拓扑数据分析在随机流行病学模型中表观分岔检测中的应用

《Mathematical Biosciences》：Use of Topological Data Analysis for the Detection of Phenomenological Bifurcations in Stochastic Epidemiological Models

　　

## 摘要

我们研究了随机房室流行病学模型在不同噪声结构下的现象学（P-）分岔。我们考虑了SIS和SIR模型，其中随机接触率分别采用高斯白噪声、Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪声和对数OU（LogOU）噪声进行建模。为了分析所得的平稳分布，我们采用拓扑数据分析中的同调分岔图，从而无需解析平稳解即可自动检测分布结构的定性变化。我们的结果表明，高斯噪声可以诱发与疾病消除相对应的次峰，而LogOU噪声在所考虑的所有参数范围内保持单峰性。此外，我们观察到，增加噪声强度会降低低基本再生数时的疫情严重程度，但会增加高基本再生数时的疫情严重程度。这些发现表明，拓扑诊断方法为在高斯噪声和非高斯噪声下分析随机流行病学模型提供了一个统一的框架。

## 引言

准确预测传染病传播是应对疫情爆发的宝贵工具，无论是近期的COVID-19大流行，还是梅毒等地方性传染病。自其创立[1]以来，房室模型一直是量化群体中疾病传播的简单而有效的工具[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。

在经典房室模型中，总人口按照疾病状态被划分为互不相交的状态，例如易感者或感染者，个体在各状态之间的进展由传播率或治愈率等参数决定。在许多经典确定性房室模型中，参数被视为群体上的固定平均值；所得模型是一个常微分方程系统，以各个房室中的个体数为状态变量。还存在参数随时间变化的扩展模型，例如接触率的季节性驱动。确定确定性房室模型的平衡点并进行分岔分析，可以得到疾病在群体中持续存在或消除的条件，以及长期中感染者或移除者的数量估计，这是疾病疫情严重程度的衡量指标。

然而，房室模型中的参数会受到源自环境因素、人类行为模式变异以及病原体本身变化的随机波动影响[7]。将模型参数中的随机波动纳入考虑，就产生了随机微分方程（SDE）形式的随机房室模型。与长期行为以平衡点为特征的系统不同，随机系统自然地通过其平稳概率密度函数（PDF）或感染或移除比例的核密度估计（KDE）来描述。这些分布的定性变化被称为现象学（P-）分岔。

在随机房室模型中，最常见的选择是用高斯白噪声扰动波动较大的模型参数，例如接触率[8]、[9]、[10]、[11]、[12]。然而，最近有研究表明白噪声扰动会导致对疾病疫情的系统性低估[13]、[14]。此外，从建模角度来看，白噪声假设时间上完全不相关的波动，因此无法捕捉由人类社会行为引起的持续性接触模式变化，而这些变化可能极大地影响疾病传播。因此，相关Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪声被提议用于生物系统中的参数扰动[15]、[16]、[17]、[18]、[19]，因为OU噪声将随机波动的建模与围绕平衡点的稳定化相结合，这是由于其均值回归特性。最近的研究还表明，接触率中的OU扰动不会导致对疾病疫情严重程度的低估，结果与观察数据保持接近，例如在COVID-19大流行奥密克戎变异株波次中[13]、[14]。

使用白噪声或Ornstein-Uhlenbeck噪声扰动严格正的接触率的主要反对意见是它们可能取负值，因为它们是无界高斯过程。先前在随机肿瘤学领域的工作通过考虑有界噪声来消除随机扰动参数中的这些不需要的负值[20]、[21]；然而，在有界噪声下房室模型中的噪声诱导转变尚未得到广泛研究[22]。对于流行病学中的房室模型，LogOU噪声，即其对数是一个OU过程的噪声，最近也越来越流行用于接触率的扰动[15]、[23]、[24]、[25]、[26]。LogOU噪声之所以是一种有吸引力的选择，是因为其严格为正值[23]、[24]，以及其长分布尾部能够模拟群体中超级传播者的存在[25]、[26]。前述工作的数学结果主要集中在推导LogOU噪声下疾病在群体中消除或持续存在的条件上。在本文中，我们的关注点不同：我们通过确定感染者或移除者的平稳概率密度中的峰的数量和位置，以及它们如何随噪声强度或模型参数的变化而变化，来确定LogOU噪声扰动如何影响疾病疫情的最终规模。因此，我们量化了接触率中噪声对疾病疫情严重程度的影响。

对于非相关高斯白噪声扰动，感染者或移除者的平稳概率密度通过求解相应的Fokker-Planck方程的平稳解来确定[27]。对于相关高斯噪声下的随机系统，已经建立了即使在相关时间较大时也准确的非线性Fokker-Planck方程[28]、[29]；最近，其平稳解被用于确定细菌疾病传播模型中Ornstein-Uhlenbeck噪声下感染者的平稳概率密度[13]、[14]。最近的工作强调了随机性在高斯扰动和非高斯扰动下流行病学动力学中的作用[30]、[31]。然而，系统性地检测不同噪声类型下平稳分布中定性转变的工具仍然有限。

不幸的是，由于现有的Fokker-Planck形式体系仅适用于高斯噪声下的SDE，它不能用于LogOU噪声下的流行病学模型。这与需要目视检查平稳解的困难一起，构成了这些SDE分岔分析的关键挑战。因此，在本文中，我们采用了最近设计的基于SDE直接蒙特卡罗模拟的同调分岔图[32]、[33]。同调分岔图提供了一种强大的拓扑视角，在传统方法力所不及之处擅长检测P-分岔。这些图构建于拓扑学中的立方体持续框架之上，通过量化峰的数量、极限环和高维结构来捕捉PDF的定性形状。通过捕捉概率分布中的此类定性变化，这些图提供了一种鲁棒的、不依赖于噪声的框架，在所有噪声条件下均有效。它们在不需解析表达式的情况下识别分布结构变化的能力使其对复杂的流行病学模型特别有价值，在这些模型中，跨大参数空间的直接目视检查变得不可行。此外，在多模分布中，这些图还提供了关于各模式相对高度的信息，即一个峰与其连接到另一个峰的鞍点之间的高度差。除了同调分岔图，我们还引入了互补的峰追踪图，用于追踪最高似然度的精确位置如何随参数空间变化而变化，而不仅仅是峰的数量。这种可视化方法提供了关于最可能状态如何随系统参数变化而移动和/或漂移的关键定量信息。这些峰追踪图捕捉了系统最可能状态的演化，包括分岔前后的状态。这些图共同提供了对SDE中分岔景观的彻底表征。

在本手稿中，我们探讨了不同类型噪声对随机SIS和SIR模型的影响，并使用这些图在大的参数空间中寻找这些模型中的噪声诱导转变，为不确定性下的疾病传播提供见解。

有必要澄清本工作的范围。我们的目标不是构建完全校准的流行病学模型或复现特定的真实世界数据集，而是研究不同的接触率随机表示如何影响系统的定性行为。SIS和SIR模型在这里作为规范性的测试平台，用于跨噪声类型的受控比较。因此，所提出的框架本质上是方法学的，旨在检测随机系统中的现象学分岔，特别是在解析方法不可用的情况下。将其应用于真实流行病学数据和更复杂的模型是未来工作的自然方向。本工作的贡献不在于引入新的拓扑构造，而在于证明同调分岔图为在高斯和非高斯噪声下分析随机流行病学模型提供了一个统一的、基于模拟的诊断框架。

## 章节概要

### 流行病学中的房室模型

我们考虑两种基本的房室模型，更详细的模型由此推导而来：易感-感染-易感（SIS）模型和易感-感染-移除（SIR）模型。然后我们介绍了本工作中将研究的不同噪声类型，即高斯白噪声、Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪声和对数Ornstein-Uhlenbeck（LogOU）噪声。

### 结果与讨论

我们分析了SIS模型，使用两种重要疾病——淋病和结核病（TB）的参数——以及SIR模型，使用普通流感的参数，搜索SIS模型中i(t)的平稳PDF p0以及SIR模型中r(t)的分岔，使用三种类型的噪声——白噪声、Ornstein-Uhlenbeck（OU）噪声和LogOU噪声。用于各疾病的参数见表1。

### 结论

随机房室模型对于理解群体中疾病消除的机制至关重要。它们对于预测疾病是否会成为地方性流行病也很重要。在本工作中，我们使用了具有随机接触率的房室模型。利用了三类不同的噪声：白噪声、OU噪声和LogOU噪声。我们在各种基本再生数和相对噪声强度下分析了系统，搜索噪声诱导的现象学

## 声明

### 资助
本材料基于美国空军科学研究办公室在编号FA9550-22-1-0007资助下的工作。

### 数据与代码可用性
本工作未收集任何数据。任何使用的合成数据均可通过以下代码模拟：GitHub

### CRediT作者贡献声明

**Sunia Tanweer**：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，正式分析，数据整理。

**Konstantinos Mamis**：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，正式分析，概念化。

**Firas A. Khasawneh**：监督，资源，项目管理，资金获取。

### 利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文章所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。

**Sunia Tanweer | Konstantinos Mamis | Firas A. Khasawneh**

密歇根州立大学机械工程系，美国密歇根州伊斯特兰辛，邮编48824