流体介质中 (3+1) 维非线性演化方程的双线性布克伦德变换的柏芳化与结构方面

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Pfaffianization and structural aspects of bilinear B?cklund transformations for a (3+1)-dimensional nonlinear evolution equation in fluid mediums

　　

摘要本研究引入了一项开创性的调查，针对流体介质中的 (3+1) 维非线性演化方程，这是推进我们理解海洋和海域环境中波传播的必要领域。本研究的创新之处在于在特定条件下建立了 N 阶朗斯基 (Wronskian) 和格拉姆 (Grammian) 解，显著增强了现有的理论框架。此外，应用巴夫化 (Pfaffianization) 程序制定新型非线性演化方程耦合系统代表了该学科的一项显著进步。通过推导该耦合系统的双线性形式，研究利用巴夫恒等式阐明了所涉及的复杂动力学，实现了朗斯基型和格拉姆型巴夫解。论文还包含一个独特的双线性贝克伦德 (B?cklund) 变换，用于 (3+1) 维非线性演化方程。该变换通过朗斯基和格拉姆行列式对其结构组件进行了全面分析。因此，它有助于推导两类不同的解：一类具有数量相等但相位各异的孤子，另一类则引入了比初始类别多出的一个孤子。这些研究增强了理论理解，并促进了进一步探究流体介质中复杂的孤子动力学。

引言近年来，探索非线性问题的复杂性和可能性引起了越来越高的热情 [1]、[2]。研究人员积极参与数学模型的构建，特别侧重于开发非线性方程 [3]。通过研究这些方程，我们可以有效地表征跨越众多科学领域的广泛非线性现象 [4]，包括等离子体物理 [5]、[6]、非线性光学 [6]、凝聚态物理 [7]、流体力学 [5]、[8]、[9]、化学工程 [10]、生物学 [11] 和海洋动力学 [12]、[13]、[14]。由于非线性演化方程 (NLEEs) 能够阐明非线性过程的基本属性，它们对于理解和预测不同科学学科中复杂系统的行为至关重要。在流体力学领域，NLEEs 对于揭示和预测复杂的流体行为（如湍流、涡旋动力学和多相流）至关重要 [15]。NLEEs 因其在实际预测天气模式、最小化车辆阻力和工程高效发动机中的实用性而具有重要意义 [16]。研究人员认为 NLEEs 的可积性是一个值得注意的因素，因为它在确保解析解的存在方面起着至关重要的作用。NLEE 的解析解指的是在特定条件下满足方程的精确解析表达式，无需近似。研究人员通常采用多种科学有效的方法来获得 NLEEs 的解析解，包括广田 (Hirota) 双线性方法 [17]、庞加莱 (Painlevé) 可积性 [14]、[18]、贝克伦德 (B?cklund) 变换 [19]、[20]、逆散射变换方法 [21]、达布 (Darboux) 变换方法 [22] 等。

由 R. Hirota 于 1971 年开发的广田直接法 [17]，是一种适合为广泛 NLEEs 寻找多孤子解的启发式方法。广田双线性形式对于系统地获取各种方程的广泛解至关重要。这些解包括单孤子解、单周期波解、N 孤波、有理呼吸波解、rogue 波解、相互作用解等。通过使用广田双线性形式，多种类型的 N 孤子解可以通过各种指数的多项式 [23]、朗斯基行列式 [24]、[25]、[26]、[27]、格拉姆行列式 [24]、[25]、[26]、巴夫式 (Pfaffians) [24]、[28] 以及其他数学构造来表达。朗斯基技术是构建各种具有广田双线性形式的 NLEEs 的多孤子解的有力工具。最先发现将柯特韦格 - 德韦夫斯 (KdV) 方程的孤子解用朗斯基行列式表达潜力的 Junkichi Satsuma [29]。1983 年，Freeman 和 Nimmo 通过说明卡多姆采夫 - 佩维亚什维利 (KP) 双线性方程可以重新表述为行列式恒等式（已知为普吕克尔 (Plücker) 恒等式），当用朗斯基表达其孤子解时，他们对 KP 双线性方程的理解做出了贡献 [30]。值得注意的是，可积方程由朗斯基结构区分，作为识别解析解（包括有理解、孤子、负孤子、复孤子和相互作用）的有力工具 [31]、[32]。另一种有趣的方法是格拉姆型解，这是 NLEEs 的另一种行列式形式解。Nakamura [33] 首次提出了使用格拉姆预设的直接技术。这两种方法的主要优势在于它们允许通过代入直接评估解。它们的共同特征一直是双线性方程可以表示为行列式恒等式。主要地，朗斯基和格拉姆公式基于行列式的数学恒等式，如普吕克尔关系和雅可比 (Jacobi) 恒等式 [17]。行列式与巴夫式之间的复杂联系确实引人入胜 [17]、[34]。与行列式不同，巴夫式具有独特的性质，即它们的平方等于反对称矩阵的行列式 [34]。虽然有些人可能将巴夫式视为行列式的一个特例，但它们实际上代表了一个更广泛的概念 [17]。必须提到的是，巴夫式是行列式的推广，这一知识使我们可以使用巴夫恒等式来发现 NLEEs 的解析解 [17]。巴夫恒等式涵盖了普吕克尔关系和雅可比恒等式作为特例 [17]。众所周知的巴夫化方法，由 Hirota 和 Ohta 于 1991 年引入 [35]，彻底改变了我们对从孤子方程衍生的耦合系统的理解。这些巴夫化方程通常具有朗斯基型巴夫 [25]、[27] 和格拉姆型巴夫解 [25]、[27]，提供了一种解决复杂问题的有力工具。另一方面，贝克伦德变换能够实现 NLEEs 从一个解到另一个解的转换，从而提供多样化的解形式 [20]、[26]、[30]、[36]、[37]、[38]、[39]。通过使用特定的交换公式，可以构建双线性贝克伦德变换，这有助于推导类孤子解。

在令人着迷的流体力学和等离子体物理领域，我们很兴奋地探索 Akinyemi [40] 新引入的 (2+1) 维 NLEE 模型
??????????+??????????+???(??2)?????+????????????????+??????????=0,
其中 A, a, b, c, d 是任意实常数。该方程表征了在长波和小振幅情况下浅水波的传播。由于庞加莱可积性测试，该模型是可积的，并且在 [40] 中获得了相关 NLEE 的几个解析解。此外，Wazwaz 等人 [2] 将模型扩展为 (3+1) 维 NLEE，即
???????+??????????+???(??2)?????+????????????????+??????????+??????????+??????????+??????????+??????????=0,
其中 α, β, γ 和 δ 是任意实常数。方程 (2) 对于揭示海洋和海域中波传播的复杂动力学具有巨大价值。其应用扩展到等离子体物理、流体力学和相关领域，为进一步的探索和创新提供了有前景的展望。在 [2] 中，Wazwaz 等人证明方程 (2) 成功通过了庞加莱可积性测试，并探索了方程 (2) 的多孤子解和 lump 解。在一篇最近的出版物 [8] 中，Mandal 等人研究了多维贝尔 (Bell) 多项式理论及其与方程 (2) 的广田双线性形式的联系。经过这项研究，他们推导了该模型的一个广田双线性形式和一个双线性贝克伦德变换。此外，他们使用 Cole-Hopf 变换提出了一个拉克斯 (Lax) 对。同样，利用贝尔多项式理论，他们能够计算无限数量的守恒律，并直观地展示了各种解，如呼吸波解、rogue 波、lump 解和组合解。他们的视觉表示还描绘了这些解演化中的裂变和聚变效应。在一项最近的研究 [41] 中，识别了模型方程 (2) 的李对称性，并用于将方程 (2) 转换为常微分方程。使用新辅助方程 (NAE) 方法构造了亮、扭结和暗孤子。该研究还分析了模型的动力学性质，包括分岔、混沌和敏感性方面。

对方程 (2) 进行变换 ??=(6?????)?[ln??]?????，得到广田双线性形式，如 [2] 中所述
(?????????+?????2??+?????4??+?????2??+????????????+????????????+????????????+?????2??)??.?=0,
其中 Dx, Dy, Dz, Dt 是广田 D-算子 [17]，且方程 (2) 的广田双线性形式对应的表达式为
(????????????????)+???(??????????2??)+???(???????????????4??????????????+3??2?????)+???(??????????2??)+???(????????????????)+???(????????????????)+???(????????????????)+???(??????????2??)=0. 我们观察到，对于方程 (2) 描述的模型，解析解，特别是以朗斯基和格拉姆形式表达的 N 孤子解，尚未被探索。这一观察激励我们引入方程 (2) 的充分朗斯基和格拉姆条件，以推导其 N 孤子解。此外，受参考文献 [25]、[27]、[42] 的启发，我们计划巴夫化方程 (2) 以创建一个新颖的 (3+1) 维耦合系统并研究其解，因为这在文献中尚未得到解决。此外，我们打算使用广田双线性方法为方程 (2) 推导一个双线性贝克伦德变换。此外，遵循参考文献 [17]、[30]、[43]、[44] 中提出的方法，我们严格验证了双线性贝克伦德变换的各种类型的孤子解，使用朗斯基和格拉姆技术，这些技术在此背景下尚未被使用。

论文的结构如下。在第 2 节中，我们推导方程 (2) 的 N 阶孤子解。在子节 2.1 中，提出了带有某些约束的充分朗斯基条件，以获得方程 (2) 的朗斯基行列式形式的 N 孤子解。随后，在子节 2.2 中，引入了包含一些约束的充分格拉姆条件，以计算方程 (2) 的格拉姆行列式形式的 N 孤子解。进入第 3 节，对方程 (2) 进行巴夫化以生成一个新的 (3+1) 维耦合系统。该系统的解表示为朗斯基型巴夫（子节 3.1）和格拉姆型巴夫（子节 3.2）。最后，在第 4 节中，通过广田直接法呈现了相关 (3+1) 维 NLE 方程 (2) 的双线性贝克伦德变换。证明在子节 2.1 中提到的某些约束下，使用朗斯基技术各种朗斯基行列式满足贝克伦德变换（子节 4.1），并且在子节 2.2 的约束下，使用格拉姆技术各种格拉姆行列式也满足贝克伦德变换（子节 4.2）。在第 5 节中，我们总结结果并讨论论文的主要发现。

章节片段
朗斯基行列式形式
朗斯基方法一直是寻找双线性微分方程解析解的有效工具。为了有效实施这种方法，我们使用了由 Freeman 和 Nimmo [30]、[45] 提出的简洁符号。
???=W?(??1,??2,?,????)=∣ ∣ ∣ ∣ ∣??(0)1??(1)1???(???1)1??(0)2??(1)2???(???1)2??????(0)????(1)?????(???1)??∣ ∣ ∣ ∣ ∣=(??0,??1,?,?????1,??,?,2,1)=∣0,1,?,???1∣≡∣????1∣,
其中 N 是正整数，∣????1∣代表 N 个连续列 (φ1, φ2, ???, φN)T 及其导数 ????’s 直到 (???1)???? 阶，??(0)??=???? 和 ??(??)??=
巴夫化
在以下章节中，我们引入巴夫化过程 [17]，采用朗斯基型巴夫和格拉姆型巴夫，为方程 (2) 产生一个新的 (3+1) 维耦合双线性系统。

双线性贝克伦德变换的结构
双线性贝克伦德变换提供了一种有效的方法，用于从一个解推导到另一个解的多孤子解。为了为上述 (3+1) 维 NLE 方程 (2) 引入双线性贝克伦德变换，我们假设存在广义双线性方程 (4) 的另一个解 h′。然后
(?????????+?????2??+?????4??+?????2??+????????????+????????????+????????????+?????2??)??′.?′=0
接下来我们引入关键函数
??=[(?????????+?????2??+?????4??+?????2??+????????????+????????????+????????????+?????2??)??′.?′]??2?[(msub
结论
本文对流体动力学中的 (3+1) 维非线性演化方程 (方程 (2)) 提供了全面的分析，强调了其在理解海洋和海域中波传播复杂动力学方面的重要作用。具体而言，它解决了流体动力学中 N 孤子解的存在性。在定理 1 和定理 2 中，我们提出了新颖的充分条件，确保 (3+1) 维非线性演化...

CRediT 作者贡献声明
Sukanya Dutta: 写作 - 原稿，可视化，验证，方法论，形式分析，概念化。
Amiya Das: 写作 - 审阅与编辑，监督，项目管理，资金获取。

利益冲突声明
作者声明他们没有利益冲突。

Sukanya Dutta|Amiya Das
印度卡利阿尼大学数学系，卡利阿尼，741235，印度