概念数学的认知方面

《Cognitive Systems Research》：Cognitive Aspects of Conceptual Mathematics

　　

## 摘要

本文研究了等式外壳（equational shell）的概念，以将对象及其环境纳入考量。研究了适当的方法，作为精化对象的合理嵌入。精化过程确定了各种可能表示之间的联系，从而产生计算变体。案例研究配备了调整后的等式系统，以验证初始应用框架。本文提出并开发了一种基于概念数学的智能系统。为了充分利用符号计算的潜力，应用了组合子理论。交互分阶段进行。在初始状态下，形成了关于语言现实的基本知识表示。这些是组合子理论初始表述的公设，相对于这些公设可以确保一致性。接下来，系统以等式的形式获得提示，该等式根据语言现实的规则构建。随后尝试考虑该提示来重建对现实的表示。实际上，提示被添加到原始的通用知识库中。如果尝试成功，则发生向新知识状态的转变，即生成派生知识库。该过程逐周期循环重复。示例展示了如何从基本的无类型组合子理论生成范畴组合子理论。

## 引言

存在各种认知建模方法。在过去30年中，连接主义和动力系统方法发展了关注机制及其实现的语言、认知和发展模型。在这一框架内，认知功能被视为基于更简单、更低级过程的涌现现象。

计算不仅仅是计算机（硬件）或编程（软件）。也不仅仅是确定数值表达式的结果（计算）或开发工具（应用程序）供他人使用。它是一个多方面但又极其连贯的科学领域，具有跨学科性质，同时保留独特的核心。它的未来承诺与其革命性的过去一样丰富和重要。

本文基于对计算的广泛观点，可以类比为物理学、生物科学和社会科学来理解，尽管最终将论证这远不止是类比，计算值得被承认为与这三个现有伟大科学领域平等的——因此作为第四个伟大科学领域。通过放弃常用的"计算机科学"一词而使用一个相对不熟悉的术语，目标是超越通常的边界和思维方式，以拥抱计算及其研究的每一个最广泛的含义。这成为对计算新的视角的基础，该视角开放且全面，同时又根本上保持一致，并对如何理解计算本身及其在全球科学事业更广泛背景中的作用具有重要影响。

关于计算的知识获取方法包括初步选择一个代表概念数学的元理论。然后，尝试添加各种非逻辑公理。在这样的富化系统中，测试某些计算原则的可行性。

根据H. Curry（1983），研究者的语言用于获取知识，在其中形成关于语言现实的图像。这被称为"U-语言"。

研究者的语言：U-语言。任何研究（包括本研究）的结果都通过语言由一些人传达给另一些人。从一开始就指出这个显而易见的事实是恰当的，为此命名的语言并精确表征其特点。

不可能详尽描述U-语言。我们关于该语言所能说的只是它包含一组我们目前理解的语法规则。这似乎很模糊，但在这一朦胧领域，我们并不比其他任何知识领域更糟。任何科学研究都伴随着相同的不确定性。因此，如果语言实际上比任何其他领域都更接近我们的工作，那么特意指出这种情况就没必要了。我们不声称没有语言就可以思考，因此我们有义务从一开始就对U-语言给予一定关注。但由于我们无法详尽描述它，我们只能描述其某些特征并明确提及容易误解的情况。

U-语言具有以下特征：

A）对于每个特定上下文都是独特的：即使我们谈论几个不同的U-语言，我们仍然只使用其中一个，而该语言将是一个U-语言；我们只会谈论其他的，因此它们都不会是U-语言。

B）它包含正式的术语和其他语言工具——如使用字母表示变量——这些通常被具有适当水平准备的工作的数学家所理解。

C）它不是不可变的，而是永久处于发展过程中；我们可能不时引入新术语和新符号；同样，我们可能同意以新含义使用旧术语或完全放弃它们。

D）虽然U-语言首先必然是相当不清晰的，但通过仔细使用，我们可以达到任何合理程度的精确度——就像我们可以用最新的人手和人心成就来测量长度到百万分之几英寸一样。在测量领域，绝对精确是不可企及的；不应假设使用U-语言就能实现。

现代概念数学的例子包括组合子理论、λ-演算和范畴理论。组合理论（Sch?nfinkel, 1924）通过超组合方法（Peyton Jones, 1987; Wadler, 1987）彻底改变了编程的理解。反过来，λ-演算（Church, 1941; Hindley等, 1972）催生了符号编程语言LISP（McCarthy, 1960），该语言长期成为人工智能系统中的"知识汇编器"。范畴理论（Eilenberg和Mac Lane, 1945）立即被承认为概念数学（Lawvere和Schanuel, 1997）。λ-演算与范畴理论之间的联系，特别是与Scott（1980）的不确定性难题相关的，起到了特殊作用，导致了范畴抽象机（Cousineau等, 1985）和范畴组合逻辑（Curien, 1985）的创建。

如今，知识获取建模问题正找到越来越多的解决方案，属于快速发展的认知系统研究领域。

大量关注语义建模方法和策略，这对在Web环境中使用信息系统尤为重要。逻辑和代数模型的应用出现在表达式求值需要一定时间段的上下文中，变量通常遍历变化的域或范围。这些变化永久发生，原因是超出用户控制的。这样的条件阻碍了经典方法的成功应用，域可变性的整体图景仍然知之甚少。然而，构建域可变性模型仍然备受关注。

本工作利用了组合子理论的基本表述隐含地包含其自身语义这一事实。计算的初始知识生成派生知识，从中提取语义组件。该语义组件用于指定求值映射并固定语义等式的目标集。这些等式可用于表述和解决一系列语义建模问题。

本文提出并开发了一种基于概念数学的智能系统。为了充分利用符号计算的潜力，应用了组合子理论。交互分阶段进行。在初始状态下，形成了关于语言现实的基本知识表示。这些是组合子理论初始表述的公设，相对于这些公设可以确保一致性。接下来，系统以等式的形式获得提示，该等式根据语言现实的规则构建。随后尝试考虑该提示来重建对现实的表示。实际上，提示被添加到原始知识库中。如果尝试成功，则发生向新知识状态的转变，即形成派生知识库。该过程以循环方式发生。给出了一个示例，展示如何从基本的无类型组合子理论生成范畴组合子理论。

我们大多数人一直在努力明确地将这些原则引入教学，而那些坚持下来的人发现，这种对数学统一性和连贯性的明确使用引发了许多具体的过程，通过它们，在教学和研究中无知变为知识。教学、解释和回应对学生新兴探究的需求通常源于"纯"研究所解决的问题的根源。

概念数学仍然有很多可以提供。但它在与"哲学"的关系上取得了独特地位，尽管某些批评和反对意见不断被提出。

已经创造了某些条件以确保概念数学适用于可变域建模。首先，对这类域的可居性进行了分析。如所示，这是通过系统应用计算思维作为方法（Matti Tedre, 2019）来实现的。

## 论文主体

正文由七个部分组成。第1部分是简要介绍。第2部分给出了知识获取的启发性示例。第3部分给出了使用的公设集。本节还包含（高阶）函数理论的适当表述。它基于组合逻辑和所谓的壳层（或概念理论）的相对计算理论。嵌入过程，即方法创建，以微理论或列表处理的个别理论为例说明。

第4部分包含壳层的表述。精化过程主要在本节中涵盖。阐明了应用式和命令式计算模式之间的联系。精化对象被嵌入壳层中。

第5部分包含封套的增强。

精化的简要概述如下。想象由等式集规定的初级和派生对象的固定类。提议是通过调整初始集来定义对象的属性。观察到的效果倾向于使精化对象捕捉更多意义，精化过程沿着不同的计算方法演进。

第6部分对表达式求值进行了一些精化。本节简要勾勒出逻辑语言以支持概念和个体。

第7部分给出了进一步的研究方向。

所有表达式使用的更多细节和符号可在Wolfengagen等（2024b）、Wolfengagen等（2024c）、Wolfengagen等（2024a）中找到。关于范畴信息学的一些考量在Spivak（2014）中提出。

Wolfengagen等（2024d）、Wolfengagen等（2021）、Ismailova等（2022c）、Ismailova等（2022a）中讨论了额外问题。

一般来说，所呈现的一系列问题专注于对象参数化的方法，类似于应用计算技术（Ismailova等, 2022b; Ismailova等, 2023; Wolfengagen等, 2022; Scott, 1970; Scott, 1980; Scott, 1989）所特有的，其角色和位置与教育系统相关联，涉及概念的解释和应用，或者用其他术语说，概念分析。与语义建模相关的思想对应Woods（1975）、Woods（1997）、Brachman（1977）、Carnap（1947），索引基于Bar-Hillel（1954）。

作者对解决认知建模问题的贡献包含在Wolfengagen等（2025）、Wolfengagen等（2024c）、Wolfengagen等（2024a）、Wolfengagen等（2024d）、Ismailova等（2023）、Ismailova等（2022b）、Wolfengagen等（2022）、Wolfengagen等（2021）的工作中。

本文的目标之一是重新审视如何使用应用计算系统来求值表达式的已知思想。计算无疑将成为计算机研究的主导趋势之一，尤其是进行对象推导过程。

## 对象

此处的备注可被视为建议，将"对象"的众多方面分组，从而形成一个通用的计算框架，给出适当的方案。该方案可以作为原始框架，以将求值的重要思想按一定顺序组织起来。

## 表示

应用涉及过于复杂的对象表示，配备了相应的方法。对象的概念推广了关于自包含数据对行为的实验或理论观察。在其他表示中，"数据"是最难理解的。

试图捕捉数据最重要特征的努力导致了各种与所选计算模型相距甚远的数学思想，并形成了一个极其遥远的模型谱系。本文的提议是填补它们之间的空白。

个体。所讨论的领域包含原子的或基本对象。复合的或派生对象通过生成规则从原子对象产生。问题域是对象的一般偶对 D。D 中的对象相对于预设的理论框架是可能的。集合 D 被虚拟对象所扩充：它们是'间接的'，并由计算模型产生。对象的规范化方式导致了对实际对象的区分，这些实际对象产生可能对象的子集。规范化使对象个体化，被规范化的对象是个体对象，即个体。所使用的数学工具将描述给出为'< /><逻辑公式>的唯一<对象>>'。描述演算被嵌入到更高阶理论中。

概念。概念的一般思想通常处理自包含的个体偶对。这些偶对，按照规则，被提及为概念。确实，个体家族捕捉了概念的一般性质的更多含义。即，'家族'预设了某种参数，该参数迫使概念生成其特定的表示。迫使概念生成个体可以通过不同的方式实现。坚实的基础可以由一个逐步'精炼'的纯函数理论给出。这些精炼将通过等式方式完成。

函数理论。该领域的研究人员通常认为函数理论与目标相符。这需要对以下方面做出额外的条件规定：(1) 理论的类型，(2) 其选择性能力，(3) 与其他理论的关系，(4) 发展和应用能力。健全推理的基础由最小数量的函数实体，即对象组成。这些原始对象配备了组合模式以生成复合对象。具有这些属性的理论被称为组合逻辑，原始对象被称为组合子。

组合逻辑。组合子表示函数的基本属性，组合逻辑表示关于任意对象的函数理论。最后一个概念对于生成灵活的数据模型具有重要意义。更进一步：组合逻辑被认为是关于对象本质属性的理论知识和应用知识的可靠集合。它支持：(1) 任意对象的基本表示，(2) 关于对象的计算思想，(3) 语法和语义的完整性。

因此组合逻辑涉及那些同时结合语法和语义属性的实体。计算机科学研究者对此已有所了解，但在几乎任何规模的应用中都未得到广泛使用。有效的数学对象可以被嵌入到组合逻辑中。由于对象的嵌入是组合逻辑内的主要验证过程，因此它已经准备好将任意对象编译为'计算指令'，而这些指令本身就是组合子。

理论计算机科学在精神和性质上是数学和抽象的，但其动机来源于实用和日常计算。其目标是理解计算的本质，并作为理解的结果，提供更有效的方法论。所有引入或研究数学、逻辑和形式概念及方法的领域都被涵盖在内，前提是它们的动机明确来源于计算领域。

它们还包括新的逻辑演算和范畴方法的发展。

抽象性与一般性。现代数学最显著的特征之一是趋向于越来越高的抽象程度。每一个重要的概念包含的不是一个，而是许多不同的对象，然而这些对象共享某种共同属性。一个抽象理论从这个属性推导结论，这些结论随后可以应用于所考虑的任何一个对象。

这些观察迫使研究者建立常规方案，通过具有有用数学属性的对象重建所有重要实体。在应用中，这被称为确定方法。

章节片段

启发性示例

概念数学可以被看作是一种知识获取方法，强调理解某些数学规则和原理背后的合理性，而不是简单地记忆公式或分步算法。

从广义上讲，认知过程是人类获取、处理、存储和使用关于世界信息的心理功能集合。这些机制构成认知的基础，包括感知、注意、记忆、思维、言语和决策。

公理

在组合子理论中，该函数演算下的函数概念是内涵函数概念，这意味着函数被理解为对应规则，当给定一个对象作为参数时，产生另一个对象作为值。这种对应规则通常通过定义来表达。这与外延函数相对，后者由所有参数和关联值的对集合确定。

事实

创建外壳

为了验证基础 Id, quo, S 的有用属性，考虑一个嵌入示例。为了更加严格，在上述公理 (CL) 中添加以下模式：

(α) λx.M = λy.[y/x]M, ? ? M（同构性）；
(β) (λx.M)N = [N/x]M（替换）；
(ξ) M = N → λx.M = λx.N；
(η) λx.Nx = b, x ? M。

（注意 (η) 将 N 确定为概念。）扩展的公理集合将被称为 (CLηξ)。

扩充外壳

初始外壳由 (CL) 描述，带有单一的应用元算子 (· ·)。增强版本 (CLηξ) 配备了额外的抽象元算子 (λ·.·)。此前提取的主要结果是关于将函数概念集合 (Lisp) 嵌入到 (CLηξ) 中。注意 (Lisp) 的属性确定了有限序列 作为有效对象。下一步努力将致力于进一步扩充 (CLηξ)。

等式符号

定理 6.1 应用评估的等式

如果 B = Ψ(ΦId)，那么对于对象 Val, M, N, env，有 ‖MN‖env = (‖M‖env)(‖N‖env)

证明

现在将计算原理应用于组合子。设 Val, M, N, env 是变量。

‖MN‖env = (‖M‖env)(‖N‖env) = Val(MN)env = (Val M env)(Val N env) = BValM N env = ΦId(Val M)(Val N)env = Ψ(ΦId)ValM N env。

从上述等式 BValM N env = Ψ(ΦId)ValM N env 中可以推导出特征等式 (·(·)=)：

B = Ψ(ΦId)（·(·)=）

这个等式被理解为原则'应用评估'的等式符号，其中 V 是……

进一步研究方向

实体分析。在分析复杂实体或现象时，人们通常寻求一种从更简单的实体或现象重建它们的方法，这些简单实体或现象之间可以建立或识别出一种关系——一种稳定的、可重现的连接。使用逻辑-数学手段获得推理结果时的分析方法也采用同样的方法。如所周知，任何构建此类结果的尝试都依赖于公理——公设和推理规则——其中每一个……

结论

在本节中

结论

在本文中，我们研究了一些概念数学的认知方面。

1. 出发点是被包裹在无类型组合子理论中的通用知识。该理论被观察为一种概念数学。另一方面，这为研究数学对象、其行为及其相互关系提供了一致的框架。

2. 我们观察到对象在其可转换性下的多变性。为了固定这一二元关系，一个有效的集……

CRediT 作者贡献声明

Viacheslav Wolfengagen：方法论，概念化。Larisa Ismailova：形式分析。Sergey Kosikov：形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们不存在可能影响本文报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

Viacheslav Wolfengagen | Larisa Ismailova | Sergey Kosikov