具有粗粒化标量内变量的连续介质中微力平衡的协变起源

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：The covariant origin of microforce balance in continua with coarse-grained scalar internal variables

　　

•标量内变量被识别为依赖于度规的观测量。
•热力学第一定律的空间协变性导出了一个统一的总平衡恒等式。
•经典平衡方程、微应力和微力平衡源自同一结构。
•观测量协变性揭示了标量微力平衡的起源。
•平衡方程与热力学结构建立在三个原理之上。

**引言**

物质点的运动是经典连续介质力学的基本运动学对象，但许多材料的响应无法仅通过位置、速度、变形、应力和热力学场来描述。相成分、损伤、塑性重排、缺陷含量、浓度以及相关的微观结构可能在不受身体任何额外空间运动影响的情况下独立演化，同时仍会影响材料响应。内变量理论通过将状态丰富化，引入了代表底层微观结构粗化信息的标量或张量场，从而为这类过程提供了一种连续介质语言。当能量依赖于这些场及其空间梯度时，相同的描述方法同样适用于界面能量、非局部相互作用和内长度尺度。这一观点构成了相变理论（Landau等人，1937年；Ginzburg和Landau，2009年；Allen和Cahn，1979年）、扩散、相分离以及化学-力学输运理论（Cahn和Hilliard，1958年；Cahn，1961年；Svendsen等人，2018年；Shanthraj等人，2020年；Bartels等人，2021年）、断裂的变分和相场方法（Francfort和Marigo，1998年；Ambrosio和Tortorelli，1990年；Bourdin等人，2000年；Miehe等人，2010年）、梯度塑性和晶体塑性（Aifantis，1992年；Fleck和Hutchinson，1997年；Fleck和Hutchinson，2001年；Gurtin，2002年；Gurtin和Anand，2005年）的理论基础。本文特别关注具有标量内变量及其一阶梯度的连续介质力学，本文不涉及张量值内变量。

经典连续介质力学由质量守恒、线动量和角动量平衡方程以及热力学第一和第二定律组织起来，这些定律构成了构建特定材料本构方程的公理基础（Truesdell和Toupin，1960年；Truesdell和Noll，2004年；Coleman和Noll，1974年；Coleman和Gurtin，1967年）。这些原理将每个可容许运动必须满足的平衡定律与规定特定材料应力、热通量和耗散响应的本构方程区分开来。内变量理论通过添加描述不包含在物质点宏观运动中的微观结构信息的场来扩展这一结构。当内状态在空间上不均匀时，其外微分是记录标量场局部变化的内蕴一形式，是自然的一阶梯度变量。

标量场的时间演化通过其速率进入功率消耗，这引入了一个与该速率共轭的作用量。能量对标量场空间微分的一阶梯度依赖关系还引入了一个与该微分共轭的应力类作用量（Germain，1973年；Mindlin，1963年）。演化定律只有在指定了能量作用量、耗散响应、第二定律施加的限制，以及守恒情况下的通量与源输运平衡方程之后才能确定。尽管这种构造在本构和动力学选择确定后能得到一个封闭的演化方程，但它本身并不能将普遍力学结构与材料依赖的理论部分分离开来。在理性连续介质力学中，这种分离是通过在指定本构形式之前将应力赋予平衡定律中的一个角色来实现的，从而在概念上将作用量平衡与材料的本构行为区分开来。对于内变量连续体，相应的问题在于：与内变量速率及其空间微分速率共轭的作用量能否以同样的方式组织起来，即通过一个在选定本构定律和耗散动力学之前就已确定的局部平衡方程来实现。

古尔丁的微力理论通过将与内变量演化相关的作用量视为满足局部平衡的量来回答这一问题，类似于宏观理论中的应力（Gurtin，1996年）。该理论假设微作用量之间满足局部平衡，从而赋予微应力、内部微力和外部微力供给确定的力学含义。重要的观点是微作用量平衡与特定材料本构定律之间的分离。微力平衡确定了速率共轭作用量之间的局部关系，而本构方程和耗散动力学假设则决定了材料响应。这种分离将Cahn-Hilliard和Ginzburg-Landau/Allen-Cahn型动力学置于一个共同的热力学理论框架中（Gurtin等人，1996年；Gurtin，1996年；Gurtin，2003年）。相同的结构也构成了基于微力的梯度塑性和大变形晶体塑性理论的基础（Gurtin，2002年；Gurtin和Anand，2005年；Gurtin，2008年；Wulfinghoff，2017年），以及断裂的相场和梯度损伤模型（Duda等人，2015年；Duda等人，2018年；Geelen等人，2019年）。相关公式包括非局部颗粒流变学（Henann和Kamrin，2014年）、Cahn-Hilliard型扩散与晶体塑性及Allen-Cahn型相变在耗散固体中的变分耦合（Nagaraja等人，2023年；Nagaraja和Antretter，2024年），以及耦合扩散、相变、变形和断裂的多物理场相场模型（Zhao等人，2026年）。

另一个密切相关的框架基于虚功率原理。在经典连续介质力学中，虚功率恒等式以及刚性虚运动上内部虚功率为零的要求，构成了线动量和角动量平衡及其相关牵引条件的弱积分形式。Germain将此原理重新表述为高阶梯度和微观结构连续体的构造性基础（Germain，1973年；Del Piero，2009年；Epstein和Smelser，2020年）。该构造始于指定容许的虚运动学以及内外作用量的功率消耗，随后对每个物质部分和每个容许的虚场施加这些功率相等。Frémond和Nedjar（Frémond和Nedjar，1993年；Frémond和Nedjar，1996年）将此构造应用于损伤，将损伤速率及其梯度纳入进入内部功率的微观速率中，梯度项代表相邻物质点之间的相互作用，随后Frémond将该方法扩展到相变、形状记忆材料以及非光滑热力学过程（Frémond和Shitikova，2002年）。在梯度塑性中，Gurtin同样利用虚功率原理引入了与滑移速率、塑性应变率及其梯度共轭的微力系统，从而得到了相应的微力平衡方程和微观边界条件（Gurtin，2002年；Gurtin，2003年；Gurtin和Anand，2005年）。

一旦微观运动学及其功率共轭作用量被固定，通过分部积分将虚功率恒等式中的体积贡献和边界贡献分离开来，虚场的任意性则给出了内部局部微力平衡方程和边界上的微牵引条件。反过来，局部关系可以恢复虚功率恒等式，因此在通常的正则性假设下，两种表示在数学上是等价的。局部平衡理论将微作用量的平衡作为初始力学假设。虚功率理论则从容许的微观虚运动学、相应的内外功率泛函以及它们的相等性出发，通过局部化推导出局部平衡结构。

上述讨论表明，局部微力平衡和虚功率原理可以被视为同一底层物理的两种表示。本文通过局部公式考察平衡结构。局部微力平衡通过类比宏观力平衡来引入（Gurtin，1996年；Gurtin，2000年；Gurtin等人，2010年）。这种类比将内变量的演化置于与支配宏观运动的平衡结构相当的框架中，但同时也揭示了本文所解决的中央困难。经典力平衡与物质体的空间运动相关。相比之下，标量内变量通常被引入作为额外的状态描述符，而非物理空间中的运动。因此，这种描述符为何应当拥有自身的平衡定律是不明显的。

标量微力平衡提出了与宏观理论中遇到的不同的公理问题，但后者提供了一个有用的几何洞察。在欧几里得空间中积分形式显得自然且自洽的平衡定律，一旦空间几何被明确化，它们就不是内蕴定义的。特别是，线动量平衡的通常欧几里得积分形式依赖于附着在不同空间点的向量的仿射识别，而角动量平衡则依赖于位置向量、叉积以及绕原点力矩的构造。一般的空间流形不内蕴地携带这种欧几里得结构。热力学第一定律具有不同的几何地位，因为它使两个标量量相等：某部分的能量变化率与该部分获得的功率。因此，它可以作为内蕴能量陈述，其空间协变性产生局部动量平衡，而不需要将线动量和角动量的积分平衡作为独立公理引入。

宏观平衡定律可以从能量平衡的不变性或协变性中恢复的想法已经存在于Green、Rivlin和Naghdi的工作中，后来被Marsden和Hughes给予了几何形式。Green和Rivlin表明，Cauchy运动方程可以从能量平衡在叠加刚性运动下的不变性中获得（Green和Rivlin，1964年）。Marsden和Hughes用环境空间的空间微分同胚取代了刚性观察者变换，从能量平衡的协变性中恢复了经典平衡方程以及Doyle-Ericksen应力关系（Marsden和Hughes，1994年）。Doyle-Ericksen关系最初被引入为非线性弹性中的应力-度规连接（Doyle和Ericksen，1956年），随后通过旋转应力和空间/材料协变性理论在几何和材料形式中得到澄清（Simo和Marsden，1986年；Yavari等人，2006年）。这些结果赋予了协变性一种构造性角色，不仅是作为对方程形式的要求，而是作为能量平衡产生局部平衡定律的机制。这促使我们提出内变量连续体的相应问题：热力学第一定律的空间协变性能否解释标量微力平衡为何属于连续体平衡结构，而不是需要作为额外的公理通过与宏观平衡类比来引入。

内变量的相应问题已从几何和热力学两个方向进行了探索。一条几何研究方向通过赋予每个物质点一个额外的亚结构描述符来扩展体的运动学描述，这些描述符通常取值于一个独立的微观结构状态流形。当微观结构本身携带运动学表示时，该方法效果很好，但它本身并不能解决本文所考虑的标量内变量问题。在这类理论中，能量或功率陈述的协变性可以得出宏观和亚结构平衡（Yavari和Marsden，2009年）。对于类似导数、方向或流形值型的微观结构，这是自然的，因为亚结构本身提供了一个观察者或表示变化可以非平凡地作用的运动学对象。这些理论中标量变量通常不是映射到独立微观结构流形上的位置。如果将它们视为原始标量场，空间观察者变换仅仅重新标记了它们的空间表示。此时没有可用于提取古尔丁型标量平衡的几何机制。

平衡的起源也通过热力学容许性进行了探索。广义Coleman-Noll程序要求Clausius-Duhem不等式在扩大的容许过程类上成立，并可以恢复具有底层能量函数的连续体的平衡定律，例如超弹性材料（Sadik和Yavari，2025年）。困难在于其演化具有真正耗散性的标量内变量。在Cahn-Hilliard、Ginzburg-Landau及相关相场模型中，内变量不仅仅是一个额外的状态参数，其速率无法在Coleman-Noll分离中自由变化。其速率属于理论耗散结构的一部分，而非任意过程变化类。如果将该速率视为任意的，耗散不等式将迫使相关的热力学驱动力为零，从而抑制了理论旨在描述的耗散演化。如果改为规定一个耗散机制，Coleman-Noll分离便无法仅从耗散不等式中提取微力平衡。

因此，容许过程途径本身无法确定耗散内部变量理论中标量微力平衡的起源。马里亚诺的工作比此处所考虑的标量情形更接近问题的核心，他通过基于微分同胚的观察者变换下对热力学第二定律施加的协变要求，推导出了古尔丁的微力平衡（Mariano, 2024）。这表明，标量微力平衡不必以古尔丁最初的形式作为公理加以假设，而是可以通过对热力学第二定律施加协变要求来恢复。然而，该推导依赖于一个对变换后不等式施加的强附加容许公理。当一个观察者书写的inequality被拉回到另一个观察者的表示中时，附加的拉回贡献必须是非正的，并且在刚性观察者变换下消失。因此，微力平衡不再作为独立的平衡公理插入，而是通过对变换后第二定律不等式施加一个非平凡的协变要求来恢复的。其局限并不在于结果本身，而在于为其指定的起源，因为该平衡仍然与对该变换后不等式的容许条件绑定在一起。

格林-里夫林-纳格迪和马森-休斯的协变传统暗示了一种不同的公理体系组织方式。平衡定律最自然地与精确的能量和功率陈述相联系，在这种联系中，功率共轭作用是在施加本构或运动学约束之前就已被识别的。热力学第一定律恰恰具有这种特征，因为它将每一部分的总能量变化率与该部分所获得的功率相等。热力学第二定律则扮演着不同的角色，它在相关功率消耗和平衡关系被指定之后，限制可容许的本构行为和耗散机制。这种分离对于内部变量理论至关重要，在这些理论中，标量场的变化率承载着耗散性的微观结构动力学。在此类理论中，耗散不等式应当约束与内部变量变化率相关的耗散动力学，而不是作为强加微力平衡的来源。

这促使我们为此处所考虑的标量一阶梯度类，寻求微力平衡在热力学第一定律空间协变性中的协变起源。这将平衡关系与功率共轭性绑定在一起，而耗散不等式则保留其在本构行为和耗散动力学中的经典角色。它还提出了一个问题：标量微力平衡是否属于与质量平衡、线动量和角动量平衡以及多伊尔-埃里克森关系相同的那种协变-平衡对应关系，后者来源于热力学第一定律的观察者协变性。

核心要点是，一个粗粒化的标量内部变量只有在经过观测过程将微观信息转换为连续体表示后，才表现为标量值的连续体场。这个观测过程是依赖于度量的，因为对微观信息进行分辨的有限邻域的大小、形状、体积加权方式以及邻近性概念都由空间度量决定。因此，所得到的标量表示继承了度量依赖性，即使经过粗粒化后得到的连续体场是标量值的。如果忽略这种观测起源并将该变量视为普通标量场，则空间观察者变换仅仅重新标记其空间表示，不会产生独立的几何变分，从而无法从中导出微力平衡。

因此，空间观察者变换不仅影响运动、应力、体积和面积测度的表示，还影响粗粒化过程的度量参数以及同一个微观状态被读取为连续体内部状态的观测窗口。热力学第一定律的空间协变性必须包含这种由粗粒化内部表示的诱导变化，连同宏观场和几何测度的常规观察者变换。因此，标量场通过定义它的观测过程的度量依赖性进入热力学第一定律的协变性。

在包含这种度量依赖的观测之后，热力学第一定律的空间协变性产生一个主恒等式。该恒等式包含一个与定义粗粒化标量状态的度量依赖观测过程相关的协变分量。对于此处所考虑的非退化粗粒化标量变量，该分量分离为一个一阶梯度关系，用于识别微应力，以及一个标量关系，给出局域微力平衡。同一恒等式也包含经典的协变分量。对观察者速度的二次依赖产生质量平衡，平动协变性产生线动量平衡，转动协变性产生角动量平衡，度量变化部分产生多伊尔-埃里克森关系。

因此，微力平衡并非作为独立的平衡公设附加到宏观理论中。在本类连续体中，度量依赖的粗粒化观测进入了空间观察者之间第一定律的比较，空间协变性产生了一个包含经典贡献和观测诱导贡献的主恒等式。在局域化之后，局域非退化条件允许将观测诱导响应分离出来，从中得出微应力的识别和局域微力平衡。热力学第二定律仍然是一个独立原理，限制本构响应和耗散动力学，而非提供这些平衡关系。相应地，对于非守恒的标量内部变量，此处所考虑的平衡和热力学原理的组织由热力学第一定律、第一定律的空间协变性以及热力学第二定律组成。当标量变量代表守恒含量时，还必须额外提供一个组分平衡。因此，本协变推导为具有一阶梯度粗粒化标量内部变量的连续体提供了一个紧凑且几何统一的平衡定律和热力学原理的组织方式。

论文结构如下。第2节建立几何框架，引入粗粒化标量状态的空间和物质一阶梯度表示，并陈述热力学第一定律。第3节阐述空间观察者变换和度量依赖的粗粒化过程。第4节推导主协变恒等式，获得经典平衡，并利用局域非退化条件分离出多伊尔-埃里克森关系、微应力识别和标量微力平衡。随后将协变构造推广到非弹性连续体。第5节将该理论具体化为金兹堡-朗道模型、坎恩-希尔亚德模型以及标量梯度有限塑性模型。第6节讨论物理意义、适用范围以及与现有表述的关系，第7节总结主要结论。

**几何与热力学第一定律**

理论在光滑定向黎曼流形上表述，使热力学第一定律不依赖于辅助的欧氏结构。运动将物质体映射到物理空间，物理空间的度量决定了与每个当前部分相关的体积和面积测度、单位法向、张量配对、通量和功率消耗。我们首先建立这一几何框架和全文使用的运动学约定。标量内部变量随后

**空间观察者变换与度量依赖的粗粒化**

到目前为止，热力学第一定律以当前空间表示书写，其中体积、面积、法向、变化率和功率消耗由空间度量 g 度量。在该表示中，粗粒化内部变量表现为一个空间标量场 c。其本构一阶梯度状态可以选择为空间一阶喷流 (c, p)，其中 p = dc，或物质一阶喷流 (C, P)，其中 C = c°φt 且 P = dC。空间协变性要求比较

**热力学第一定律的空间协变性**

协变原理的经典表述体现在广义相对论中，基本定律的表述独立于用于表示时空的坐标（Einstein, 1916）。在连续介质力学中，对应的要求是空间的。在观察者变换下，运动、空间度量以及进入能量和功率的场被替换为其变换后的代表元，而能量平衡保持其不变形式，继续描述

**代表性内部变量模型**

我们现在将一般的协变结构具体化到具有内部变量的代表性连续介质模型中。金兹堡-朗道模型和坎恩-希尔亚德模型分别提供了非守恒和守恒标量内部变量的重要实例，而有限塑性则提供了一个互补的设置，其中标量内部变量通过 Fa 与一种非弹性变形耦合。这些例子的目的是表明，在标准本构假设下，微力

**讨论**

该推导为此处所考虑的柯西型一阶梯度连续体确定了局域微力平衡的协变几何起源，其中标量内部变量由具有局域非退化观测响应的度量依赖粗粒化过程产生。在具有内部变量的标准连续介质力学中，该平衡通常作为微观作用的公理引入（Gurtin, 1996）。此类公理赋予

**结论**

对于此处所考虑的具有非退化、度量依赖粗粒化标量内部变量的柯西型一阶梯度连续体，热力学第一定律的空间协变性提供了局域微力平衡的协变起源。标量场不是原始的连续体变量，而是通过度量依赖的空间观测过程对底层微观或介观信息的连续体读取。因此，空间观察者变换不仅作用于

**CRediT 作者贡献声明**

赵晨龙：撰写——原稿，可视化，方法学，调查研究，形式分析，概念化。刘贵森：撰写——审阅与编辑，监督，资金获取，概念化。沈遥：撰写——审阅与编辑，监督，资金获取，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

**致谢**

作者 gratefully 感谢国家自然科学基金（批准号：12475279、52501170、U254120283 和 52071210）、重点实验室基金项目（编号：2024CXPTGFJJ06402）、苏州实验室开放研究基金（编号：SZLAB-1108-2024-ZD004）、上海市科学技术委员会（批准号：24TS1403100）以及青海大学盐湖化工研究综合体开放项目（编号：2024-DXSSKF-Z01）的财政支持。

赵晨龙 | 刘贵森 | 沈遥