在具有线性磁化定律的液态磁介质中，作用于载流导线的电动势力

《Journal of Magnetism and Magnetic Materials》：Ponderomotive force acting on a current-carrying wire in a liquid magnetic medium with linear magnetization law

　　• 作用在载流导线上的磁力取决于周围介质的相位。• 如果忽略流体力学，将会错误预测磁性液体介质中的磁力。• 洛伦兹力由载流导线内部的场强H决定。

引言
如果知道三个量中的任意两个，就可以完全确定磁场：场强??、磁化强度??和磁通密度??，它们之间的关系由方程??=??0?(??+??)给出，其中??0=4???×1?0?7 H/m是磁常数。在真空中，向量??和??仅相差一个因子??0，因此具有几乎相同的物理意义。根据定义，??是时间平均的微观场?? [1] ??=????。

材料方程描述了??=???(??)这种依赖性，这表征了材料的磁性能。大多数材料既不是铁磁性的也不是铁磁性的；也就是说，它们的极化相对较小，因为物理实验室中可以获得的施加磁场??0和电场??0的强度与分子和原子内部的强度相比可以忽略不计。由于这种巨大的差异，几乎所有顺磁性和抗磁性材料都遵循线性磁化定律??=??0???，其中??0～1?0?6是磁化率。例如，顺磁性的铝和抗磁性的铜的磁化率分别为16.7×1?0?6和?5.4×1?0?6（国际单位制单位）[2]。因此，表达式（1）可以简化为??=??0????(1+??0)=??0??????，其中??≈1是磁导率。在本文中，我们只考虑时间不变的磁场。有关使用??和??向量描述磁性材料的简要回顾，请参见辅助附录A。

本文的目的是研究浸入液体磁介质（即磁流体）中的抗磁性载流导线（CCW）所受的磁动力。这种配置有助于展示磁性的重要基本原理。磁流体（MF）是由铁磁性或铁磁性材料在非磁性载体液体中形成的稳定胶体悬浮液。在本文的框架下，磁流体可以被视为具有强磁极化的均匀连续液体介质。选择磁流体对于研究至关重要，因为：（i）它提供了一个独特的机会，可以将任意截面、形状和方向的CCW完全包围在磁性非导电介质中，而没有任何气隙；（ii）在较小的场强（高达约5 kA/m）下，磁化定律???(??)是线性的，这使得分析研究变得更加简单；（iii）由于向量??、??和??之间的大小差异不大，并且??在磁流体中的值仅比??大几倍，因此很容易区分和解释每个向量在磁动力中的贡献。除了其基本的科学意义外，这项工作对于应用也非常重要，因为非接触式磁操控是软磁材料最重要的特性之一，它使工程师能够制造出软机器人[3]、[4]、活性乳液[5]、微流控芯片[6]和其他现代设备。这里需要简短说明：本文不研究固定CCW产生的磁场对磁流体的作用力（例如[8]、[9]）。它也不讨论固定CCW附近的磁流体中的自由表面效应，如液柱的弯月形形成或瑞利不稳定性。相反，我们关注的是浸入充满磁流体的静止容器中的自由CCW所受的力。

为了方法论的目的，让我们简要回顾四个关于磁流体的磁静力学问题，这些问题对于理解本文的原始部分（实验及其解释）非常重要。

问题I
考虑在外加磁场??0中存在的N个点磁矩????（??=1…??）以及作用在探针磁矩????上的磁力。每个????在探针磁矩????的位置产生一个局部场????，其塞曼能量为????=???0???????? ????0+??∑??=1,??≠???????? ??，其梯度即为合力????=?????? ??????=??0?(??????)??? ????0+?∑??≠????????? ??=(??????)???，其中的时间平均按照（2）中的方式进行，因此我们根据定义得到了向量??。这个公式出现在所有的大学教科书中，但其适用性非常有限（见下一个问题）。

问题II
作用在整个介观磁偶极子集合??上的开尔文磁动力可以写成N项之和（6）????=??∑??=1????=??0???∑??=1(??????)???0+∑??,??,??≠????0?(??????)??????_____?_____?=0=??0????(????)???0，其中第二项代表内力，根据第三牛顿定律等于零，而??=1?????∑??=1????是介质的磁化强度。对于平衡磁化状态，力密度（7）的形式为????=??0??????。

问题III
作用在浸入磁化磁流体中的非磁性物体????上的磁浮力。早期的研究[10]表明，即使在最简单的情况下（即球形物体），文献中也存在至少五种不同的解决方案，其中一些是不正确的，这一点已通过实验得到证实[11]。这里最常见的错误是使用了通常在大学普通物理课上教授的方法，该方法仅适用于固体磁性材料，即“反物质”方法。这是一种相当聪明的构造，其逻辑推理如下：如果某种具有某种物理性质（例如质量密度????）的介质有一个空腔，那么这个空腔可以解释为原始介质和具有相反性质（负质量密度（?????）的“反物质”的叠加。这种方法错误地应用了正确的公式（9）：如果球体的体积为??，且磁流体的磁化率为+??0，则“反物质”的磁矩为??2?(???0???)，从而导致错误的结论????=???0???0???2??????。正确的公式由Rosensweig[12]给出：????=???0?∮??(∫??0??2?(??′)??????′)???d?????0?∮????2??2???d??=?????1+?????2，其中??是物体表面??的法向量，??是磁流体内部的场强，????=?????是磁化的法向分量。力（10）包含两个项?????1和?????2。第一项?????1是通过积分伯努利方程[13]、[14]描述的磁静水压力得到的，它与??成正比，因此可以称为“体积”力。第二项?????2具有不同的性质；它描述了“磁流体-物体”界面处的磁压力跳变。它是边界效应——即“磁流体-物体”界面处磁化强度??和场强??的不连续性——因此可以称为“表面”力。这种力在磁流体中可以通过实验观察到，但在固体磁性材料中则观察不到。当然，介电液体在电场中也表现出完全相同的“表面”力[15]。

问题IV
有效（平均）场。这个问题对于磁流体中的磁性和作用在导线内部的电子上的洛伦兹力几乎是相同的。问题涉及放置探针物体的容器的形状。对于CCW，测试物体是电子，而容器是导线，其截面可以是圆形、矩形等。对于磁流体，测试物体是探针胶体粒子，而容器是包围这个探针粒子的假想空腔。在这里，我们再次遇到了大学教科书中用来表述基本磁学定律的典型理想化：所有CCW都被表示为所谓的电流元素——无限小的段???d???，其中单位向量d???垂直于导线并且指向电流的方向??。实际上，忽略了导线的厚度和形状，因为所有这些定律都是为真空中非磁性导线制定的，因此在两种不同磁性的介质边界处不会产生磁化场（磁场线的折射）。导线的小厚度意味着作用在导线上的场强??0变化不大。然而，如果将导线放入磁介质中，导线内部和外部的磁场将会不同，这在一个标准的2D示意图[16]（图1）中得到了演示。如果测试物体放置在一个容器中，它将受到一个有效场??????????的作用，该场取决于容器的形状（通过削弱因子??），其范围在[??;??+??]之间，其中??和??分别是没有容器时磁介质内部的场强和磁化强度（见图1）。根据Weiss模型，图1(c)中的有效场等于??+??/3，其中??=1/3适用于球形容器，这似乎是球形粒子的最佳形状。尽管这个从理论上得到证明的解在大学磁学课程中是众所周知的，但它是不正确的：作用在磁流体中的探针胶体粒子上的有效场并不等于（??+??/3），因为这个表达式预测了当??0≥3时磁流体会发生二级相变（自发磁化）。这个预测已被实验驳斥，真实的有效场要复杂得多[17]。

让我们简要总结一下：尽管磁性可以通过麦克斯韦方程完全描述，但几乎所有之前未遇到的磁学问题都可以使用几种基于合理理论假设的方法来解决；然而，正确的解是唯一的，并且可以通过实验得到验证。一旦解决方案被验证并且确认为正确，就可以将其应用于实际中。这种基于一系列案例（“先例”）的科学知识积累在上述四个磁学问题中得到了体现。实际上，这组“磁学前例”与纽曼提出的著名概念“理解就是适应”非常一致，费曼对此进行了推广。下面，我们将演示另一个关于浸入液体磁介质中的CCW所受的洛伦兹磁动力的磁学“先例”。这个问题有一个非直观的结果和解释，与类似的问题（关于固体磁性介质）有很大不同。这个问题在科学和方法论上都有重要的意义。

数值模拟
进行了数值模拟，以证明我们对磁性的直观理解（基于标准的大学课程）得到了模拟的全面支持；然而，两者都没有通过实验验证。由于目标是展示液体磁材料中的一些基本磁学概念，因此建议遵循“越简单越好”的原则，即问题被简化为2D问题。它保留了实验室实验最重要的特征（包括一些...

实验室实验
一个矩形有机玻璃容器（图5）被放置在一个由亥姆霍兹线圈生成的均匀磁场中。使用特斯拉计测量了容器前壁附近的磁场，其测量误差为2％。实验中使用了矩形导电框架。每个框架的下水平部分位于容器的中心。磁场线垂直于框架的平面方向排列。

理论分析和讨论
我们回到数值模拟部分描述的2D问题，并分析水平条带CCW附近的场强??（见图12）。如果条带宽度为??，厚度为??，总电流为????，则电流密度大小为??=????/(?????)。探针条带CCW会产生自己的磁场????（如图12中的红色场线所示），可以通过沿着辅助线C进行线积分来找到该磁场。

作者贡献声明
M.A. Koskov：撰写——原始草稿、可视化、研究、数据整理、概念化。
A.S. Ivanov：撰写——原始草稿、项目管理、方法论、研究、形式分析、概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

致谢
该工作是在国家项目126020916888-9的框架内完成的。作者感谢Pshenichnikov A.F.教授和Lebedev A.V.博士对该工作的有益讨论。

MA. Koskov | A.S. Ivanov