分层介质中波传播的贝塞尔模式叠加形式体系

《Optik》：A bessel-mode superposition formalism for wave propagation in stratified media

　　

研究人员提出了一种贝塞尔模式叠加（Bessel-mode superposition）形式体系，用于对分层介质内部的场演化进行精确且解析的描述。该方法将柱坐标贝塞尔模式展开（cylindrical Bessel-mode expansion）与传递矩阵框架（transfer-matrix framework）相结合，为每一个模式给出了反射、透射及层内模式系数的闭式解析表达式。该框架被应用于多层环境中的高斯光束（Gaussian beam）、贝塞尔光束（Bessel beam）、贝塞尔-高斯光束（Bessel-Gaussian beam）和拉盖尔-高斯光束（Laguerre-Gaussian beam），能够精确捕捉传播效应、界面诱导畸变以及轨道角动量（orbital angular momentum, OAM）的保持。由于广泛的一类柱坐标可分离场均容许贝塞尔模式表示，该方法为在真实分层介质中建模携带轨道角动量的光束提供了一个统一而通用的基础。

在实际光学与电磁系统中，波传播往往发生在非均匀介质中，其中分层结构尤为常见，例如生物组织层、集成光子器件、多层介质膜和分层超材料。携带整数拓扑电荷的光束在基础与应用光学中具有重要作用，其典型特征为方位角相位因子exp(ilφ)，其中l为整数拓扑电荷。然而，这类光束的解析解大多在均匀介质假设下导出。对于分层介质，尤其是需要描述光束在分层结构内部而不是仅仅在出射半无限层中的场演化时，解析建模变得非常困难。现有基于平面波的传递矩阵方法（transfer-matrix method, TMM）可以精确描述多层界面的反射和透射，但当用于涡旋光束时，通常需要额外的谱分解，并且往往只关注多层结构之后的透射场，层内的详细场演化没有得到明确处理。因此，研究人员开展了本研究，旨在建立一种能够在分层介质内部精确解析描述结构化光束传播的理论框架。

研究人员提出了一种贝塞尔模式叠加形式体系，将入射光束表示为离散柱坐标贝塞尔模式的叠加，并结合传递矩阵框架，给出了每个贝塞尔模式在任意层内的前向与后向振幅、反射系数和透射系数的闭式解析表达式。该方法避免了直接求解大型线性方程组，只需矩阵乘法即可逐层计算模态系数，数值上稳定且高效。将该框架应用于高斯光束、贝塞尔光束、贝塞尔-高斯（Bessel-Gaussian, BG）光束和拉盖尔-高斯（Laguerre-Gaussian, LG）光束在多层结构中的传播，结果表明该方法能够准确捕捉传播效应、界面诱导畸变，并保持轨道角动量特性。由于绝大多数柱坐标可分离场都容许贝塞尔模式表示，该形式体系为分层介质中携带OAM光束的建模提供了统一而通用的解析基础。

研究人员采用的主要技术方法包括：（1）将入射场通过Hankel变换得到连续角谱，再离散化为有限维贝塞尔模式叠加；对每个模式的传递矩阵进行累积乘积，得到全局反射与透射系数，进而通过传播矩阵直接由入射场计算任意层内的前向与后向振幅。（2）对高斯光束、BG光束和LG光束分别导出了连续角谱的解析表达式，并在均匀介质中验证了离散谱的收敛性。数值模拟采用五层结构，各层折射率分别为n₀=1，n₁=1.5，n₂=1，n₃=2，n₄=1，界面位于z₁=8 mm，z₂=14 mm，z₃=20 mm，z₄=25 mm，真空波长λ₀=632.8 nm，传播距离为30 mm。

3.1 分层介质中的高斯光束
通过贝塞尔模式展开重建高斯光束，得到的强度分布显示整体轴向衰减与均匀介质情形一致，但在各界面附近出现由前向与后向模式干涉引起的局部空间调制。跨出最后界面后，干涉消失，透射强度恢复平滑单调衰减。这验证了该形式能够自然地从谱表示出发描述光束在分层环境中的演化，同时捕捉衍射驱动和界面诱导效应。

3.2 分层介质中的贝塞尔光束
选取单一零阶贝塞尔模式作为入射场，其横向波数位于谱区间中点。结果显示，界面改变了场的纵向行为，在传播方向产生幅度变化，并在层间造成场的部分重新分布。该例子作为解读一般光束传播的参考情形，表明任意光束可视为这类基本模式的叠加。

3.3 分层介质中的贝塞尔-高斯光束
对零阶（l=0）和一阶（l=1）BG光束进行了模拟。入射场定义为高斯包络调制的贝塞尔核，其连续角谱由解析表达式给出。离散化后的谱精确重现了高斯包络约束下的无衍射核心，且高阶BG光束的相位奇点在轴上形成空心暗核，反射和透射行为得到正确建模。这证明该框架适用于携带OAM的结构化光束。

3.4 分层介质中的拉盖尔-高斯光束
研究人员固定径向指数p=1，分析了方位角指数l=1和l=2的LG光束。通过Hankel变换得到其精确角谱，经离散化后重建的场在传播过程中恢复环形强度剖面；分层结构引起的轴向强度调制归因于界面处的反射与透射模式之间的干涉，但各模式的横向结构沿传播方向仍保持可辨识。这进一步验证了该形式对高阶OAM光束的适用性。

本研究提出的贝塞尔模式叠加形式体系给出了反射、透射和层内系数的显式解析表达式，使得不仅能描述输出区域，还能详细表征整个分层结构内部的场演化。这在实际分层介质中尤为重要，因为内部场演化和界面诱导畸变强烈影响光束行为。与需要矩阵求逆的传统方法相比，本方法只用矩阵乘法，计算简洁且数值稳定。由于普遍存在贝塞尔模式表示，该框架特别适合分析OAM光束。总之，该成果建立了分层环境中结构化光传播的统一解析基础，为分析、物理解释和设计涉及涡旋光束的分层光子学系统提供了有力工具，消除了现有解析方法在层内场精确描述方面的关键限制。结论表明，该方法能够在分层介质中精确描述携带轨道角动量的光束传播行为，并有望应用于遥感、复杂介质成像和集成光子器件等领域。