描述通道中接触线动力学的纳维 - 斯托克斯 / 考恩 - 希拉德方程的适定性

《Journal of Differential Equations》：Well-posedness of Navier-Stokes/Cahn-Hilliard equations modeling the dynamics of contact line in a channel

　　

# 摘要

本文研究通道中的接触线问题。具体而言，我们考虑带有广义纳维边界条件和弛豫边界条件的不可压缩纳维-斯托克斯/卡恩-希尔达德系统，该系统作为流体力学中移动接触线问题的相场模型。我们建立了带有朗道势的二维初始边值问题局部时间强解的存在性和唯一性。据我们所知，这是首次给出带有广义纳维边界条件和弛豫边界条件的纳维-斯托克斯/卡恩-希尔达德系统局部时间适定性的结果。该结果为证实 Qian 等人 (2003) [39]; (2006) [42] 的物理和数值结果是适定的且合理的提供了严格的数学分析。

# 引言

所谓二维二元不可压缩流体混合物的相场模型可读作以下纳维-斯托克斯/卡恩-希尔达德 (NSCH) 方程：

$$\begin{cases} \mathbf{u}_t + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nabla p = \text{div}\,\mathbb{S}(\mathbf{u}) + \mu\nabla\phi, & \text{在 } \Omega \text{ 中}, \\ \text{div}\,\mathbf{u} = 0, & \text{在 } \Omega \text{ 中}, \\ \phi_t + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi = M\Delta\mu, & \text{在 } \Omega \text{ 中}, \\ \mu = -\Delta\phi + f(\phi), & \text{在 } \Omega \text{ 中}, \end{cases}$$

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是有界光滑区域，应变张量定义为 $\mathbb{S}(\mathbf{u}) = \nu(\nabla\mathbf{u} + \nabla^\top\mathbf{u})$，$\mathbf{u} = (u_1, u_2)$，$\phi$，$\mu$，$M$，$p$ 分别表示流体混合物的平均速度、两组分的浓度差、化学势、迁移率系数和压力。在我们的设定中，自由能密度取为 $f(\phi) = \phi^3 - \phi$（或取 $F(\phi) = \frac{1}{4}(\phi^2 - 1)^2$ 使得 $F'(\phi) = f(\phi)$），即所谓的朗道势 [24], [29]。关于朗道势的更多信息可在 [29] 中找到。系统 (1.1) 也被称为"模型 H"，详见 [26]。

为了理解流体在边界附近的行为，从物理观点来看 [39], [40], [41], [42]，广义纳维边界条件 (GNBC) 和弛豫边界条件可能更适合描述流体在边界上的运动，其表述如下：

$$\begin{cases} \mathbf{u}\cdot\mathbf{n} = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \partial_n\mu = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \beta\mathbf{u}_\tau + (\mathbb{S}(\mathbf{u})\cdot\mathbf{n})_\tau = \mathcal{L}(\phi)\nabla_\tau\phi, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \phi_t + \mathbf{u}_\tau\cdot\nabla_\tau\phi = -\hat{\Gamma}\mathcal{L}(\phi), & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \end{cases}$$

其中 $\Gamma$ 是 $\Omega$ 的边界，$\mathcal{L}(\phi) = \partial_n\phi + \frac{\partial\gamma_{fs}(\phi)}{\partial\phi}$，其中 $\gamma_{fs}(\phi)$ 是单位面积的流体-固体界面自由能，$\beta > 0$ 是滑移系数，$\hat{\Gamma}$ 是正的唯象参数。$\tau$ 和 $n$ 分别表示固体边界 $\Gamma$ 上的单位切向量和单位外法向量，且 $\mathbf{u}_\tau = \mathbf{u} - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})\mathbf{n}$，$\partial_n = \mathbf{n}\cdot\nabla$，$\nabla_\tau = \nabla - (\mathbf{n}\cdot\nabla)\mathbf{n}$。

特别地，如果我们在通道中考虑系统 (1.1) 与 (1.2) 的耦合——这在大量物理和数值文献中已有研究，见 [39], [40], [41], [42]——即 $\Omega = \mathbb{T}\times(-1,1)$，水平方向为周期性的，则 $\Gamma = \mathbb{T}\times(\{-1\}\cup\{1\})$。此外，在 $\Gamma$ 上有 $\mathbf{u}_\tau = (u_1, 0)$ 且 $\nabla_\tau = (\partial_x, 0)$，在 $\{y = \pm1\}$ 上 $\partial_n = \pm\partial_y$。$\Gamma$ 的外法单位向量变为：$\mathbf{n} = (0, \pm1)$，在 $\{y = \pm1\}$ 上。

在此情况下，边界条件 (1.2) 可改写为：

$$\begin{cases} u_2 = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \partial_n\mu = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \beta u_1 + \partial_n u_1 = \mathcal{L}(\phi)\partial_x\phi, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \phi_t + u_1\partial_x\phi = -\mathcal{L}(\phi), & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \end{cases}$$

其中 $\mathcal{L}(\phi) = \partial_n\phi + \frac{\partial\gamma_{fs}(\phi)}{\partial\phi}$，在 $\Gamma$ 上，且不失一般性地设 $M = \hat{\Gamma} = \nu = 1$。受 [39], [41], [42] 启发，我们取流体-固体界面自由能密度 $\gamma_{fs}(\phi)$ 为：

$$\gamma_{fs}(\phi) = -\frac{\gamma}{2}\cos\theta_s\sin\left(\frac{\pi\phi}{2}\right),$$

其中 $\gamma > 0$ 是流体-流体界面张力常数，$\theta_s$ 是由杨氏方程 $\gamma_{fs}(\phi_-) = \gamma_{fs}(\phi_+) + \gamma\cos\theta_s$ 确定的静态接触角，见图 1。

为简便起见，我们设 $(\gamma/2)\cos\theta_s = 1$。施加初始条件如下：

$$\mathbf{u}(x,y,0) = \mathbf{u}_0(x,y), \quad \phi(x,y,0) = \phi_0(x,y)$$

并定义 $\mu_0 = -\Delta\phi_0 + f(\phi_0)$。

本文的目标是建立问题 (1.1)、(1.3) 和 (1.5) 的局部时间适定性。

关于系统 (1.1) 配合不同类型边界条件的适定性问题已有大量研究工作，特别是速度的无滑移边界条件 $\mathbf{u}|_\Gamma = 0$ 以及 $\phi$ 和 $\mu$ 的无通量边界条件。系统 (1.1) 配以边界条件 $\{\mathbf{u} = 0, \partial_n\phi = \partial_n\mu = 0, \text{在 } \Gamma \text{ 上}\}$ 的适定性已被广泛研究，例如见 [1], [3], [19], [23], [32]。然而，正如 [15] 中所指出，对于具有移动接触线的不可混溶两相流动——移动接触线定义为流体-流体界面与固体壁面的交线——无滑移边界条件并不适用。事实上，作者表明，对于不可压缩牛顿流体，若在流体-流体界面滑移的光滑刚性壁面上施加无滑移边界条件，则在移动接触线处会出现速度间断，且流体在接触线附近对固体表面施加的切向力趋于无穷大。这种奇异性通常被称为移动接触线奇异性。

为了处理这种奇异性，Qian-Wang-Sheng [39], [41], [42] 提出了广义纳维边界条件 (GNBC)（即边界条件 (1.2) 的第 1 和第 3 式）和弛豫边界条件（即边界条件 (1.2) 的第 4 式），这些条件可由热力学定律和昂萨格最小耗散原理导出。他们发现广义纳维边界条件能够很好地描述流体与固体壁面之间的相对滑移。特别地，对于单相流体或远离接触线的区域，(1.2) 的第 1 和第 3 式简化为：

$$\begin{cases} \mathbf{u}\cdot\mathbf{n} = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \\ \beta\mathbf{u}_\tau + (\mathbb{S}(\mathbf{u})\cdot\mathbf{n})_\tau = 0, & \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \end{cases}$$

即所谓的纳维边界条件 (NBC)，关于带有 NBC 的纳维-斯托克斯方程的更多信息可在 [2], [7], [11], [28], [30], [33], [44], [45], [52], [53] 及其参考文献中找到。事实上，NBC 在远离接触线区域的场景中是有效的 [47]。然而，在界面区域中，由于接触线（或接触角）附近的奇异性，NBC 无法描述流体在接触线附近的运动。因此，界面区域中流体运动的数学表述是非平凡的。我们指出，(1.2) 第 3 式右端的项 $\mathcal{L}(\phi)\nabla_\tau\phi$ 表示未补偿的杨氏应力，这是由流体-流体界面偏离其静态构型所导致的，详见 [40], [42] 及其参考文献。此外，(1.2) 第 4 式的一个特殊情况：$\partial_n\phi = 0$ 导致静态接触线，其接触角为 $\pi/2$。

在缓慢动力学的特殊情况下，可以忽略流体的效应，即 $\mathbf{u} = 0$，问题简化为带有齐次诺伊曼边界条件 (1.2) 第 2 式和弛豫边界条件 (1.2) 第 4 式的卡恩-希尔达德方程 (1.1) 的第 3、4 式。据我们所知，唯一的理论分析是由 Chen-Wang-Xu [14] 给出的，他们建立了无流体效应情况下整体解的存在性。具体而言，通过添加表面扩散项 $\delta\Delta_\tau\phi$，[14] 考虑了以下动态边界条件来替代弛豫边界条件 (1.2) 第 4 式：

$$\phi_t = -\partial_n\phi + \delta\Delta_\tau\phi - k(\phi), \quad \text{在 } \Gamma \text{ 上}.$$

与原始边界条件 (1.2) 第 4 式相比，添加了一个表面扩散项 $\delta\Delta_\tau\phi$，这可能在边界附近提供一定的正则化效应，关于此点的更多细节见 Gal [18]。

带有动态边界条件的卡恩-希尔达德方程的适定性理论已在多项工作中得到研究。Racke-Zheng [43] 在 $\mathbb{R}^N$（$N = 1, 2, 3$）中获得了该初始边值问题强解的整体存在性和唯一性。在 [38] 中，Prüss 等人建立了最大 $L^p$-正则性和全局吸引子的存在性。随后，Wu-Zheng [50] 证明了带有动态边界条件的卡恩-希尔达德方程的解在 $t \to \infty$ 时收敛到平衡态。对于具有任意增长性的自由能密度 $f(\phi)$，Miranville-Zelik [35] 获得了三维情况下解的存在性和唯一性，并构造了指数吸引子的鲁棒族。最近，Liu-Wu [31] 证明了带有或不带表面扩散的该初始边值问题整体弱解/强解的存在性和唯一性。值得一提的是，这是针对带有四阶动态边界条件的四阶抛物型方程的适定性结果 [31]。其他进展可参见 [9], [34], [48] 等。

已有大量工作致力于带有广义纳维边界条件和弛豫边界条件的 NSCH 系统的数值分析，见 [46], [49], [51], [56], [57], [58], [59] 及其参考文献。然而，据我们所知，由于涉及弛豫边界条件分析中的困难，目前尚无关于带有广义纳维边界条件和弛豫边界条件 (1.2) 的 NSCH 系统 (1.1) 强解/弱解存在性和唯一性的结果。因此，目前已知的工作致力于考虑以下动态边界条件：

$$\phi_t + \mathbf{u}_\tau\cdot\nabla_\tau\phi = -\partial_n\phi + \delta\Delta_\tau\phi - \alpha\phi - k(\phi), \quad \text{在 } \Gamma \text{ 上}, \quad (1.9)$$

这可视为弛豫边界条件 (1.2) 第 4 式的正则化版本，通过添加表面扩散 $\delta\Delta_\tau\phi$ 和阻尼项 $-\alpha\phi$ 实现。对于带有广义纳维边界条件和 (1.9) 的 NSCH 系统 (1.1)，Gal-Grasselli-Miranville [21] 获得了合适的整体能量解的存在性，并建立了该解在 $t \to \infty$ 时收敛到单一平衡态的结果。随后，Gal-Grasselli-Wu [22] 考虑了具有密度不匹配的该初始边值问题，并证明了在二维和三维空间中对于任意初始数据整体弱解的存在性。对于可压缩流体，Cherfils 等人 [8] 证明了具有有限初始能量的整体时间弱解的存在性。最近，Chen 等人 [10] 获得了三维空间中带有广义纳维边界条件和弛豫边界条件的纳维-斯托克斯/艾伦-坎恩方程局部强解的存在性和唯一性。此外，Gal-Grasselli-Poiatti [20] 证明了带有广义纳维边界条件和动态边界条件的艾伦-坎恩-纳维-斯托克斯-沃伊特系统的整体弱解的存在性。

为陈述我们的主要结果，我们将引入全文使用的符号。对于区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$，$1 \leq p \leq +\infty$ 以及 $s > 0$，我们记：

$$\begin{cases} \langle f \rangle = \frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega f\,dx\,dy, \\ \langle f, g \rangle = \int_\Omega fg\,dx\,dy, \\ L^p = L^p(\Omega), \\ W_{s,p} = W_{s,p}(\Omega), \\ H_s = W_{s,2}, \\ \mathfrak{D} = \{(\mathbf{u}, \phi) \in H^2 \times H^3 \mid \mathbf{u}, \phi \text{ 满足 (1.3) 的第 1、2、3 式和 (1.1) 的第 2 式}\}, \end{cases}$$

其中 $W_{s,p}$ 在 $s$ 为非整数时是分数阶索伯列夫空间，细节可参见参考文献 [6], [16]。我们的主要结果如下：

**定理 1.1** 假设 $\Omega = \mathbb{T}\times(-1,1)$，$\mu_0 \in H^3$ 且 $(\mathbf{u}_0, \phi_0) \in \mathfrak{D}$，则存在正常数 $T_0$，可能依赖于初始数据，使得问题 (1.1)、(1.3)、(1.5) 在 $[0, T_0]$ 上存在唯一的局部时间强解 $(\mathbf{u}, \phi)$，满足：

$$\mathbf{u} \in L^\infty(0, T_0; H^2) \cap L^2(0, T_0; H^3),$$

$$\mathbf{u}_t \in L^\infty(0, T_0; L^2) \cap L^2(0, T_0; H^1),$$

$$\phi \in L^\infty(0, T_0; H^3), \quad \Delta\phi \in L^2(0, T_0; H^2),$$

$$\mu \in L^\infty(0, T_0; H^3) \cap L^2(0, T_0; H^4),$$

$$\phi_t \in L^\infty(0, T_0; H^1) \cap L^2(0, T_0; H^2),$$

$$\mu_t \in L^2(0, T_0; H^1).$$

**注 1.1** 据我们所知，定理 1.1 是首次结果（即使在通道情况下）建立了带有原始广义纳维边界条件 (1.2) 的 NSCH 系统 (1.1) 强解的适定性，该边界条件在 [39], [40] 中提出。

**注 1.2** 与先前的工作 [8], [21], [22] 相比，定理 1.1 处理了 $\mathcal{L}(\phi)$ 中没有表面扩散和阻尼的情况。因此，除了继承自模型 H 的困难之外，数学分析中的主要挑战来自于 (1.2) 中的弛豫边界条件。见第 2 节。

**注 1.3** 截至目前，即使对于卡恩-希尔达德方程，除了 [14] 之外，大多数工作都聚焦于动态边界条件：

$$\partial_t\phi = -\mathcal{L}(\phi), \quad \mathcal{L}(\phi) = -\delta\Delta_\tau\phi + \partial_n\phi + \alpha\phi + k(\phi), \quad \text{在 } \Gamma \text{ 上},$$

其中 $\delta, \alpha$ 是固定的正常数，例如见 [18], [35], [38], [43]。此外，[14] 中忽略了流体的效应，因此弛豫边界条件中没有强非线性项 $\mathbf{u}_\tau\cdot\nabla_\tau\phi$。

**注 1.4** 我们的结果表明，弛豫边界条件产生了一种阻尼效应（见 (2.2)），这证实了 [39], [40], [41], [42] 中的物理和数值结果是适定的且合理的。

**注 1.5** 定理 1.1 建立了带有朗道势的 NSCH 系统 (1.1) 强解的适定性，其物理推导由 Landau 等人 [29] 完成。事实上，由于技术原因，大多数数值工作聚焦于带有朗道势的接触线问题，例如见 [39], [40], [41], [42]。此外，朗道势在某种意义上是弗洛里-哈金斯势的近似 [24]。将该理论推广到弗洛里-哈金斯情况的主要挑战在于边界条件，我们将其留作未来工作。

本文的结构如下。在第 2 节中，我们陈述证明的关键思想并回顾一些后续使用的辅助结果。在第 3 节中，我们对原始问题 (1.1)、(1.3)、(1.5) 进行一些先验估计，这些估计将用于推导 $\delta$-近似问题 (4.1)-(4.3) 中关于 $\delta$ 的一致估计。在第 4 节中，我们构造 $\delta$-近似问题并得到关于 $\delta$ 的一致估计。最后，在第 5 节中，我们通过令 $\delta \to 0$ 完成定理 1.1 的证明。

## 2 节片段

### 关键证明思想

在本小节中，我们陈述论证中的关键思想。

为建立问题 (1.1)、(1.3)、(1.5) 的适定性，关键点在于先验估计和合适近似解的构造。

为了推导先验估计，与先前的工作 [8], [12], [21], [22], [54], [55] 相比，主要困难来自于边界条件 (1.3)，即 (1.3) 第 4 式中的弛豫边界条件中没有扩散项，即：

$$\partial_t\phi + u_1\partial_x\phi = \partial_n\phi + \cdots$$

### 先验估计

对于任意 $\delta > 0$，我们将构造原始问题 (1.1)、(1.3)、(1.5) 的 $\delta$-近似问题 (4.1)-(4.3)。

本节的目的是获得原问题（1.1）、（1.3）、（1.5）的先验估计，这些估计将用于在第4.4小节中推导关于δ-近似问题（4.1）-（4.3）的关于δ一致的先验估计。为了推导先验估计，获得松弛边界条件的阻尼效应至关重要。在给出估计的详细过程之前，让我们

非线性NSCH问题解的构造

本节的目标是在某个时间区间$[0,T]$上（$T>0$）构造非线性NSCH问题（1.1）、（1.3）、（1.5）的解。

定理1.1的证明：（1.1）、（1.3）、（1.5）的局部适定性

在本节中，我们准备证明定理1.1。定理1.1的证明

由引理2.3可得$\|tr(\phi_0)\|^2_{H^{5/2}(\Gamma)}\leq C\|\phi_0\|^2_{H^3}$。因此，利用（5.1）和命题4.5，可以很容易地验证定理4.1的条件成立。现在，对每个$\delta>0$，我们将δ-近似问题（4.1）-（4.3）的解记为$(\mathbf{u}_\delta,\phi_\delta)$，这些解已在定理4.1中构造。有了与δ无关的估计（4.46），根据标准程序，当$\delta\to 0$时，（4.1）-（4.3）的解序列

致谢

丁受国家自然科学基金重点项目（编号：12131010）资助。李受国家自然科学基金（编号：12371205）、广东省基础与应用基础研究基金（编号：2025A1515012026；编号：2025A1515040001）资助。林受国家自然科学基金（编号：12401292）和广东省基础与应用基础研究基金（编号：2026A1515010778；编号：2023A1515110500）资助。严受

丁世金 | 李英华 | 林至林 | 严元向

华南师范大学数学科学学院，广州，510631，中国