一种新的维格纳分布：关于陀螺变换及其应用

《Optik》：A novel wigner distribution for the gyrator transform with applications

　　

**摘要**

本文介绍了一种新颖的回旋器Wigner分布（GWD），并严格研究了其基本性质，包括边缘性质、平移性质、共轭对称性质以及共轭协变性质。此外，本文还建立了与回旋器Wigner分布相关的Moyal恒等式、反演公式和卷积定理。最后，通过将所提出的分布应用于一个适当设计的二维高斯窗口加窗线性啁啾类信号，并通过数值模拟分析了单分量和双分量信号两个方面，验证了该分布的有效性。数值模拟清晰地表明，由于其依赖特定参数的特性，与传统Wigner分布相比，所提出的回旋器框架在处理单分量及双分量二维信号时，表现出卓越的目标检测、能量定位估计以及受控变形能力。

**引言**

回旋器变换（GT）属于二维线性规范变换的一个特殊子类，与扭曲相空间中的辛旋转相关联。它可以被视为二维傅里叶变换（FT）和分数阶傅里叶变换（FrFT）的一种强有力推广，其核由二次相位双曲因子和平面波因子组成，这些因子在混合位置-空间频率平面中引起旋转。该变换最初由Simon于2000年以"交叉回旋器"变换的名称提出，并建立了其若干基本结构性质。随后，Rodrigo对GT进行了严格的数学分析，并评估了其对重要函数类（包括高斯函数和Dirac delta函数等）的作用。凭借其几何解释和不可分离的相空间结构，GT在图像处理、量子力学、滤波器设计、生物医学成像和信号分析等领域找到了广泛的应用。此外，尽管基于FT和FrFT的方法都可以数值实现和光学实现，但GT的光学实现具有独特的实际优势：当回旋角变化时，输入平面与输出平面之间的距离可以保持不变。因此，与FT相比，GT提供了一种可调变换参数和更丰富的二维相空间表示；与FrFT相比，它提供了一种独特的交叉维旋转机制。这些特性使GT成为二维光学信号和图像处理中一个互补且灵活的工具。

在数学上，函数 $f$ 的GT由[13], [16]定义为：

$$\text{GWD}_\theta f(\xi,\eta) = \iint f(x,y) K_\theta(\xi,\eta;x,y) \,dx\,dy$$

其中核 $K_\theta$ 由下式定义：

$$K_\theta(\xi,\eta;x,y) = \frac{1}{2\pi} \exp\left\{\frac{i}{2\pi}\left[(\xi\cos\theta + y\sin\theta - x\cos\theta - \eta\sin\theta)^2 - (\xi\sin\theta - y\cos\theta + x\sin\theta - \eta\cos\theta)^2\right]\right\}$$

其中 $0 \le \theta \le \pi/2$。式(1.1)中给出的回旋器变换的逆变换记为 $\text{GWT}_{-\theta}$，并由下式给出：

$$f(x,y) = \iint \text{GWD}_\theta f(\xi,\eta) K_{-\theta}(\xi,\eta;x,y) \,d\xi\,d\eta$$

尽管时频分析有着悠久而丰富的历史，时频分布理论却经历了大量发展并吸引了可观的研究关注。该方向的基本方法是发展一个时间和频率的联合函数，称为时频分布，以能够同时在时域和频域中描绘信号的功率密度。主要有两类时频表示：一类是二次方法，例如Wigner分布（WD），涵盖各类时频分布；另一类是线性方法，包括Gabor变换、Zak变换和波let分析。

WD最初由Wigner在量子力学背景下引入，用于分析波函数的相空间表示。后来在1948年，Ville发展了WD的谐波分析形式并将其应用于信号处理。WD的构造是通过将一个信号 $f$ 的正向移位版本与其复共轭 $f^*$ 的对称反向移位版本重叠，产生所谓的瞬时自相关（IC），记为：

$$\text{IC}_f(t,s) = f\left(\frac{t+s}{2}\right) f^*\left(\frac{t-s}{2}\right)$$

其中 $f$ 表示任何有限能信号。

由于其内在性质，WD已成为量子力学中最重要的工具之一，并应用于光学、地球物理学、生物医学工程、统计物理学、通信理论、图像和信号处理。在信号处理领域，WD尤其适用于分析非平稳信号的时频特征，特别是啁啾类信号，如线性调频（LFM）信号，这类信号频繁出现在声纳、雷达和现代通信系统中。LFM信号的处理在现代分析中具有重要意义；因此，已开发出各种数学工具和方法进行有效研究。如式(1.3)所示，将IC与FT交织的技术构成了LFM信号处理中基本的时频分析工具之一[1], [8], [10]。

对于有限能信号 $f$，WD记为 $\text{WDF}_f$，由[6]定义为IC的FT，并由下式给出：

$$\text{WDF}_f(\omega,\tau) = \int \text{IC}_f(\tau,t) \exp(-i\omega t) \,dt$$

对于任意两个信号 $f$ 和 $g$，其交叉Wigner分布（CWD）由[6]定义为：

$$\text{CWD}_{f,g}(\omega,\tau) = \int f\left(\tau+\frac{t}{2}, t\right) g^*\left(\tau-\frac{t}{2}, t\right) \exp(-i\omega t) \,dt$$

任意二维信号 $f$ 的WD由下式给出：

$$\text{WDF}_f(\omega_1,\omega_2,\tau_1,\tau_2) = \iint f\left(\tau_1+\frac{x_1}{2},\tau_2+\frac{x_2}{2}\right) f^*\left(\tau_1-\frac{x_1}{2},\tau_2-\frac{x_2}{2}\right) \exp(-i\omega_1 x_1 - i\omega_2 x_2) \,dx_1\,dx_2$$

关于更进一步的讨论和综合分析，请读者参阅[2]。

经典WD为单分量LFM信号提供了完美的定位，但当应用于双分量和多分量信号时，由于WD的二次性质会产生交叉项。这些交叉项给分析带来显著困难，特别是当一个分量的频率速率接近或与其他分量相交时。为缓解经典WD的这些限制并增强具有复杂精细几何结构信号的可读性和可解释性，基本方法是将WD的特性与先进的积分变换相结合，通过将IC与某个积分变换的核交织实现。例如，与FrFT相结合所得到的WD可在[11]及其参考文献中研究。这导致了多个改进版本的开发，包括多项式Wigner-Ville分布[3]、耦合分数阶WD[18]、伪仿射WD[7]以及Cohen核WD[17], [25]。尽管这些变体大幅减少了干扰分量，但它们并非完全摆脱了固有缺陷。为克服这些问题，Zhang等人[24]通过将IC替换为分数阶IC引入了经典WD的缩放变体。

受上述研究的启发，我们利用回旋器变换（GT）在联合空间-频率域中的旋转性质，开发了一种基于GT的Wigner分布公式。在本文中，二维IC与GT相结合，引入了一种新的时频表示，称为回旋器Wigner分布（GWD）。所提出的GWD非常适合分析二维LFM信号，包括单分量、双分量和多分量情况。此外，GWD对具有不可分离或高度复杂几何结构的信号具有更强的适应能力。形式上，对于任意二维信号 $f$，GWD记为 $\text{GWD}_f$，定义为：

$$\text{GWD}_f(\omega_1,\omega_2,\tau_1,\tau_2) = \iint \text{IC}_f\left(\tau_1,\tau_2,x_1,x_2\right) K_\theta(\omega_1,\omega_2;x_1,x_2) \,dx_1\,dx_2$$

**注 1.1** 当 $\theta = 0$ 时，式(1.6)中的GWD退化为交换频率变量的经典WD。具体地，

**注 1.2** 式(1.1)中定义的回旋器核满足以下性质：特别地，当 $\theta=0$ 和 $\theta=\pi/4$ 时，可得相应结果。

在后续章节中，我们将研究新提出的由式(1.6)定义的GWD的理论框架和实际应用。本文结构如下。第2节详细研究其基本性质，包括Moyal恒等式、反演公式及其与短时傅里叶变换和经典Wigner分布等知名积分变换的关系。第3节介绍回旋器卷积算子的概念并推导相应的卷积定理。此外，第4节通过数值模拟展示GWD在分析啁啾类信号中的有效性。最后，第5节总结论文的主要结论并给出评论。

**片段**

**回旋器Wigner分布的基本性质**

在本节中，我们研究由式(1.6)给出的GWD的基本性质。特别地，我们证明了GWD满足边缘性质、对称-共轭性质、共轭-协变性质、时间边缘性质、平移性质和非线性性质等。此外，我们还推导出Moyal恒等式及相关的反演公式。我们进一步证明GWD与短时傅里叶变换和Wigner-Ville分布之间存在内在联系。

**性质 2.1**（对称-共轭性质）设 $\text{GWD}_\theta f$ 为 $f$ 的GWD……

**GWD的卷积算子**

卷积运算在光学、图像处理、滤波理论、模式识别以及信号处理的诸多其他领域中发挥着基础性作用。在时频分析框架下，已对卷积信号对应的Wigner分布行为进行了广泛研究。受这些应用的启发，本节的主要目标是引入一种合适的卷积结构并研究卷积信号的表示。

**GWD在线性啁啾类信号中的应用**

本节专注于将式(1.6)定义的GWD应用于啁啾类信号的分析与检测，这些信号在现代时频信号处理中起着基础性作用。为此，我们考虑一个二维高斯窗口加窗线性啁啾信号并推导其对应的GWD表示。然后通过数值实验检验所得到的分布，以突出回旋器参数 $\theta$ 对时频能量结构的影响。我们……

**结论**

我们回顾了经典Wigner分布框架并实现了若干关键目标。首先，我们引入了GWD并分析了其基本性质。其次，我们建立了相应的卷积定理。第三，数值模拟证明了所提出的GWD在检测与估计啁啾类（LFM）信号方面的有效性，这类信号是现代雷达和声纳系统的核心。所提出方法的创新性源于其核的结构，该结构……

**未引用参考文献** [12], [23]

**CRediT作者贡献声明**

Kanailal Mahato：写作——审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、调查研究、数据整理、概念构思。

Shubhanshu Arya：写作——初稿撰写、调查研究、形式化分析、数据整理。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在任何可能对本论文所述工作产生影响的已知竞争财务利益或个人关系。

**致谢**

作者感谢编辑和匿名审稿人提出有益且宝贵的意见，这些意见极大地改进了本文。

Kanailal Mahato | Shubhanshu Arya

印度瓦拉纳西，婆罗多印度大学科学研究所，数学系，邮编 221005