带有输入匹配不确定性的大规模非线性时滞系统的输出反馈控制

《European Journal of Control》：Output-feedback control for large-scale nonlinear time-delay systems with input matching uncertainties

　　

# 摘要

本文针对一类具有输入匹配不确定性的大规模不确定非线性时滞系统提出了一种输出反馈控制策略。与现有文献不同的是，所研究的系统以输入匹配不确定性为特征，且其互联关系表现出依赖于不可测量（时滞）状态、控制输入和输入匹配不确定性的非线性增长特性。复杂的互联关系和输入匹配不确定性使得控制问题极具挑战性。为应对这一挑战，我们基于Lyapunov-Krasovskii泛函和动态增益技术，设计了一系列具有多重相关动态增益的输出反馈控制器。这些控制器能够确保原系统状态的全局收敛性和闭环系统状态的全局有界性。通过仿真算例验证了理论结果的有效性。

# 引言

考虑一类具有时滞的大规模不确定非线性系统：

$$\left\{\begin{array}{l} \dot{x}_{i,1}=x_{i,2}+\phi_{i,1}(t,x,x_{t-d(t)},u,u_{t-d(t)},u^*), \\ \qquad \qquad \vdots \\ \dot{x}_{i,n_i-1}=x_{i,n_i}+\phi_{i,n_i-1}(t,x,x_{t-d(t)},u,u_{t-d(t)},u^*), \\ \dot{x}_{i,n_i}=u_i(t-\tau_i)+u_i^*, \\ y_i(t)=x_{i,1}, \quad i\in S, \end{array}\right.$$

其中 $x_i=[x_{i,1},x_{i,2},…,x_{i,n_i}]^T\in\mathbb{R}^{n_i}$，$u_i\in\mathbb{R}$ 和 $y_i\in\mathbb{R}$ 分别为第 $i$ 个子系统的状态变量、控制输入和输出；集合 $S=\{1,2,…,N\}$；$x=[x_1^T,x_2^T,…,x_N^T]^T$，$u=[u_1,u_2,…,u_N]^T$，$u^*=[u_1^*,u_2^*,…,u_N^*]^T$，$x_{t-d(t)}=[x_1^T(t-d_1(t)),x_2^T(t-d_2(t)),…,x_N^T(t-d_N(t))]^T$，$u_{t-d(t)}=[u_1(t-d_1(t)),u_2(t-d_2(t)),…,u_N(t-d_N(t))]^T$；$\tau_i$ 和 $d_i(t)$ 为满足 $0<\tau_i\leq\tilde{\tau}$，$0\leq d_i(t)\leq\tilde{\tau}$ 且 $\dot{d}_i(t)\leq\tilde{d}<1$ 的未知时滞，$\tilde{\tau}$ 和 $\tilde{d}$ 为未知常数；初始条件 $x_i(\varrho)\in\mathcal{C}$，其中 $\varrho\in[-\tilde{\tau},0]$，$\mathcal{C}$ 为 $[-\tilde{\tau},0]$ 上所有连续向量函数的集合。不确定的连续函数 $\phi_{i,j}(\cdot)$，$i\in S$，$j=1,…,n_i-1$，表示第 $i$ 个子系统与其余子系统之间的非线性互连项。这些函数关于 $(x,x_{t-d(t)},u,u_{t-d(t)},u^*)$ 是局部Lipschitz连续的。项 $u_i^*\in\mathbb{R}$，$i\in S$，表示输入匹配不确定性。引入 $u_i^*$ 的原因是实际系统中的输入匹配不确定性可能由多种因素引起，包括恒定输入扰动和控制问题，如设定值调节（Astolfi和Lanari，1994）。为便于记号，令 $x_{i,n_i+1}=u_i^*$。

我们假设非线性函数 $\phi_{i,j}(\cdot)$，$i\in S$，$j=1,…,n_i-1$ 满足以下增长条件。

**假设1** 对 $\phi_{i,j}(\cdot)$，$i\in S$，$j=1,…,n_i-1$，存在未知常数 $\theta>0$，使得对所有 $v\in(0,1]$，

$$\sum_{j=1}^{n_i-1} v^{n_i-j+1}|\phi_{i,j}(\cdot)| \leq \theta v^2 \sum_{l=1}^{N}\left[\sum_{k=1}^{n_l+1} v^{n_l-k+1}\left(|x_{l,k}|_{r_i}^{r_l}+|x_{l,k}(t-d_l(t))|_{r_i}^{r_l}\right)+|u_l+u_l^*|_{r_i}^{r_l}+|u_l(t-d_l(t))+u_l^*|_{r_i}^{r_l}\right],$$

其中 $r_i>0$ 为已知常数，$\bar{r}\triangleq\max_{l\in S}\{r_l\}$。

可以验证，假设1与如下上三角条件相比是一个更弱的条件：

$$|\phi_{i,j}(\cdot)| \leq \theta \sum_{l=1}^{N}\left[\sum_{k=max\{2+n_l+j-n_i,1\}}^{n_l+1}\left(|x_{l,k}|_{r_i}^{r_l}+|x_{l,k}(t-d_l(t))|_{r_i}^{r_l}\right)+|u_l+u_l^*|_{r_i}^{r_l}+|u_l(t-d_l(t))+u_l^*|_{r_i}^{r_l}\right].$$

因此，带有假设1的大规模系统（LSS）（1）具有比满足（3）的上三角系统更一般的结构。

近几十年来，由于大规模系统在核反应堆、制造过程和多机器人系统等领域的广泛应用（Kordestani等，2021；Yoo和Park，2012；Zhang和Lin，2014），已引起相当多的研究关注。输出反馈控制作为控制领域内一个突出且重要的问题，已被广泛研究（Du等，2019；Jin等，2018；Ju等，2025；Wang和Yu，2020；Zhai和Zha，2014；Zhang等，2023）。此外，许多实际系统具有非线性特性和不确定性（Zhao, Yuan, Sun, Xie，2023；Zhao, Zhao, Song, Sun, Yu，2026）。鉴于实际系统中普遍存在的非线性和不确定性，许多输出反馈控制方法已被开发用于不同类型的大规模非线性系统（Krishnamurthy和Khorrami，2003；Li和Xiang，2019；Liu等，2012；Tharanidharan等，2023；Wang和Lin，2023）。例如，文献Liu等（2012）提出了一种分散式方案，用于实现受传感器噪声影响的大规模非线性系统的输出反馈控制，其中互连本质上是系统输出的函数（针对没有零动态的系统）。文献Li和Xiang（2019）研究了基于采样数据的切换随机大规模系统的输出反馈调节，其中互连由涉及下三角不可测状态的线性条件来表征。随后，基于比Li和Xiang（2019）更宽泛的假设，Wang和Lin（2023）针对具有量化输入和传感器不确定性的切换系统开发了一种连续时间输出反馈方法。文献Tharanidharan等（2023）研究了具有量化输出和执行器故障的大规模系统的输出反馈控制，其中互连满足涉及不可观测状态的线性增长约束。

时滞可能源于计算、感知、数据传输或处理，在实际系统中普遍存在（Lin等，2019；Shu和Zhai，2021）。有时即使是小延时也可能使原本稳定的系统失稳或导致混沌现象（Lin和Sun，2023）。因此，时滞系统的输出反馈控制和状态观测器设计已引起相当多的关注，并取得了一系列重要的研究进展（Duan等，2021；Liu, Li, Zhu, Zhang，2021；Liu, Yu, Zhang，2015；Phat等，2015；Shao, Jia, Ju, Shi，2022a；Shao, Jia, Zhang, Shi，2022b；Ye，2011；Zhang等，2014；Zhu和Fridman，2020）。文献Ye（2011）研究了输出反馈控制，其中互连受系统时滞输出的已知函数约束。文献Phat等（2015）为大规模时滞系统开发了全阶状态观测器，其中互连满足线性增长条件。对于具有输入时滞的大规模线性系统，文献Zhu和Fridman（2020）提出了基于预测器的输出反馈方案。文献Zhang等（2014）提出了大规模非线性时滞系统的输出反馈方法，其中增长率已知且乘以一个已知的输出函数（$r_i/r_l=1$）。文献Liu等（2015）在假设1下研究了大规模时滞系统输出反馈方案的设计，其中 $r_i/r_l=1$ 且输出函数也是已知的。在文献Liu等（2021）中，作者研究了包含离散和分布时滞的上三角系统的全局状态调节问题，假设互连满足线性增长条件。此外，文献Duan等（2021）研究了系统（1）的$H_\infty$输出反馈控制，其中互连满足 $r_i/r_l=1$ 且无外部信号时条件（3）的条件。条件（3）在Shao等（2022b）的工作中在 $r_i/r_l=1$ 且不存在时变时滞的假设下建立。与Shao等（2022b）假设类似的条件也出现在Shao等（2022a）中。需要注意的是，上述研究均未考虑输入匹配不确定性。

尽管在各种大规模系统的输出反馈控制方面取得了重大进展，但这些系统本质上共享一个共同的局限性：它们的互连要么依赖于可测量的输出，要么在不可测状态中满足特定的线性增长条件。在近期研究中，Su等（2018）使用齐次主导方法克服了大规模下三角系统的局限性，提出了一种新的基于采样数据的输出反馈方法用于全局稳定化。在此基础上，Yu等（2023）进一步将该方法扩展到更广泛的一类大规模系统。随后，通过引入对 $r_i$ 和 $r_l$ 的约束，文献Yu等（2026）讨论了大规模上三角系统的输出反馈控制。然而，与Yu等（2026）中的系统不同，本文移除了对 $r_i$ 和 $r_l$ 相对大小的严格约束。此外，与现有文献相比，本文还考虑了输入匹配不确定性。据我们所知，对于具有输入匹配不确定性的大规模时滞系统，现有的输出反馈控制设计方法尚不适用；换言之，假设1下系统（1）的输出反馈控制问题在现有理论中尚未得到有效解决。

基于上述讨论，本文聚焦于假设1下系统（1）的输出反馈控制问题。通过构建具有动态增益的观测器，我们设计了一系列自适应输出反馈控制器；这些控制器保证了所有闭环信号和控制器的全局有界性以及系统状态的收敛性。此外，$u_i^*$ 的估计收敛到其真值。本工作的主要创新可以归纳如下。

(i) 与现有工作Duan等（2021）；Krishnamurthy和Khorrami（2003）；Li和Xiang（2019）；Liu, Li, Zhu, Zhang（2021）；Liu, Yu, Zhang（2015）；Liu, Jiang, Hill（2012）；Phat等（2015）；Shao, Jia, Ju, Shi（2022a）；Shao, Jia, Zhang, Shi（2022b）；Tharanidharan等（2023）；Wang和Lin（2023）；Ye（2011）；Zhang等（2014）；Zhu和Fridman（2020）不同，互连函数 $\phi_{i,j}(\cdot)$ 满足涉及不可测状态的非线性增长条件。此外，移除了Yu等（2026）中要求的条件 $\bar{r}<2\min_{l\in S}\{r_l\}$。

(ii) 据我们所知，本文首次同时研究了具有非线性增长互连、未知时滞和输入匹配不确定性的大规模系统。与现有文献相比，这些特征显著增强了模型的实际相关性。

(iii) 提出了一种新的输出反馈控制策略，在广义系统结构下实现全局状态调节，其中控制器以类似线性且无记忆的形式设计，并包含多个自适应增益以应对互连中的非线性增长。

本文其余部分结构如下。第2节介绍几个预备引理。第3节给出主要理论结果并分析其收敛性。第4节通过数值仿真展示所提方法的有效性。最后，第5节总结全文。

**符号说明：** $\mathbb{R}$、$\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{R}^{n\times m}$ 分别表示实数集、$n$ 维实列向量空间和 $n\times m$ 矩阵集合。给定 $h_i(t)$，为便于记号，用 $h_i$ 表示。$\text{diag}\{c_{i,1},c_{i,2},…,c_{i,n_i}\}$ 表示对角元素为 $c_{i,1},c_{i,2},…,c_{i,n_i}$ 的对角矩阵。对于 $h\in\mathbb{R}$，$|h|$ 表示其绝对值。$\|\cdot\|$ 表示向量的欧几里得范数或矩阵的2-范数。对于矩阵 $H_i$，$H_i>0$ 表示其为正定矩阵；换言之，$H_i$ 满足 $H_i^T=H_i$ 且 $H_i$ 的所有特征值为正。对于每个正定矩阵 $H_i>0$（$i\in S$），$\lambda_{i,1}(H_i)$ 和 $\lambda_{i,2}(H_i)$ 分别为其最小和最大特征值。当 $j>i$ 时，令 $\sum_{k=j}^{i}h_k=0$。

# 2 关键引理

本节给出一些有用的引理。

**引理1**（Praly和Jiang，2004；Wang等，2019）存在常数 $\gamma_{i,j}>0$，$i\in S$，$j=1,2,3$，向量 $a_i=[a_{i,1},…,a_{i,n_i},a_{i,n_i+1}]^T$，$b_i=[b_{i,1},…,b_{i,n_i}]^T$，以及矩阵 $P_i>0$ 和 $Q_i>0$，满足

$$A_i^TP_i+P_iA_i\leq-\gamma_{i,1}I_{i,n_i+1}, \quad D_{i,n_i+1}P_i+P_iD_{i,n_i+1}\geq0,$$

$$B_i^TQ_i+Q_iB_i\leq-\gamma_{i,3}I_{i,n_i}, \quad D_{i,n_i}Q_i+Q_iD_{i,n_i}\geq0,$$

其中

$$A_i=\begin{bmatrix} -a_{i,1} & 1 & \cdots & 0 \\ & & \vdots & \vdots \\ & & \ddots & \vdots \\ & & -a_{i,n_i} & 0 \\ \cdots & \cdots & 1 & -a_{i,n_i+1} \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

$$B_i=\begin{bmatrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ & & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ -b_{i,1} & -b_{i,2} & \cdots & -b_{i,n_i} \end{bmatrix},$$

$$D_{i,k}=\text{diag}\{n_i+1,n_i,…,n_i-k+2\}\in\mathbb{R}^{k\times k},$$

$$I_{i,k}=\text{diag}\{1,1,…,1\}\in\mathbb{R}^{k\times k}, \quad k=n_i,n_i+1.$$

**引理2**（Hardy等，1952；Su等，2018）对于...

# 3 控制器设计与收敛性分析

本节给出本文的主要结果如下。

**定理1** 对于假设1下的大规模系统（1），如下输出反馈控制器

$$\begin{aligned} \dot{\hat{x}}_{i,1} &= \hat{x}_{i,2}+a_{i,1}L_i(y_i-\hat{x}_{i,1}), \\ &\vdots \\ \dot{\hat{x}}_{i,n_i-1} &= \hat{x}_{i,n_i}+a_{i,n_i-1}L_i^{n_i-1}(y_i-\hat{x}_{i,1}), \\ \dot{\hat{x}}_{i,n_i} &= \hat{x}_{i,n_i+1}+u_i+a_{i,n_i}L_i^{n_i}(y_i-\hat{x}_{i,1}), \\ \dot{\hat{x}}_{i,n_i+1} &= a_{i,n_i+1}L_i^{n_i+1}(y_i-\hat{x}_{i,1}), \\ u_i &= -\hat{x}_{i,n_i+1}-\left[\frac{b_{i,1}\hat{x}_{i,1}}{L_i^{n_i}}+\frac{b_{i,2}\hat{x}_{i,2}}{L_i^{n_i-1}}+\cdots+\frac{b_{i,n_i}\hat{x}_{i,n_i}}{L_i}\right], \end{aligned}$$

其中动态增益为

$$L_i=L^{\frac{r_i}{\bar{r}}}, \quad L(\varrho)\equiv L(0)\geq1, \quad \forall\varrho\in[-\tilde{\tau},0],$$

$$\dot{L}=\frac{\varrho}{1}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{L_i^2}\left|\frac{y_i-\hat{x}_{i,1}}{L_i^{n_i+1}}\right|^{\frac{2\bar{r}}{r_i}}$$

可以保证：对于任意初始条件 $(x_i(\varrho),\hat{x}_i(\varrho))$...

# 4 仿真算例

本节通过一个算例来展示所提控制策略的有效性。

**例1** 考虑如下具有时滞和输入匹配不确定性的大规模不确定非线性系统。

$$\begin{aligned} \begin{cases} \dot{x}_{1,1}=x_{1,2}+\phi_{1,1}(\cdot), \\ \dot{x}_{1,2}=x_{1,3}+\phi_{1,2}(\cdot), \\ \dot{x}_{1,3}=u_1^*+u_1(t-\tau_1), \\ y_1=x_{1,1}, \\ \dot{x}_{2,1}=x_{2,2}+g_4(t)(u_2+u_2^*), \\ \dot{x}_{2,2}=u_2^*+u_2(t-\tau_2), \\ y_2=x_{2,1}, \end{cases} \end{aligned}$$

其中 $\phi_{1,1}(\cdot)=g_1(t)\left[\sqrt{\ln(1+x_{2,1}^2|u_2+u_2^*|^4)}+\sqrt{\ln(1+|x_{2,1}|^4(u_1(t-d_1(t))+u_1^*)^2}\right]+g_2(t)|x_{2,2}(t-d_2(t))|^2$ 和 $\phi_{1,2}(\cdot)=g_3(t)|u_2(t-d_2(t))+u_2^*|^2$；$|g_i(t)|\leq c_1$ 是未知的...

# 5 结论

本文研究了具有未知时滞和输入匹配不确定性的大规模时滞系统的输出反馈控制问题。与现有方法不同，系统互连随不可测时滞状态非线性增长，且系统具有输入匹配不确定性。为应对控制问题，我们开发了一种新的输出反馈控制方案，其中包含多重相关动态增益机制。通过构造适当的Lyapunov-Krasovskii...

# CRediT作者贡献声明

程南郭：撰写—初稿。邓振华：验证，撰写—审阅与编辑。张冉：撰写—审阅与编辑。余伟勇：撰写—审阅与编辑。

# 利益冲突声明

作者声明不存在已知的可能影响本文报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

程南郭 | 邓振华 | 张冉 | 余伟勇