供了一种从稀疏数据中重建连续、可微分且物理一致的流场的新方法[9,10]。

然而，当涉及到移动边界问题时，传统的基于物理信息的神经网络PINNs框架面临根本性的困难[[11], [12], [13], [14], [15]]。大多数现有的PINNs方法假设计算域是固定的，并且边界条件也是静态的。当直接应用于流场中的移动物体时，必须在一个惯性参考框架中动态更新边界位置和计算域。这导致偏微分方程（PDEs）残差与边界条件之间存在高度的时空耦合，使得训练过程非常不稳定。更重要的是，对于复杂运动（如大角度拍动、旋转和扭转耦合），边界几何形状会发生显著的时间变化，使得采样策略、损失函数设计和优化过程的协调变得更加困难。虽然之前的研究尝试通过参数化边界或多网络架构来解决这个问题[[16], [17], [18], [19]]，但这些方法主要限于简化的二维模型，并且对复杂的三维运动的通用性有限。参考文献[17,18]通过将二维流场的移动边界问题重新表述为三维固定边界问题，在时空域中解决了不可压缩流中的移动边界问题。这些方法对于二维场景已被证明是有效的；然而，将这种方法扩展到三维复杂流动需要在对移动边界附近进行密集采样以满足边界条件。如表1的注释所述，当应用于三维问题时，这会导致采样点数量大幅增加，从而产生高昂的计算成本，并且难以扩展到三维流动问题，如FWR（ fictional wing rotation，假设的飞行器类型）。同样，参考文献[19,20]提出了一种双网络方法，在流场计算过程中同时训练边界和流场网络。这种方法可以扩展以解决非刚性边界问题。尽管这些方法对于其预期应用来说是创新且有效的，但由于涉及大量参数，双网络训练过程非常耗时，并且在扩展到三维场景时训练成本更高（依赖于高性能GPU）。在计算可扩展性方面，现有的移动边界PINNs范式面临着明显的瓶颈。动态域方法通过在时空域中密集放置配置点来满足边界条件；当从二维扩展到三维时，边界附近的采样点数量会呈体积增长，可能导致计算成本急剧上升。双网络方法依赖于独立边界网络和流场网络的联合训练；随着边界运动复杂性的增加，协调两个网络的优化引入了额外的自由度和超参数调整负担，显著提高了训练成本。相比之下，NIF-PINNs通过非惯性框架变换固定计算域，并采用单网络架构和硬约束边界层，表现出对三维流场的良好适应性。

在移动边界流中，惯性参考框架下的PINNs建模需要在物体移动时不断更新计算域，从而导致复杂的采样策略和不稳定的训练过程。现有的移动边界PINNs方法通常仅适用于简单的运动，如小范围平移或二维振荡，难以处理涉及大角度拍动、旋转或扭转耦合的复杂运动。特别是在三维场景中，几何边界因运动复杂性而变得更加复杂，目前尚不存在一个通用框架能够有效建模这类问题。为了克服这一限制，本研究在附着于物体的非惯性参考框架中表述NS方程，从而为具有任意复杂运动的两维和三维移动边界流提供了一种通用的PINNs解决方案。

本研究提出了一个基于非惯性框架（NIF-PINNs）的通用PINNs框架。NIF-PINNs的核心思想是将整个建模过程（包括纳维-斯托克斯方程、边界条件、观测数据和采样点）转换为附着于移动物体的非惯性框架。在NIF-PINNs框架内，移动边界变得静止，计算域是固定的，从而消除了对动态流场更新的需求。同时，通过显式引入虚拟力项（如阻力加速度和科里奥利力）到控制方程中[21]，保持了严格的物理一致性。该方法不仅避免了惯性框架中边界方程的强耦合冲突，还可以通过刚性约束精确施加无滑移边界条件。更重要的是，NIF-PINNs不依赖于特定的运动形式。它能够自动适应给定流场内移动物体的运动功能，展示了其在二维和三维空间中的平移、旋转及其耦合运动的适用性，只要刚体运动可以用欧拉角参数化描述即可。

为了验证NIF-PINNs在流场重建中的有效性，本研究以三维FWR（ fictional wing rotation）作为研究对象，研究了在不同雷诺数（Re）下复杂拍动、扭转和旋转运动的流场重建[24,25]。该方法不仅为移动边界流的PINNs建模提供了一个新思路，还验证了该方法在中高雷诺数流动中的有效性和数值稳健性，尽管存在数据稀缺的约束。文章的组织结构如下：第2节描述了为三维流场中的移动物体设计的NIF-PINNs架构及其使用的训练策略。第3节介绍了FWR流场，准备了后续NIF-PINNs训练所需的数据集，并展示了在三种不同Re下的NIF-PINNs和计算流体动力学（CFD）结果之间的比较。第4节提出了主要结论。相关的理论证明和验证包含在附录A到附录D中。

**控制方程**
考虑一个在静止的三维不可压缩流体中移动的刚体，其运动姿态由欧拉角θ(t),ψ(t),φ(t)参数化，代表一种典型的三维空间复杂运动。
在惯性框架中，刚体的表面Ωb(t)根据θ(t),ψ(t),φ(t)定义的运动动态演变，其边界需要被训练以满足边界运动速度，如方程(1)所示：
u(x,y,z,t)=Ub(x,y,z,t),?(x,y,z)∈Ωb(t)
其中 u 表示速度。

**问题设置和数据采样**
在这项研究中，选择了一个FWR作为研究对象。针对其在空气中的高频拍动、扭转和旋转的多自由度耦合运动，进行了高保真度的三维非定常流场计算，并构建了PINNs的训练数据集。
FWR的CFD数值模拟由STARCCM+软件完成。FWR的欧拉角如图3(a)所示，该旋转定义为z?y?x方向。

**结论**
使用传统的PINNs来模拟具有移动边界的流场时，经常会遇到许多挑战。为了解决这些问题，我们引入了NIF-PINNs方法，用于非惯性参考框架中的移动边界流场。我们为具有预定欧拉角时间演化的刚体运动推导了非惯性框架中的纳维-斯托克斯方程，开发了一个通用的NIF-PINNs解决方案框架，并展示了其在实际应用中的成功效果。

**数据可用性**
支持本研究发现的数据是可获得的。

**作者贡献声明**
袁远园：资金获取、正式分析、数据管理、概念化。
杨巧瑶：写作——审阅与编辑、初稿撰写、可视化、验证、软件开发。
陈溪：监督、软件开发。
刘海旭：可视化。
文秋秋：监督。