区间值模糊推理的量子电路实现

《Engineering Applications of Artificial Intelligence》：Quantum circuit implementation of interval-valued fuzzy reasoning

　　

**摘要**

模糊推理是管理复杂系统中不确定性和不精确性的关键工具。量子计算通过利用量子并行性增强信息处理能力，提供了一个极具前景的范式转变。然而，在量子计算机上实现模糊推理仍然是一个未被充分探索的前沿领域，尤其是对于区间值模糊集而言——它能够比经典模糊集更全面地捕捉不确定性。在本文中，我们通过综合专门设计的量子电路来弥合这一空白，用于区间值模糊推理。我们首先提出了区间值模糊集、连接词和关系的量子电路实现。在此基础上，我们构建了一个完整的区间值模糊推理量子架构。最后，我们展示了在OriginQ量子计算云平台上对区间值模糊推理的实现。

**引言**

区间值模糊集（Zadeh, 1975; Turksen, 1986）是Zadeh模糊集（Zadeh, 1965）的直观扩展。在许多情况下，没有客观的方法来确定模糊集中元素的精确隶属度，这促使了区间值模糊集理论的发展。该理论通过提出一个区间 $[a, b] \subseteq [0,1]$ 来解决这一问题，在该区间内假设实际隶属度落在其中。区间值模糊集理论已成功应用于决策制定、近似推理、模式识别、图像处理等领域。

模糊推理在模糊逻辑中起着至关重要的作用。区间值模糊推理是区间值模糊集理论中的一个热门课题，在学习、控制系统等各个领域都非常流行。因此，研究人员已经对区间值模糊推理的性质和各种应用进行了深入研究。模糊推理中一个重要的推理方案是Zadeh（1975）的合成推理规则（CRI）。CRI的扰动性质已在Ying（1999）和Dai等人（2012）中得到广泛研究。Li和Li（2011）将CRI扩展到了区间值模糊集的情形。Luo和Zhang（2015）以及Luo等人（2016）将完全蕴涵和(1,2,1)型万能三元I算法扩展到区间值模糊集的情形。值得注意的是，区间值模糊集是一种特殊的二型模糊集，Biglarbegian等人（2011）研究了二型模糊逻辑系统的鲁棒性。

随着量子计算的兴起（Shor, 1997; Grover, 1996; Deutsch & Jozsa, 1992; Proos & Zalka, 2003; Dai, 2022; Nielsen & Chuang, 2011），研究人员已将量子计算融入模糊领域。学者们探索了量子门的多种模糊表示（Bertini & Leporini, 2017; Dalla Chiara et al., 2018; Leporini et al., 2020）。研究人员使用量子计算来表示模糊控制算法（Rigatos & Tzafestas, 2002）、聚合操作（Visintin et al., 2013）、模糊异或连接词（ávila et al., 2015）、连续t-范（Freytes et al., 2010）以及假言推理（Dai, 2024）。特别是，研究人员已经探讨了模糊集和系统在量子计算机上的实现。Pourabdollah等人（2022a, 2022b）提出了在量子退火器上实现模糊集及若干算子的方案。Acampora等人（2018）利用量子查找表以表格形式表示模糊规则系统的行为，并通过Grover算法在量子计算机上实现了该方案。Acampora等人（2023, 2024）提出了一种基于预言机的量子模糊推理引擎，并将其应用于粒子加速器控制。

总之，在量子机器上实现模糊推理是该领域的一个自然发展方向。然而值得注意的是，尽管现有研究已探索了模糊推理与量子计算的交叉领域，但仍存在明显的方法论差距。具体来说，Pourabdollah等人（2022a, 2022b）的工作依赖于量子退火器，而电路模型是目前最主流的量子计算范式，这促使我们将研究重点放在量子电路上。此外，Acampora等人（2018, 2023, 2024）的方法采用了本质上的量子推理方法，如基于Grover算法的设计或基于预言机的框架，这些与传统模糊推理方法存在显著差异。相比之下，本文关注的是传统推理方法的量子电路实现。虽然Dai（2026）研究了传统模糊推理的量子电路实现，但此前尚无工作涉及区间值模糊推理的量子电路实现。因此，本文通过综合专门设计的量子电路来填补这一空白，用于区间值模糊推理。

在本文中，我们关注区间值模糊推理的量子电路实现。为了在量子计算机上实现区间值模糊推理，我们对区间值CRI方法进行了修改，以更好地与我们的实现方法相契合。在给出区间值模糊集、区间值模糊连接词和区间值模糊关系的量子电路之后，我们接着综合了修改后的区间值CRI方法的量子电路。区间值模糊推理方法通过一个利用OriginQ量子计算云平台（Origin Quantum, 2025）的案例研究进行了示例说明。

本文其余部分的结构如下。第2节回顾了区间值模糊集、区间值模糊连接词、区间值模糊推理和量子门的相关概念。第3节介绍了包含区间值模糊集、区间值模糊连接词和区间值模糊关系概念的量子电路。基于第3节所引入的方法，第4节给出了实现修改后区间值CRI方法用于区间值模糊推理的量子电路。随后，第5节详细说明了在Origin Quantum平台上对区间值CRI方法的实现。最后，第6节给出了结论。

**基本概念**

本节回顾区间值模糊集、区间值模糊连接词、区间值模糊关系、区间值模糊推理和量子门的概念。

**区间值模糊集的量子表示**

对于任意量子比特 $|\phi\rangle = c_0|0\rangle + c_1|1\rangle$，我们关注与基态 $|1\rangle$ 对应的真概率值 $\mathrm{P}(|\phi\rangle) = |c_1|^2$。

设 $A \in \mathrm{IV}(X)$，通过扩展Mannucci（2006）的工作，我们将每个区间值隶属度 $[\underline{A}(x_i), \overline{A}(x_i)]$ 分配给两个量子比特 $|\phi_i\rangle \otimes |\varphi_i\rangle$，其中：

$$|\phi_i\rangle = \sqrt{1-\underline{A}(x_i)}|0\rangle + \sqrt{\underline{A}(x_i)}|1\rangle$$

$$|\varphi_i\rangle = \sqrt{1-\overline{A}(x_i)}|0\rangle + \sqrt{\overline{A}(x_i)}|1\rangle$$

所需的变换可以通过门 $R_Y(\theta_{i1}) \otimes R_Y(\theta_{i2})$ 来实现。该门由以下矩阵表示：

$$\begin{pmatrix} \cos(\theta_{i1}/2) & -\sin(\theta_{i1}/2) \\ \sin(\theta_{i1}/2) & \cos(\theta_{i1}/2) \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \cos(\theta_{i2}/2) & -\sin(\theta_{i2}/2) \\ \sin(\theta_{i2}/2) & \cos(\theta_{i2}/2) \end{pmatrix}$$

**区间值模糊推理的量子电路**

上一节介绍了区间值模糊集、区间值模糊连接词和区间值模糊关系的量子电路。本节旨在给出区间值模糊推理的量子电路。

设 $A, C \in \mathrm{IV}(X)$ 以及 $B, D \in \mathrm{IV}(Y)$。基于图9，规则 $A \rightarrow B$ 可以表示为区间值模糊关系 $R$。然后利用公式(12)中的修改CRI方法，对于 $y_j \in Y$，结论 $D$ 为：

$$[\underline{D}(y_j), \overline{D}(y_j)] = \bigoplus_{x_i \in X} \left([\underline{C}(x_i), \overline{C}(x_i)] * [\underline{R}(x_i, y_j), \overline{R}(x_i, y_j)]\right) = \bigoplus_{x_i \in X} [\underline{C}(x_i)\underline{R}(x_i, y_j), \overline{C}(x_i)\overline{R}(x_i, y_j)]$$

**数值算例**

在此，我们给出一个区间值模糊推理的示例实现。选择使用公式(5)中的区间t-范和公式(7)中的区间模糊蕴涵的修改区间值CRI方法进行演示。

设规则为 $A \rightarrow B$，其中 $A = [0.7, 0.8]x_1 + [0.5, 0.8]x_2$，$B = [0.3, 0.4]y_1 + [0.7, 0.9]y_2$。

我们使用公式(8)构建区间值模糊关系 $R$：

$$R(x, y) = \begin{pmatrix} [0.7,0.8]\rightarrow[0.3,0.4] & [0.7,0.8]\rightarrow[0.7,0.9] \\ [0.5,0.8]\rightarrow[0.3,0.4] & [0.5,0.8]\rightarrow[0.7,0.9] \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} [0.44, 0.58] & [0.76, 0.93] \\ [0.44, 0.7] & [0.76, 0.95] \end{pmatrix}$$

其中 $\rightarrow$ 表示模糊蕴涵。

**结论**

尽管对区间值模糊推理进行了密集的研究，但目前尚无区间值模糊推理量子实现的相关成果。在本文中，区间值模糊集通过量子态来描述，区间值模糊操作通过量子变换来建模。我们给出了区间值模糊集和区间值模糊操作的量子电路。为了实现区间值模糊推理，我们修改了区间值模糊CRI方法。

**利益冲突声明**

作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

**致谢**

本工作得到了浙江省自然科学基金的资助（项目编号：LMS25A010011）。

Dai Songsong