度量测度空间上Besov空间迹的延拓算子的线性性：极限情形

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：On the linearity of extension operators for traces of Besov spaces on metric measure spaces: The limiting case

　　

摘要

设 ?? ∈ [1, ∞)，设 ?? = (??, ??, ??) 为一个度量测度空间，其中 ?? 一致局部加倍，且 ?? 满足局部弱 (1, ??)-Poincaré 不等式。给定 ?? ∈ (0, ??) 以及一个 Ahlfors–David 余维-?? 正则集 ?? ? ??，Besov 空间 ??^??/??_{??,1}(??) 到 ?? 的迹空间可与 ??^??(??, ?^???_??) 等同。若存在一个可测集 ?? ? ?? 满足 0 < ?^??(??) < ∞ 且 ?^???_?? 非原子，则我们证明不存在有界线性延拓算子 Ext: ??^??(??, ?^???_??) → ??^??/??_{??,1}(??)。

引言

函数空间理论在现代分析中起着核心作用。其基本问题之一是迹问题：给定一个环境空间上的函数空间，人们寻求对其元素限制到各种闭子集上的精确内蕴描述。近年来，度量测度空间上的函数空间引起了广泛关注。在本文中，我们聚焦于该设定下的 Besov 空间。关于度量测度空间上的函数空间，特别是 Besov 空间的背景，请参阅 [11]、[12]、[14]、[15]、[17]、[22] 及其中的参考文献。

迹问题可追溯至 Gagliardo 的开创性工作 [10]。他证明了，给定 ?? ∈ (1, ∞)，Sobolev 空间 ??^1_??(?^n) 到超平面 ?^{n?1} ? ?^n 的迹空间线性连续同构于 Besov 空间 ??^{1?1/??}_{??,??}(?^{n?1})。此外，存在一个有界线性延拓算子 Ext: ??^{1?1/??}_{??,??}(?^{n?1}) → ??^1_??(?^n)。当 ?? = 1 时为例外。在此极限情形下，??^1_1(?^n) 到 ?^{n?1} 的迹空间失去其光滑性，变为 ??^1(?^{n?1})。此端点现象的另一显著特征是，有界延拓算子必须是非线性的（参见 [16]、[21]）。

Sobolev 空间的迹理论也在度量测度空间的设定下得到了发展。特别地，Maly [20] 研究了边界满足余维正则性假设的域上 Sobolev 型空间的迹与延拓，在非极限范围获得了 Besov 迹空间，并处理了可积性指数与边界余维数相等的极限情形。更近期地，Tyulenev 在度量测度空间上更为一般的闭子集上获得了一阶 Sobolev 空间迹的内蕴描述，包括不规则集和分段 Ahlfors–David 正则集 [23]、[24]。

Besov 空间中也存在类似的极限现象。在其开创性工作 [2] 中，Besov 证明了 ??^??_{??,??}(?^n) 到 ?^?? 的迹空间，其中 ??, ?? ∈ [1, ∞]，?? ∈ [1, n?1]，?? > (n???)/??，线性连续同构于 ??^{???(n???)/??}_{??,??}(?^??)。在此非极限范围内，存在有界线性延拓算子 Ext: ??^{???(n???)/??}_{??,??}(?^??) → ??^??_{??,??}(?^n)。极限情形 ?? ∈ [1, ∞)，?? = 1 且 ?? = (n???)/?? 有本质区别。在余维一的情形 ?? = n?1 中，Burenkov 和 Gol'dman 在 [6] 中证明了 ??^{1/??}_{??,1}(?^n) 到 ?^{n?1} 的迹空间可与 ??^??(?^{n?1}) 等同。他们还证明了在此情形下不存在有界线性延拓算子。在另一篇论文 [13] 中，Gol'dman 将迹空间等同结果推广到任意线性子空间 ?^?? ? ?^n，其中 1 ≤ ?? ≤ n?1，但未涉及相应延拓算子的线性性。

在近期工作 [8] 中，作者将此 Besov 空间的经典极限迹定理推广到度量测度空间的设定。更精确地说，在度量测度空间 (??, ??, ??) 的标准正则性假设下（详见第 2.1 节），??^??/??_{??,1}(??) 到 Ahlfors–David 余维-?? 正则集 ?? 的迹空间，其中 ?? ∈ [1, ∞) 且 ?? ∈ (0, ??)，可与 ??^??(??, ?^???_??) 等同。在 [8] 中构造的延拓算子是非线性的。本文的目的是证明这不仅仅是构造上的偶然。在 ?? 的温和附加假设下，我们证明不存在有界线性延拓算子 Ext: ??^??(??, ?^???_??) → ??^??/??_{??,1}(??)。

Burenkov 和 Gol'dman 对相应非线性结果的经典证明高度依赖于欧氏子空间 ?^{n?1} 的线性结构和傅里叶分析结构。尚不清楚如何将他们的逼近论证推广到一般的 Ahlfors–David 正则集，即使在 ?^n 中也是如此，更难的是推广到度量测度空间的子集。因此我们采用不同的方法，将双曲填充与 Banach 空间论证相结合。

为精确地表述问题并陈述主要结果，我们首先固定一些记号并回顾几个基本定义。

所谓度量测度空间指三元组 ?? = (??, ??, ??)，其中 (??, ??) 为完备可分度量空间，?? 为一个 Borel 正则测度，赋予每个球以正的有限质量。我们施加以下附加正则性假设。给定 ?? ∈ [1, ∞)，我们称 ?? = (??, ??, ??) 为 ??-容许的，若：
(1) ?? 一致局部加倍；
(2) (??, ??, ??) 满足局部弱 (1, ??)-Poincaré 不等式。
这些假设的精确形式见第 2.1 节。

我们回顾在 [8] 中使用的 Besov 空间的平均振荡定义。度量测度空间上 Besov 空间有若干等价定义途径。尽管本文的主要论证将使用第 2.2 节回顾的双曲填充的离散描述，但先从振荡表述出发有助于将记号与 [8] 中的迹定理联系起来。全文中，??^??(??) 表示以 ?? ∈ ?? 为中心、半径 ?? > 0 的开球。对每个 ?? ∈ ??^1_loc(??) 和 ?? > 0，设

Δ?^????(??) := (1/??(??^??(??))) ∫_{??^??(??)} |??(??) ? (1/??(??^??(??))) ∫_{??^??(??)} ??(??) d??(??)| d??(??).

给定 ??, ?? ∈ [1, ∞] 和 ?? ∈ (0, 1)，Besov 空间 ??^??_{??,??}(??) 由所有 ?? ∈ ??^1_loc(??) 组成，满足以下范数有限：

‖??‖_{??^??_{??,??}(??)} := ‖??‖_{??^??(??)} + (∫_0^1 (??^{???} ‖Δ?^????‖_{??^??(??)})^?? dt/??)^{1/??} < ∞

当 ?? = ∞ 时作标准修正。

我们使用 ?? 上的余维 Hausdorff 测度 ?^??（其构造回顾于第 2.1 节）。闭集 ?? ? ?? 被称为 Ahlfors–David 余维-?? 正则的，?? ∈ [0, ∞)，若存在常数 ??_1, ??_2 > 0 使得

??_1 · ??(??^??(??)) / ??^?? ≤ ?^??(??^??(??) ∩ ??) ≤ ??_2 · ??(??^??(??)) / ??^??，

对所有 (??, ??) ∈ ?? × (0, 1] 成立。设 ?? ∈ (0, ∞)，设 ?? ? ?? 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集，设 ?? ∈ ??^1_loc(??)。可测函数 ??: ?? → ? 被称为 ?? 的迹，若

lim_{??→0} (1/??(??^??(??))) ∫_{??^??(??)} |??(??) ? ??(??)| d??(??) = 0，

对 ?^??-几乎处处 ?? ∈ ?? 成立。此时，?? 模去 ?^???_??-零集后的等价类记为 Tr ??。

由 [8, 定理 1.2]，若 ?? ∈ [1, ∞)，?? ∈ (0, ??)，且 ?? ? ?? 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集，则每个 ?? ∈ ??^??/??_{??,1}(??) 在 (1.1) 的意义下有到 ?? 的迹。因此我们可以定义迹空间

??^??/??_{??,1}(??) | _?? := {Tr ?? : ?? ∈ ??^??/??_{??,1}(??)}

为此空间赋予商空间范数，即

‖??‖_{??^??/??_{??,1}(??)|_??} := inf{‖??‖_{??^??/??_{??,1}(??)} : Tr ?? = ??}, ?? ∈ ??^??/??_{??,1}(??)|_??.

相应的迹算子为

Tr: ??^??/??_{??,1}(??) → ??^??/??_{??,1}(??)|_??, ?? ? Tr ??.

迹问题可表述如下。

问题 1.1 设 (??, ??, ??) 为 ??-容许的，?? ∈ [1, ∞)，?? ? ?? 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集，?? ∈ (0, ??)。
(1) 给定 ??: ?? → ?，找出 ?? 的延拓存在的必要充分条件，即存在 ?? ∈ ??^??/??_{??,1}(??) 使得 Tr ?? = ??；
(2) 找出迹空间 ??^??/??_{??,1}(??)|_?? 上与商空间范数等价的内蕴范数；
(3) 判定是否存在有界算子（称为延拓算子）

Ext: ??^??/??_{??,1}(??)|_?? → ??^??/??_{??,1}(??)，

使得 Tr ° Ext = Id 在 ??^??/??_{??,1}(??)|_?? 上成立；
(4) 确定这样的延拓算子能否选为线性的。

在 [8] 中，前三个问题得到了回答。更精确地说，证明了 ??^??/??_{??,1}(??)|_?? = ??^??(??, ?^???_??)，且范数等价。此外，构造了一个有界非线性延拓算子

Ext: ??^??(??, ?^???_??) → ??^??/??_{??,1}(??).

在本文中，我们处理最后一个问题。

主要结果如下。

定理 1.2 设 ?? ∈ [1, ∞)，?? ∈ (0, ??)，(??, ??, ??) 为 ??-容许的。假设 ?? ? ?? 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集。此外，假设存在可测集 ?? ? ?? 使得 0 < ?^??(??) < ∞ 且 ?^???_?? 非原子。则不存在有界线性延拓算子

Ext: ??^??(??, ?^???_??) → ??^??/??_{??,1}(??).

我们简要说明证明思路，并评论定理 1.2 中对 ?? 的附加假设。当 ?? ≠ 2 时，论证遵循 [16] 的策略。更精确地说，利用 Besov 空间通过双曲填充的离散描述，我们将 ??^??/??_{??,1}(??) 同构嵌入 ??^1(?^??)（见第 2.2 节）。另一方面，若 ?^???_?? 非原子且 0 < ?^??(??) < ∞，则 Rademacher 函数在 ??^??(??, ?^???_??) 中生成一个同构于 ?^2 的闭子空间。因此有界线性延拓算子将给出同构嵌入 ?^2 ? ??^1(?^??)，而当 ?? ≠ 2 时这是不可能的。当 ?? = 2 的情形更为微妙，因为 ?^2 确实嵌入 ??^1(?^2) 中，例如作为第一行。在此情形下，矛盾不能仅由抽象的 Banach 空间障碍产生。相反，我们使用一个额外的有限尺度论证，考虑双曲填充与迹算子之间的相互作用。

假设 ?^???_?? 具有正有限测度的非原子部分是本文方法的必要条件，因为它保证了迹空间中存在 ?^2 的闭副本。与此同时，此假设相当温和。例如，在欧氏情形 ?? = ?^n 中，若 ?? ? ?^n 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集且 ?? < n，则 ?^???_?? 非原子（见第 3 节的讨论）。因此，在欧氏设定下，我们的结果恢复并推广了 [6] 中证明的非线性现象。

本文组织如下：
• 第 2 节，我们固定记号，回顾所需定义，并证明若干辅助结果。特别地，我们讨论双曲填充方法与平均振荡方法对 Besov 空间的关系。
• 第 3 节，我们证明 ?? ≠ 2 时主要结果。
• 第 4 节，我们证明 ?? = 2 时主要结果。

各节摘录

预备知识

全文中，符号 ?? 表示一个正常数，其值可逐行变化。若对参数的依赖性很重要，我们写作 ??(??, ??, ??, …) 以示说明。若 ?? ≤ ??·??，我们写 ?? ? ??。若同时 ?? ? ?? 和 ?? ? ??，我们写 ?? ≈ ??。

主要结果：?? ≠ 2

本节中，设 ?? ∈ [1, ∞)，?? ∈ ??_??，?? ? ?? 为 Ahlfors–David 余维-?? 正则集，?? ∈ (0, ??)。由 [8, 推论 1.5]，??^??/??_{??,1}(??) 到 ?? 的迹空间为 ??^??(??, ?^???_??)，且范数等价。此外，[8, 定理 1.4] 给出了一个有界非线性延拓算子。本节的目的是证明当 ?? ≠ 2 时，这样的延拓算子不能是线性的。

证明基于一个 Banach 空间障碍。若存在有界线性延拓算子，则 ??^??(??, ?^???_??)

主要结果：?? = 2

当 ?? = 2 时，前一节的论证不再适用。确实，?^2 嵌入 ??^1(?^2)，例如作为第一行。然而，?^2 到 ??^1(?^2) 的每个同构嵌入都具有有限行逼近性质。

引理 4.1 设 ?? 为反照 Banach 空间，??: ?? → ??^1(?^2) 为有界线性算子。则

‖(Id ? Π_??)??‖_{??→??^1(?^2)} → 0，当 ?? → ∞。

证明 由于 ?? 反照，其闭单位球弱紧致。由于 ?? 有界线性，故弱连续。因此 ?? := ??(??_??) 是 ??^1(?^2) 中的弱紧子集。

资助

本工作由俄罗斯科学基金会资助，项目编号 24-11-00170，https://rscf.ru/en/project/24-11-00170/，并在俄罗斯科学院 Steklov 数学研究所完成。

致谢

作者衷心感谢导师 Alexander I. Tyulenev 提出该问题并给予指导和支持。作者也感谢 Sergey V. Kislyakov 指出关于嵌入 ??^1(?^??) 的 Banach 空间障碍（定理 3.1）及其相应论证的思想。作者还感谢匿名审稿人对稿件的细致审读和若干宝贵意见，以及 Aleksei Y. Chikalov。