基于自由形式变形的物理信息神经网络框架用于混合边界条件下薄板挠度预测

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：A physics-informed neural networks framework based on free-form deformation for predicting thin-plate deflection with mixed boundary conditions

　　

- PINNs 能够针对混合边界条件下的薄板实现收敛。
- FFD 矩阵用于表征不规则薄板，设计了两类挠度预测 PINNs。
- 边界耦合偏差网络可校正曲率变化引起的板挠度误差。
- 该模型在保持相当精度的同时，将计算速度提升了十倍。

引言

薄板是工程中广泛使用的结构构件，其力学性能直接决定了设备的可靠性、轻量化水平和成本。薄板构件的力学失效往往与过大的挠度或挠度引起的应力集中直接相关。因此，对薄板构件进行有效的力学分析和挠度预测至关重要。

经典薄板力学分析通常基于 Kirchhoff–Love 板理论（Kirchhoff, 1850；Love, 1887）。该理论将薄板弯曲问题转化为数学上的边值问题，通过直接求解偏微分方程（PDE）获得精确解。这些方法包括分离变量法（Grigorenko 和 Tsybul'nik, 2005）、Fourier 级数法（Sun 和 Yang, 1998）以及插值法（Duchon, 1976）等。尽管解析方法能够保证求解精度，但它们仅适用于边界条件和几何形状非常简单的薄板。对于工程中常见的复杂几何形状或混合边界条件，解析方法几乎完全失效。除解析方法外，一些研究人员使用有限元方法（FEM）来求解薄板弯曲问题。Liu 和 Hu（1997）提出使用 FEM 模拟复杂形状钣金零件的变形，通过将工程结构模型与统计分析相结合来预测装配变形。Gan 和 Wagoner（2004）提出了一种冲压回弹的模具设计方法。该方法基于 FEM 并考虑零件回弹，可用于生产预期的最终零件几何形状。Thipprakmas 和 Phanitwong（2011）使用 Taguchi 方法结合 FEM 设计 V 形弯曲过程中的回弹和挠度工艺参数，实现了零件弯曲角度的最优设计。Fu 等（2013）提出了一种分析并数值模拟钣金三辊弯曲成型的方法。该方法可应用于大面积钣金三辊弯曲。Zhang 等（2011）研究了飞机薄壁金属构件铆接过程的建模与仿真，用于变形分析，以实现更准确的结果。综上所述，FEM 可用于分析形状相对复杂的薄板。然而，FEM 计算依赖于网格生成。由于薄壁结构的高纵横比，FEM 网格生成需要大量时间。此外，零件设计或迭代等任务往往需要反复重新生成网格，这使得难以保持计算效率。

近年来，随着优化算法的进步和深度学习理论的成熟，人工智能技术越来越多地应用于工业领域（Gupta 等, 2023）。Aguado 等（2023）使用机器学习技术预测膜接触器中氨的浓度，以实现氮作为有价值资源的回收。Mathur 等（2023）探讨了 Cu-水纳米流体通过微通道时 Poiseuille 流动中的熵。Le 等（2024）使用深度强化学习完成了基于 polyiamonds 的可重构机器人的覆盖规划。此外，Mathur 等（2025a）还使用元启发式优化研究了机器学习和深度学习架构的综合框架，用于高保真预测纳米流体的比热容，并提出了一种结合数据增强和元启发式优化算法的计算智能框架（Mathur 等, 2025b）。Jiang 和 Han（2026）提出了一种强化学习增强的多群粒子群优化算法，用于优先级驱动的无人机灾难覆盖路径规划。Li 等（2026）提出了一种混合条件生成对抗网络，用于高维飞行器气动隐身形状优化。特别是，在自动微分技术（Fournier 等, 2012；Hascoet 和 Pascual, 2013；Paszke 等, 2019；Rumelhart 等, 1986；Wengert, 1964）和函数逼近理论（Daubechies, 1988；Dutt 和 Rokhlin, 1993；Hornik, 1991；Lewicki 和 Marino, 2003；Schoenberg, 1946）进步的驱动下，人工智能逐渐推动了物理信息神经网络（PINNs）（Raissi 等, 2019）等用于求解 PDE 的技术的发展。PINNs 是一种将物理定律与数据驱动方法相结合的深度学习模型。其核心概念是将物理约束——如运动方程、边界条件和初始条件——直接嵌入神经网络的损失函数中。通过训练，网络的输出不仅拟合观测数据，还严格遵守潜在物理定律（Raissi 等, 2019）。Le-Duc 等（2024）提出了一种分层归一化物理信息神经网络用于求解微分方程。Kapoor 等（2024）提出了一种基于神经微分方程组的梁动力学两阶段泛化方法。Kaewnuratchadasorn 等（2024）研究了用于固体力学物理知识的神经算子求解器。Guo 和 Song（2025）研究了线性弹性断裂力学中的物理信息神经网络。Teloli 等（2025）研究了梁结构模型参数识别的物理信息神经网络框架。该框架将 PINNs 应用于 Euler–Bernoulli 公式的四阶 PDE，以估计梁位移并识别结构参数。Le-Duc 等（2024）研究了分层归一化物理信息神经网络用于求解微分方程，并对几个典型的偏微分方程系统和固体力学常见问题进行了计算和分析。Roy 和 Guha（2023）设计了一种数据驱动、物理约束的深度学习计算框架，用于求解 von Mises 塑性问题。Lanka 和 Liu（2025）提出了一种求解非均匀刚体涉及机械问题的神经网络方法。Xu 等（2023）提出了一种基于迁移学习的 PINNs。这些 PINNs 可以基于有限数量的位移监测点预测各种工程结构上的外部载荷。Calafà 等（2024）提出了一种用于求解二维线性弹性问题的全纯神经网络。Zhang 等（2025）提出了一种有限元集成神经网络框架，用于弹性和弹塑性固体。Xiong 等（2025）提出了一种将物理信息神经网络与有限元方法相结合的深度学习框架。Lanka 和 Liu（2025）提出了一种用于非均匀柱体固体力学问题的新型神经网络方法。Mathur 等（2026）使用物理信息神经网络分析了移动垂直板上反应纳米流体滑移流中的辐射磁流体动力学混合对流。PINNs 技术在固体力学研究中得到了广泛应用。

在某些薄板结构的分析中，PINNs 也找到了一些应用。Zhou 和 Xu（2024）提出了一种基于物理信息神经网络的板结构损伤识别方法。该方法旨在隔离和放大受损薄板弯曲导波场中由损伤引起的局部异常。Li 等（2024）使用物理信息神经网络对双面支撑夹层玻璃进行了静力分析，显著减少了夹层玻璃不确定性评估所需的计算时间。Chen 等（2025）提出了一种两步尺度法物理信息神经网络，用于船体肋骨损伤的无损检测。Ouyang 等（2025）提出了一种基于物理信息神经网络的复杂侧压下玻璃板非线性分析方法。它可以用于实时模拟恶劣天气条件下玻璃的行为。Bastek 和 Kochmann（2023）研究了用于壳体的物理信息神经网络。该网络可以预测任意曲面壳体的小应变响应。Gu 等（2022）提出了一种用于分析二维薄壁结构的物理信息神经网络。该方法用于解决一类薄壁结构问题，包括弹性/压电薄膜和超薄涂层/基底结构。Yan 等（2023）提出了一种基于神经网络的应变梯度法，用于分析纳米板的弯曲行为。该方法使用二阶应变梯度理论推导控制方程，并考虑纳米薄板的尺寸效应。Gao 等（2025）提出了一种结合边界元与物理信息神经网络的高效混合算法。该算法用于求解薄壁结构中的非均匀势问题。然而，这些方法通常不考虑板形状和工况的变化。当薄板呈现不规则形状时，特别是在制造或使用过程中发生变形，此类不规则性往往难以量化。当板的临界区域发生变形或变形本身过大时，通常会导致板在载荷下挠度分布的变化。在 PINNs 训练过程中，薄板形状量化的困难也会导致对不同形状板的预测偏差。此外，薄板构件在使用过程中通常会承受边界载荷。此类工况通常会导致控制薄板的力学方程中不同类型的混合边界条件。在 PINNs 训练过程中，不同类型的边界条件往往使各种损失项难以平衡，最终导致 PINNs 训练无法收敛。

本文的创新贡献主要包括如下方面：

- 提出了一种用于 PINNs 薄板分析的混合边界条件公式。通过将受载边界对其他边界的影响引入损失函数，所提出的公式提高了边界受载薄板问题的收敛性和预测精度。
- 开发了一个不规则形状板（ISP-PINNs）的挠度预测框架。通过 FFD 逆映射将 ISP 描述为 FFD 控制点在 xy 平面内的位移，解决了 ISP 的挠度预测问题。
- 开发了一个不规则形状壳（ISS-PINNs）的挠度预测框架，结合数据驱动的偏差补偿网络，以解决由 FFD 控制点在 z 方向位移引起的板曲率变化导致的挠度预测误差。
- 设计了一种结合边界耦合特征的偏差补偿网络架构。通过将边界类型与点到边界的相对距离耦合，该架构将 ISS-PINNs 的适用性扩展到了多种工况。

本文首先提出了混合边界下的理想矩形板 PINNs（IRP-PINNs）框架。通过在损失项中增强混合边界之间的相互作用，PINNs 能够为规则形状上的边界受载问题收敛。其次，基于自由变形（FFD）方法，薄板的不规则形状以矩阵形式进行了量化和描述。通过将矩阵内的信息与 IRP-PINNs 的预测结果相结合，设计了一个用于不规则形状板（ISP-PINNs）和不规则形状壳（ISS-PINNs）的挠度预测框架。然后，通过将 IRP-PINNs 和 ISS-PINNs 的预测结果与有限元方法（FEM）进行比较，验证了这些预测的精度。最后，进行了实验，评估 ISP-PINNs 和 ISS-PINNs 在真实工况下的预测能力和计算效率。

章节摘要

Kirchhoff–Love 板理论

Kirchhoff–Love 板理论（Kirchhoff, 1850；Love, 1887）是一种用于计算受力和弯矩作用下弹性薄板中应力和挠度的数学模型。它常用于土木工程中以分析结构构件，包括混凝土楼板，以及机械工程中以分析不同材料和工况下受载薄板的挠度。

IRP-PINNs 的数值测试

为了验证第 2.2 节中提出的混合边界条件配置的适当性，本节比较了混合边界条件设置下 IRP-PINNs 的预测结果与有限元计算获得的结果。本文主要关注 IRP-PINNs 的边界条件公式及其扩展到复杂形状薄板的方法。因此，以下设置将用于标准化其他因素的影响：

实验测试

为了验证 FFD 技术在描述薄板变形方面的有效性，并进一步考察训练后模型在真实场景中的性能，本文还对 ISS-PINNs 的预测能力进行了实验研究。

结论

本文基于 FFD 方法描述了薄板的不规则形状。本研究首次探索了 FFD 技术在 PINNs 中的应用。此外，本文考虑了薄板的边界受载情况，提出了一种在混合边界条件下预测板挠度的 PINNs 框架。本研究处理了不规则形状的薄板，从 FFD 的角度将几何形状描述为 xy 方向变形和 z 方向变形。

CRediT 作者贡献声明

李新鹏：原创草稿撰写、可视化、验证、软件、方法学、调查、正式分析、数据整理、概念构思。

周江昊：软件、资源、调查。

孙东柯：审稿与编辑。

张刚：审稿与编辑。

陈罗：撰写 - 审阅与编辑、指导、资源、项目管理、方法论、资金获取、概念构思。
利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本论文中报告的工作。
致谢
本工作得到了国家自然科学基金（项目编号：52375487）和江苏省重点研发计划专项资金（项目编号：BE2023041）的支持。
李新鹏|周江浩|孙东科|张刚|陈罗