基于杆-铰方法的快速剪纸模拟技术

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Rapid kirigami simulation using the bar & hinge approach

　　

剪纸（Kirigami）源自日语中表示“切割”（kiri）和“纸张”（gami）的词汇，是一种设计范式，通过对初始平板的薄片进行精确切割并通常进行折叠，形成复杂、可变换的二维或三维构型。近年来，这一概念已远远扩展到艺术纸艺之外，进入工程和材料科学领域。通过引入定制的切口，平面薄片可以实现大变形、形状变形、可调刚度、拉胀响应、能量吸收能力和可重构性。这些能力催生了柔性电子、软体机器人、可展开结构、轻质架构材料、超材料、建筑立面和生物医学设备等应用。例如，受剪纸启发的板-格点阵结构展现出超轻质但高强度的特性，使其在航空航天和汽车系统中具有应用前景。鉴于这一广泛潜力，剪纸系统的计算模拟器日益必要。然而，剪纸固有的复杂性——如大变形运动学、非线性屈曲、薄片行为以及几何图案与力学之间的耦合——使得任何单一模拟框架都难以同时具备稳健性、通用性和计算效率。因此，设计探索仍然费时费力，剪纸结构的工程优化也受到严重制约。

剪纸结构通常使用带有壳单元的有限元（finite element，FE）模拟进行建模，该方法能提供详细的应力和变形场，但需要在几何设置、计算和后处理方面投入大量精力。尽管壳单元公式具有准确性，但其计算需求高，且容易受到剪切锁定和薄膜锁定等数值问题的影响。随着薄片厚度变小，通常需要额外的稳定化或增强公式来保持精度，而局部不稳定性可能进一步阻碍全局收敛。然而，在许多应用中，主要目标是捕捉整体变形响应，而非细观应力变化。对于此类分析，优先选择一种简化但稳健的建模方法——既能高效追踪剪纸结构的全局变形，又对局部失稳不太敏感。

除有限元分析外，剪纸启发结构的模拟沿着两个互补的方向发展。首先，解析模型（如Zheng等人提出的模型）能够捕捉有效的、单元平均的运动学，以及与面板旋转、铰链弯曲和面板间相互作用相关的力学机制，从而在与实验良好吻合的前提下实现大变形的高效物理预测。类似地，Chen等人基于能量守恒和微元离散建立了理论框架，以表征剪纸启发基板的运动学和机电耦合行为。尽管这些解析方法计算效率高，但它们往往针对特定问题，难以推广到多样化的几何形状和载荷条件，且推导结构性能的闭式关系仍然具有挑战性。

其次，数据驱动的替代模型——包括近期基于生成对抗网络（GAN）的全场预测器——已被开发用于学习从切口图案和载荷条件到变形场和应力场的映射，从而在快速设计迭代和反演分析中实现数量级的加速。Zhang等人进一步提出了一种深度学习框架，以捕捉剪纸几何参数与其力学响应之间的非线性关系。虽然这些模型显著加速了预测并减少了对详尽有限元模拟的依赖，但其性能从根本上受限于训练数据集的可用性和多样性，从而限制了其在特定训练问题域之外的泛化能力。

除计算方法外，剪纸行为还通过系统的实验研究得到了广泛探索。这些研究通常涉及物理样件的制造和受控实验室测试，这不仅验证了理论和数值模型，还揭示了新的力学现象。代表性工作包括3D打印柔性剪纸结构的拉伸表征、机械驱动的3D组装、旋转剪纸系统的研究、非均匀变形剪纸的刚度和失效评估，以及拉胀超材料模型的验证。尽管实验方法提供了最可靠的力学行为表征，但其资源密集，且不适用于大规模或迭代式设计探索。

尽管取得了上述进展，现有的剪纸启发结构模拟方法仍存在显著局限性。有限元分析提供了高保真度和通用性，但其计算要求高，并且在大幅非线性变形下可能遇到收敛困难。相比之下，解析方法和数据驱动方法提供了更高的效率，但往往针对特定问题，在不同几何形状和载荷条件下的稳健性不足。因此，仍然需要一种计算高效、普遍适用、数值稳健且能够准确捕捉剪纸系统全局变形行为的模拟框架。

为满足这一需求，本研究提出了一种基于杆和铰链的剪纸结构模拟框架。该方法将剪纸薄片表示为桁架杆和弯曲铰链的离散系统，而非连续壳单元。这种表示显著减少了自由度的数量，并消除了传统有限元公式中所需的重复应力评估和数值积分，从而形成了一种计算高效的模型。此外，该公式仅依赖于节点坐标和杆的连接关系，并采用简化的力学关系，使得该降阶模型对于复杂的大变形分析具有足够的通用性和稳健性。凭借其通用性和计算效率，所提出的框架可以方便地应用于广泛的剪纸图案，支持参数化研究和设计探索。除了非线性结构分析外，该框架还可用于特征值分析，以表征全局变形模式和刚度。

在过去的十年中，杆-铰框架已被逐步改进，以提高其在模拟折纸启发结构中的准确性和适用性。早期公式将折痕线表示为旋转弹簧，将面板表示为杆单元，从而能够捕捉折叠、弯曲、拉伸和剪切变形。N4B5模型捕捉了对角弯曲，但表现出各向异性的面内行为，后来N5B8模型通过增加节点和杆改善了这一问题，允许沿两条对角线弯曲。后续发展将这些模型扩展到任意多边形面板，并引入了柔顺折痕公式以考虑拉伸和扭转效应。最近，该框架被进一步扩展到模拟曲率折痕折纸，并通过引入节点质量来模拟动态行为。

在此基础上，本研究将杆-铰公式扩展到剪纸系统。离散化采用杆和铰链进行三维分析，采用带有扭转弹簧的杆进行面内建模。杆代表面内变形，铰链捕捉面外弯曲，扭转弹簧提供旋转刚度。该公式在保持计算效率的同时，适应各种几何形状、边界条件和材料属性。该公式的开发旨在捕捉剪纸特有的变形特征，包括大变形、面外屈曲和面内旋转机制。

本文有几个重要贡献，概括如下：提出了一种计算高效、可推广且易于使用的降阶模型，用于基于杆-铰方法的剪纸模拟；完整的MATLAB实现已在开源的GitHub仓库中公开。引入了一种三节点扭转弹簧单元，用于模拟面内剪纸模拟中的旋转阻力，消除了显式旋转自由度，同时保持紧凑且计算高效的公式。将变形行为和力学响应与实验和商业软件的结果进行比较，显示出变形形状和刚度值分别小于5%和10%的差异。与传统有限元方法相比，该方法实现了近十倍的效率提升。通过参数化研究探索性能空间、剪纸蒙皮爬行器的复杂分析以及高效二维超材料分析，展示了该模型的优势和适用性。

本文的其余部分安排如下。第2节提供了使用杆和铰链离散化的剪纸系统的刚度推导。第3节提供了离散化方法、必要的边界条件和非线性分析求解方案。第4节详细介绍了与实验和商业有限元软件的比较结果。第5节通过一些计算密集型问题展示了所提出的杆-铰模型的适用性和优势。第6节介绍了所提出方法的优点和局限性，最后第7节总结了结论和未来工作。

**一、研究背景与问题**

剪纸（Kirigami）是一种通过对薄片进行切割和折叠来构造复杂可变形结构的設計范式。近年来，其在柔性电子、软体机器人、可展开结构、轻质超材料、建筑立面及生物医学器件等领域展现出广阔应用前景。然而，剪纸结构固有的几何非线性、屈曲失稳、薄壳行为以及图案-力学耦合等特征，使得单一模拟框架难以同时保证鲁棒性、通用性与计算效率。传统有限元（FE）方法虽精度高，但其建模及计算成本高昂，且在超薄结构的大变形分析中易遭遇剪切/薄膜锁定及收敛困难。解析模型与数据驱动模型虽效率较高，但往往受限于特定几何与载荷工况，泛化能力不足。因此，亟需一种兼顾计算效率、通用性、数值稳健性且能准确捕捉剪纸系统全局变形行为的仿真框架。

**二、研究目标与主要方法**

研究人员提出一种基于杆-铰（bar and hinge）方法的降阶计算框架，用于快速模拟剪纸结构。该框架将剪纸薄片离散为三类单元：面内杆单元（in-plane bars）、弯曲铰链（bending hinges）与三节点扭转弹簧（three-node torsional spring，3-NTS）。面内杆单元承担轴向及剪切刚度；弯曲铰链用于三维模型，沿相邻三角面片的公共边布置，表征面外弯曲；3-NTS单元用于二维面内模型，放置于相邻四边形单元共用的节点处，提供平面内旋转阻力且无需显式旋转自由度。全局刚度矩阵由各单元贡献叠加而成，避免了引入旋转自由度，与标准矩阵结构分析求解器完全兼容。杆刚度中的缩放因子（F_s=0.85）通过代表性三角面板单轴拉伸与面内剪切校准确定；弯曲铰链刚度中的校准因子（F_B=0.125）通过约15种不同剪纸几何的高保真Abaqus仿真结果迭代标定。非线性分析采用增量-迭代位移控制格式，结合Newton–Raphson框架与自适应步长，并在预处理阶段引入小幅初始几何扰动以触发物理相关的面外屈曲响应。

**三、主要结果**

**3.1 网格尺寸与初始条件的影响**
以半径3 m、中心含单一切口的圆形结构为对象，考察最大单元长度L_max从0.13至0.35的六种网格尺寸。结果表明，随着网格细化，变形形状和力-位移曲线收敛，计算时间始终较低。初始几何扰动通过修改Z坐标、幅值为半径的10^-2倍的特征模态实现，不同模态（如模态1和2）可产生不同屈曲模式，但模型总体能复现预期变形形状。

**3.2 与商业软件Abaqus的对比（胞状剪纸）**
针对四种不同胞元数量和切口曲率的胞状剪纸结构，在20%拉伸应变下比较杆-铰模型与Abaqus壳单元模型。总体开口面积差异小于6%，力-应变曲线趋势一致，杆-铰模型预测的刚度略高。杆-铰模型在节点数和计算时间上均显著减少，在Apple M2芯片计算机上实现了超过一个数量级的计算加速。

**3.3 与实验结果的对比**
单切口圆形结构的实验数据来自文献，在应变0.02下，杆-铰模型准确捕捉了总体曲率和开口形状，力-应变曲线呈三阶段特征（初始线性面内拉伸、面外屈曲、屈曲后刚度突增），实验与模型趋势一致但模型预测的刚度略高。多切口彩虹和蜂窝图案采用Mylar薄片激光切割制备，在Mark-10万能试验机上拉伸至应变0.5。定量比较显示，杆-铰模型与实验在泊松比、最大Z向位移和总开口面积上的差异分别小于4%、4%和5%。

**3.4 非周期与不规则切口图案**
对非相交和相交两类不规则切口图案施加12%拉伸应变，杆-铰模型成功模拟了复杂面外变形，证明其可超越周期性规则图案而适用于任意切口布局。

**四、应用示范**

**4.1 高通量参数化扫描（渗透率探索）**
将微观泊肃叶/立方定律裂隙流动与宏观达西定律耦合，由变形几何直接计算剪纸结构渗透率。采用拉丁超立方采样生成75种不同构型，发现渗透率与切口开口面积近似成三次方关系，表明杆-铰模型可用于高效大规模数据集生成与性能空间探索。

**4.2 剪纸蒙皮爬行器模拟**
将剪纸薄片折叠成三面爬行器主体，在拉伸致动下切口形成不对称凸起“鳍”，产生方向相关的摩擦各向异性。针对三角、圆形和梯形切口图案，采用经验摩擦系数公式（μ_f=μ₀+K_f·h·ρ·S_f）估算了摩擦响应；对单鳍施加左右相反位移产生的反作用力进一步验证了各向异性阻力机制。

**4.3 面内非互易系统模拟**
基于方-菱形剪纸排列（非对称角θ=π/16）的静态非互易超材料，在相同大小水平力分别施加于左右两侧时，输出位移出现差异（u₂₁-u₁₂≠0），且在小力（F<10 N）下即表现出显著非互易性。杆-铰模型的二维公式以较粗离散化获得了与理论预期一致的变形与力学响应。

**4.4 面内可变换剪纸超材料模拟**
对由等边三角形和不等边三角形组成的可拓扑极化超材料，通过扫描扭转角θ分别进行硬边和软边模拟，记录净反作用力。硬边构型在极化区间呈现显著更高的刚度，且每个构型仅需约20秒计算时间，展示了高效参数化研究的可行性。

**五、总结与讨论**

杆-铰模型的优势包括：广泛的通用性、可直接获取刚度矩阵和内力等数据、适用于参数化研究和大变形分析、计算节点显著减少、无需显式旋转自由度、易于理解与实现。其局限性包括：无法精确捕捉局部应力集中和边缘效应；当前仅提供MATLAB代码版本而无封装友好的软件包；剪切刚度相对拉伸和弯曲存在轻微高估；仍存在网格尺寸效应；尚未扩展至损伤与断裂模拟。

研究结论可翻译为：本研究提出了一种基于杆-铰方法的通用且计算高效的降阶模型，用于剪纸结构分析。所提出的公式通过桁架杆、弯曲铰链和扭转弹簧单元准确捕捉了系统的变形与内力。与实验和有限元模拟的比较表明，变形预测误差小于5%，刚度误差小于10%，同时计算成本降低了近一个数量级。最后，通过参数化性能空间探索、剪纸蒙皮爬行器等复杂分析以及面内剪纸启发超材料的模拟，展示了该模型的优势和适用性。未来工作可纳入材料非线性、塑性及率相关效应，与优化及逆设计算法结合，耦合多物理模块，并与机器学习等数据驱动技术融合以进一步提升预测精度和效率。