希尔伯特空间神经算子代数：基于物理约束的自适应算子学习框架

《Electronics》：NOAH: Neural Operator Algebra in Hilbert Space: A New Generation of Deep Learning for PDEs Beyond Neural Operators, with Application to the Navier–Stokes Equations

　　

摘要

我们提出希尔伯特空间中的神经算子代数（NOAH），这是一种学习自适应算子族而非单一固定映射的新框架。其谱实现 F-NOAH 在傅里叶神经算子（FNO）骨干网络上加入了三个物理约束生成器——分别对应平流、扩散和反应——并在每次优化器步进后通过闭式投影精确恢复其定义约束。我们在实践中最为重要的场景下进行测试，即小训练集和短训练预算：在二维纳维-斯托克斯方程（黏度为 10^?2）上使用 500 个初始条件和 50 个训练轮次，训练分辨率为 Δ，并以零样本方式评估至 Δ。基准方法为已发表的傅里叶神经算子。经过十四次独立重复实验，F-NOAH 在所有 280 次配对测量中均取得更低的平均平方误差，汇合后的改进倍数为 倍，且经过 Holm 校正后每个单元格的结果仍然显著。在最佳运行中，误差在 Δ 处下降 倍，在 Δ 处下降 倍，在 Δ 处达到 倍。NOAH 模块在数据和计算资源受限的情况下提供了卓越的修正能力。