外域中带周期系数的散度型椭圆方程的渐近行为

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：The asymptotic behavior for divergence elliptic equations in exterior domains with periodic coefficients

　　

摘要 在本文中，我们研究了外部域中周期性系数散度型线性椭圆方程解的渐近行为。因此，我们推广了由 Avellaneda 和 Lin 首先建立的 Liouville 型结果。

引言 在本文中，我们关注外部域中周期性系数散度型线性椭圆方程解的渐近行为。更具体地，我们考虑散度形式的线性一致椭圆方程 Lu=Di(aij(x)Dju(x))=0, x∈Rn?B1￣. 我们假设系数 aij 满足以下三个条件：(1). (对称性) aij=aji;(2). (周期性) aij(x+z)=aij(x), 对所有 x∈Rn 和 z∈Zn 成立;(3). (椭圆性) 存在两个常数 0<λ≤λ<∞, 使得 λ|ξ|2≤aij(x)ξiξj≤λ|ξ|2, 对任意 ξ=(ξ1,?,ξn)∈Rn 成立。 为了阐明本工作的主要动机，我们想将注意力集中在全空间中具有周期数据的椭圆方程的 liouville 型结果的发展历程上。1989 年，avellaneda 和 lin [1] 通过运用均匀化理论的工具体现，首次获得了全空间 rn 中散度形式线性椭圆方程 ?i(aij(x)?ju(x))=0 的 liouville 型结果。在假设系数 aij(x) 满足 lipschitz 连续且具有周期性的条件下，他们证明了任何至多 m 次多项式增长的解必须是一个具有周期系数的多项式。几年后，moser 和 struwe [14] 研究了全空间 rn 中的拟线性椭圆方程 ?div(fp(x,du(x)))=0，其中 f(x,p) 关于 x 具有周期性，并且关于 p 满足凸性和适当的生长条件假设。利用椭圆方程理论中的 harnack 不等式，他们证明了任何线性增长的解必须是一个线性函数加上一个周期扰动，这将 avellaneda 和 lin 的结果从线性情形部分推广到了非线性情形。此外，他们还得到了线性情形的简化证明，且无需对系数施加 lipschitz 连续假设。对于全空间 rn 中具有可测且周期性系数的非散度形式线性椭圆方程 aij(x)diju(x)=0，Li 和 wang [11] 证明了类似于 [1] 中的结果。对于 monge-ampère 方程，caffarelli 和 li [3] 证明了在全空间 rn 中 det(d2u(x))=f(x) 的任何凸解 u 在 f 具有周期性且光滑的条件下，必须是一个二次多项式加上一个周期扰动。最近，li 和 lu [10] 将对 f 的光滑假设减弱为 f∈l∞(rn)。对于全空间 rn 中具有周期右端项 f 的全非线性一致椭圆方程 f(d2u)=f，Li 和 liang [8] 在解在无穷远处增长不超过 |x|2 的条件下，建立了与 monge-ampère 方程相同的结论。 现在我们将注意力转向外部域中椭圆方程的渐近结果。对于线性椭圆方程，gilbarg 和 serrin [5] 证明了在系数 aij 在无穷远处满足 dini 连续的条件下，rn?b￣1 (n≥3) 中 aij(x)diju(x)=0 的任何正解 u 必具有形式 u=u∞+O(|x|2?n), 其中 u∞ 是一个常数。类似地，serrin [16] 为 rn?b￣1 (n≥3) 中 ?i(aij(x)?ju(x))=0 的正解建立了与 gilbarg 和 serrin 相同的结果。此外，serrin 和 weinberger [17] 通过 kelvin 变换将 serrin 的渐近结果改进为 u=u∞+a|x|2?n+O(|x|2?n?δ), 其中 a 是常数，常数 δ>0 仅依赖于椭圆常数 λ 和 Λ。对于外部域中的 Monge-Ampère 方程 det(D2u)=1，Caffarelli 和 Li [2] 建立了在无穷远处的渐近行为，我们也可以在 n=2 时参阅其中的详细参考文献。作为 Caffarelli 和 Li 结果的推广，Teixeira 和 Zhang [15] 研究了右端项为周期函数扰动的情形。最后，我们关注外部域中的全非线性一致椭圆方程 F(D2u)=f。当右端项 f 为常数时，Li, Li 和 Yuan [7] 在 F 满足光滑假设的条件下获得了高维情形中无穷远处的渐近行为，而二维情形则由 Li 和 Liu [9] 解决。随后，Lian 和 Zhang [13] 在无需对 F 施加光滑假设的条件下获得了渐近结果。当右端项 f 为周期函数时，Li 和 Liang [8] 建立了一个渐近结果。

在本文中，我们的目的是研究 (1.1) 的解的渐近行为，即我们将推广由 Avellaneda 和 Lin [1] 首先建立的 Liouville 型结果。让我们回顾 Avellaneda 和 Lin 的结果如下。

定理 (Avellaneda-Lin) 假设系数 aij 满足 (1)-(3) 且具有 Lipschitz 连续性。设 u∈Wloc1,2(Rn) 是 Rn 中 Di(aijDju)=0 的解, 且对所有 r≥1 和某个整数 N≥0 及常数 C>0 有 |Br|?1∫Bru2dx≤Cr2N。则 u(x)=∑|ν|≤Npν(x)xν, 其中 pν(x) 是周期性且 H?lder 连续的。此外，当 |ν|=N 时，系数 pν(x) 是常数。

注 1.1 对于 N=1 的情形，Moser 和 Struwe [14] 不仅去掉了系数 aij 的 Lipschitz 连续假设，而且还给出了定理 (Avellaneda-Lin) 的一个简单证明。

在陈述我们的主要结果之前，我们引入空间 T，它由所有具有零均值的连续周期函数组成，定义为 T={v∈C(Rn):v(x+z)=v(x) 对所有 x∈Rn 和 z∈Zn 成立，且 ?[0,1]nvdx=0}。此外，令 Q1=[?12,12]n。

作为 Liouville 定理的推广，我们研究 (1.1) 的解在外部域中无穷远处的渐近行为。

定理 1.2 设 n≥3, 且系数 aij 满足 (1)-(3) 且具有 Lipschitz 连续性。设 u∈Wloc1,2(Rn?B1￣) 是 Rn?B1￣ 中 Di(aijDju)=0 的解, 且对所有 r>1 和某个整数 N≥0 及常数 C>0 有 |Br|?1∫Br?B￣1u2dx≤Cr2N。则当 |x|→∞ 时,

u(x)=∑|ν|≤Npν(x)xν+a|x|2?n+O(|x|2?n?δ)

其中 pν(x) 是周期性且 H?lder 连续的, a 是常数, 且常数 δ>0 仅依赖于椭圆常数 λ 和 Λ。此外，当 |ν|=N 时，系数 pν(x) 是常数。

给定在无穷远处具有线性增长的渐近行为，我们可以为外部域上的 Dirichlet 问题建立以下存在性定理。

定理 1.3 设 n≥3, 且系数 aij 满足 (1)-(3)。假设 Ω?Rn 是满足外锥条件的一个区域。则对任意 b∈Rn 和 φ∈C(?Ω), 存在某些 c∈R 和 v∈T, 使得存在 (1.1) 在 Rn﹨Ω￣ 中的解 u∈Wloc1,2(Rn﹨Ω￣)∪C(Rn﹨Ω￣) 满足

Di(aijDju)=0 在 Rn﹨Ω￣ 中,
u=φ 在 ?Ω 上,

且满足 u(x)?b?x?c?v(x)=O(|x|2?n) 当 |x|→∞ 时, 其中 v∈T∩W1,2(Rn) 是 Rn 中 Di(aijDjv)=?Di(aijbj) 的唯一弱解。

注 1.4 在定理 1.2 中，即使 N=1，我们也不能去掉对系数 aij 的 Lipschitz 连续假设，原因是解 u 在 Rn 中的延拓需要成为线性椭圆方程的解。

现在让我们阐述定理 1.2、定理 1.3 证明中的主要思想。对于定理 1.2 的证明，我们构造一族弱解 ur, 它们是 Br 中 Di(aijDju)=0 的 Dirichlet 问题的解且 ur=u 在 ?Br 上。然后通过 u 的 W2,2(Rn) 延拓 ū 满足的线性椭圆方程，我们将证明 {ur}r=1∞ 的一个子列局部一致收敛到一个函数 v∈C(Rn)∩Wloc1,2(Rn), 该函数是 Di(aijDjv)=0 在整个 Rn 中的解。接下来我们知道 u?v 是有界的，且在 Rn?B￣1 中满足 Di(aijDj(u?v))=0。最后，通过线性椭圆方程的经典渐近结果和 Avellaneda-Lin 的结果，定理 1.2 的证明完成。对于定理 1.3 的证明，我们可以通过求解 Br﹨Ω￣ 中 Di(aijDjur)=0 的 Dirichlet 问题得到一个解 u。然后通过一个障碍函数证明 u 在 ?Ω 上是连续的。最后，利用 Harnack 不等式和比较原理，我们完成定理 1.3 的证明。

节段落

定理 1.2 的证明

定理 1.2 的证明 不失一般性，由 Sobolev 空间的延拓定理（见 [6, 定理 7.25]）和弱解的正则性（见 [6, 定理 8.8]），我们假设 u∈W2,2(Rn)。

对于 r>2, 由 Lax-Milgram 定理，令 ur∈W1,2(Br)∩C(Br) 为如下问题的弱解：

{Di(aijDjur)=0 在 Br 中,
ur=u 在 ?Br 上。

我们将证明 {ur}r>2 在 Rn 的紧致子集上是有界的，即 ‖ur‖L∞(K)≤CK, 对任意紧致集 K?Rn 成立且某个常数 CK>0 与 r 无关。为此目的，我们令 ū=(1?η)u+η, 其中 0≤η≤1 属于 C∞(Rn)。

定理 1.3 的证明

定理 1.3 的证明 不失一般性，我们假设 Ω 包含原点，且我们可以将 φ 在 Rn 中光滑延拓。令 r0=diamΩ+1。根据 Lax-Milgram 定理，令 v∈T∩W1,2(Rn) 为 Rn 中 Di(aijDj(b?x+v(x)))=0 的弱解。我们设 w:=b?x+v(x) 和 Cˉ:=‖w?φ‖L∞(?Ω)。

对于 r>r0, 我们引入 φˉ=(1?η)w+ηφ, 其中 0≤η≤1 属于 C∞(Rn), 具有包含在 Br0 中的紧致支撑，且在 Ω 中 η=1。

令 ur∈W1,2(Br) 为如下问题的弱解：

{Di(aijDjur)=0 在 Br﹨Ω￣ 中,
ur=φˉ 在 ?(Br﹨Ω￣) 上。

显然，我们看到

{Di(aijDjur)=0 在 Br﹨Ω￣ 中,
Di(aijDjw)=0 在 Br﹨Ω

致谢 我们衷心感谢审稿人付出辛勤工作和提出批评意见，这些意见对我们修改和改进本文极为宝贵。我们感谢重庆博士后研究项目专项资金（编号：2025CQBSHTB2034）提供的财政支持。

梁立春