通过一对耦合超原子实现薄板中的点对点弹性波能量集中

《International Journal of Engineering Science》：Point-to-point elastic-wave energy concentration in thin plates via a pair of coupled meta-atoms

　　

# 摘要

操纵薄板中弹性波能量的空间集中是一个从能量收集到结构健康监测等应用中的基本挑战。现有方法通常依赖于有源换能器阵列或大规模弹性超材料，这限制了其在紧凑的无源系统中的实现。在此，我们提出了一种极简的、无需阵列的策略，仅使用一对无源超原子即可实现点对点的弹性波能量集中。我们在基尔霍夫板理论下建立了一个解析散射模型，并推导出一个闭式增强因子以量化在指定目标位置的局部位移放大。分析表明，能量集中由耦合的单极共振所主导，并表现出明显的距离依赖行为：增强因子随间距的增加先振荡，随后过渡到远场稳定状态。由于弹性波中传播散射通道和倏逝散射通道并存，所提出的机制产生的增强效果远强于其声学类似物。理论预测通过有限元方法（FEM）和实验得到了验证，并且通过在宽带噪声下的弱信号恢复进一步展示了耦合共振机制的潜在影响。这些发现为点对点弹性波能量集中提供了一个经过定量验证的散射理论描述，并为弹性连续体中的紧凑无源波操纵提供了物理洞见。

# 引言

控制能量通量的空间集中长期以来一直是具有重大工程意义的挑战（Lu等，2021；Zhang等，2024）。特别是在连续固体中，弹性波的局域化在多种应用中发挥着关键作用，包括能量收集（Hosseinkhani等，2022；Lee等，2023；Wang等，2026）、无损检测（Yu等，2023；Wang等，2025）和结构健康监测（Kudela等，2018；Luo等，2025）。在无界介质中，弹性波由于几何扩展和材料耗散而不可避免地衰减，这既限制了能量收集效率，也降低了由缺陷引起的弱信号的可检测性。为了在指定目标位置实现弹性波集中，传统策略主要依赖于波聚焦机制。这些方法通常需要密集的有源控制换能器阵列和复杂的信号处理系统（Giurgiutiu，2014；Liu等，2016），从而增加了系统复杂度并限制了其在紧凑或无源波操纵设置中的适用性。

在过去几十年中，声子晶体（PnCs）通过周期性地调制结构或材料特性，已成为弹性波操纵的一个重要平台（Merkel等，2011；Bian和Zhang，2025；Zheng等，2026）。在传统声子晶体中，晶格常数与波长相当，周期性排列的夹杂物之间的多重散射产生布拉格散射及其相关的带隙，在该带隙内波传播被禁止或强烈衰减。这种带结构工程实现了各种波控制功能，包括滤波、导波、聚焦和能量局域化（Krushynska等，2023；Nadejde和Galich，2025）。特别是，可以使用渐变声子晶体来集中弹性波能量，在这种结构中，空间变化的晶胞几何形状产生有效折射率梯度，将入射波弯向指定的聚焦区域（Tol等，2017；Hyun等，2019；Tol等，2019）。然而，这种方法通常需要空间变化的晶胞几何形状，增加了结构和设计复杂度。另一种广泛使用的策略是在周期性的声子晶体中引入缺陷。如图1(a)所示，一种代表性策略依赖于在声子晶体中目标位置故意引入的缺陷（Jo等，2020；Lee等，2020；Geng等，2022），从而产生局域化缺陷模并将弹性波能量集中在缺陷区域周围（Jo等，2022；Lee等，2022）。例如，Park等（2019）设计了一种带有单个缺陷的二维八角形声子晶体，并证明了缺陷附近弹性波能量的二十倍以上增强。然而，由于布拉格散射要求晶格尺度与波长相当，声子晶体的结构尺寸随着工作频率的降低而迅速增大。这种波长尺度要求因此对低频弹性波控制和能量集中构成了实际限制。

超材料由周期排列的亚波长晶胞组成，已成为波操纵的一个重要平台（Smith等，2004；Br?lé等，2014；Zhu等，2014；Zhou等，2019；Russillo和Failla，2025；Zhang等，2025）。在弹性动力学领域，这种周期结构可以被均匀化为具有自然材料中不可获得的特性的有效介质，包括负有效质量密度（Huang等，2009；Chen等，2017）和负模量（Lai等，2011；Liu等，2015）。这些异常的有效特性主要源于亚波长单元的局部共振。在共振附近，单个谐振器可以表现出大的振动幅度，从而将弹性波能量集中在其附近（Li等，2017；Chen等，2019）。然而，在这种构型中，增强后的能量仍然分布在各个谐振器周围，而不是集中在指定位置。为了在指定区域内进一步集中波能量，可以在周期排列的共振超材料中引入缺陷。尽管这种基于缺陷的策略在概念上与声子晶体中使用的相似，但相应带隙的物理起源不同（Lee等，2022）。在传统声子晶体中，缺陷模被引入到由波长尺度周期单元之间多重散射形成的布拉格带隙中，而在局部共振超材料中，周围的带隙源于亚波长单元的共振响应。例如，Deng等（2024）提出了一种穿孔双柱超材料，可以同时实现弯曲波和声波的局域化。与传统的声子晶体相比，局部共振大大降低了低频波操纵所需的特征晶胞尺寸。然而，基于缺陷的超材料方法通常仍然需要扩展的周期性共振单元阵列来建立带隙和缺陷态，导致相当大的结构尺寸并限制了其在紧凑波操纵系统中的实现。

为了降低结构复杂度，超表面（Yu等，2011）最近作为一种通过引入工程化相位不连续性来控制弹性波的紧凑替代方案出现（Zhu和Semperlotti，2016；Liu等，2017；Kim等，2018；Lee等，2018；Cao等，2020；Yang等，2022；Lee等，2024；Shi等，2025）。最近的研究进一步通过局部共振设计将弹性超表面子单元推进到深亚波长范围，实现了对弯曲波反射、透射和吸收的紧凑控制（Zhao等，2022；Zhao等，2023）。特别是，如图1(b)所示，超表面辅助聚焦为在指定位置实现弹性波能量集中提供了一条有效途径（Shen等，2021；Yuan等，2022；Jiang等，2023；Ye等，2024）。然而，每个超表面子单元通常需要施加突变相位或幅度不连续性以满足广义斯涅尔定律（Yu等，2011）或惠更斯-菲涅尔原理（Pfeiffer和Grbic，2013；Su等，2021）。这些要求降低了鲁棒性并阻碍了可制造性。因此，仅使用最少数量的亚波长元素来实现高效的弹性波能量集中仍然是一个未解决的挑战。

在光学和声学系统中，超原子通常指的是亚波长谐振器，可以作为超材料或超表面的基本单元。同时，单个超原子或少数耦合超原子也可以在不依赖扩展周期性结构的情况下产生异常的波操纵效应（Fan等，2011；Fleury等，2014；Lannebère和Silveirinha，2015；Belacel等，2017；Chen等，2024）。从这个意义上说，超原子可以被视为嵌入波场中的"零维"材料，具有微型几何结构和减少耗散的优势。利用一个或少数孤立超原子进行弹性波控制在很大程度上仍然未被探索，因为弹性波拥有比声学或电磁波更丰富的模式特性（Graff，1975；Rose，2014）。特别是，弯曲波由四阶双调和方程支配，并且本质上包含传播分量和倏逝分量（Achenbach，2012），导致比由二阶亥姆霍兹方程描述的情况更为复杂的物理图景。因此，能够捕获这些复杂近场倏逝耦合的散射理论模型在工程力学中是非常 desirable 的。尽管如此，少数开创性的研究已经探索了使用有限数量的亚波长单元进行弹性波操纵。代表性例子包括使用四个亚波长压电陶瓷在瑞利波中实现弹性自旋（Long等，2018；Yuan等，2021），以及在细棒中通过手性激发实现的弯曲波、纵波和扭转波的自旋-动量锁定观测（Zhang等，2024）。然而，这些构型主要作为有源驱动源运行，依赖于精心规定的激发条件，而不是作为通过固有物理机制运行的无源结构。因此，仅使用少数无源超原子能否实现弹性波能量集中仍然是一个开放问题。

本文的目标是仅使用一对无源超原子实现点对点的弹性波能量集中。如图1(c)所示，当两个超原子分别放置在源和目标位置时，其底层物理类似于耦合振子之间的共振能量转移，这一概念最初在电磁系统中被探索（Karalis等，2008；Song等，2017），这里在弹性动力学设定中通过四阶双调和控制方程固有的传播和倏逝弯曲波通道的耦合来体现。与依赖有源换能器阵列、扩展周期结构或基于超表面的波前操纵的传统方法不同，我们开发了一个解析散射模型来表征所提出的点对点弹性波能量集中底层的耦合响应。在该模型中，耦合散射问题在基尔霍夫板理论下通过保留传播和倏逝弯曲波分量来解决，并推导出闭式增强因子以量化目标位置的位移放大。结果表明在单极共振附近有显著的放大，并且增强因子从近场振荡过渡到稳定远场水平。我们进一步证明，在所考察的折射率范围内，弹性动力学系统比其声学对应物（Zhang等，2021）表现出大得多的位移幅度增强。解析预测通过FEM仿真和实验得到了验证。此外，通过实验证明了耦合共振在宽带噪声干扰下对弱信号的恢复。

本文其余部分组织如下：第2节推导了耦合超原子对的散射理论公式，并导出了目标位置的位移幅度增强因子。第3节通过解析和数值结果考察了物理机制和增强特性，包括距离效应和基于Foldy近似的简化格林函数公式。第4节展示了实验验证，并展示了宽带噪声下弱目标响应的恢复。第5节进一步研究了共振失谐、向多目标的扩展以及不同传播环境的影响，包括固体障碍物、无序散射体和有限声子晶体屏障。最后，第6节总结了主要发现。

# 点对点弹性波能量集中的解析散射模型

弹性超原子通常表现为嵌入宿主弹性介质中的局域散射体，因此它们的波相互作用可以在散射理论框架内描述（Mow和Pao，1971；Cai和Hambric，2016）。散射理论也为通过离散散射体和共振附着物进行弯曲波操纵提供了强有力的工具（Torrent等，2013；Packo等，2019；Capers，2023）。因此，我们考虑一对弯曲波散射的……

# 物理机制与验证

在第2节解析公式的基础上，本节系统地研究了所提出的点对点弹性波能量集中的物理实现、机制和性能。我们首先将理论参数转化为实用的结构设计。然后研究了超原子对的耦合共振机制和增强特性。我们还将弹性动力学系统与其声学对应物进行比较，并表明该……

# 实验装置

点对点能量集中的实验装置如图11(a)所示。使用数控加工在铝板上加工了一对间距为450 mm的盲孔超原子，如图11(b)所示。基板（1000 mm × 1000 mm × 2 mm）足够薄以满足平面应力条件，该条件在整个实验中保持。此外，为了最小化反射波，板的每条边缘都覆盖了一层蓝丁胶。一个……

# 进一步讨论

基于上述结果，首先研究了共振失谐的影响以及向多目标的扩展。

随后，通过引入固体障碍物、无序散射体以及在带边和带隙区域工作的声子晶体（PnC）屏障，评估了传播环境的影响。结论总之，我们建立了一种最小化的、无需阵列的方法，利用仅一对无源超原子实现薄板中点对点弹性波能量集中。与基于有源换能器阵列、扩展周期介质或基于超表面的波前操控的传统策略不同，所提出的系统仅使用两个亚波长超原子即可在指定目标处实现局域位移增强。基于散射理论的解析模型能够捕捉CRediT作者贡献声明高曦蔡：原创草案撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查研究、形式分析。徐少航：验证、软件。张云浩：可视化、形式分析。李宇峰：可视化、数据整理。沙振东：审阅与编辑。李号彪：审阅与编辑。刘永权：审阅与编辑、监督、概念化。高曦蔡|徐少航|张云浩|李宇峰|沙振东|李号彪|刘永权