复杂振动系统中的多模同步：四个转子与三个耦合框架之间的相互作用

《Journal of Sound and Vibration》：Multimode Synchronization in a Complex Vibrating System: Interactions Between Four Rotors and Three Coupled Frames

　　•提出了一种分布式激励结构，该结构包含四个转子，分布在两个框架上。•揭示了一种振动模式和一种力抵消的抑制状态。•通过内部力自平衡实现了全局静止状态。•仅通过调整频率即可在不同振动状态和抑制状态之间切换。

引言
同步现象指的是系统相互作用元素之间的协调动态，在包括生物系统[1,2]、机械系统[3]和复杂网络[4]在内的多个领域中普遍存在。虽然传统方法（如齿轮[5]或皮带[6]）可以实现同步，但它们往往会引入复杂性，降低机器寿命并增加成本，因此对于振动机械来说不太理想。相比之下，振动同步利用系统内部的动态耦合来实现非刚性的间接同步。这一领域的研究起源于对耦合摆系统的观察。例如，Koluda[7]报告了两个双摆系统的同步现象。Ramírez[8]研究了一个双摆实验，并证明它们的同步是由于通过柔性耦合结构实现的。此外，其他学者也研究了多个摆的同步[9],[10],[11]。然而，由于简单摆对其支撑结构施加的力相对较小，摆的振动同步在工业应用方面的应用远少于不平衡转子（URs）[12]。

UR同步的理论基础由Blekhman[13],[14],[15]建立，他们使用直接分离运动的方法开创了这一理论。在此基础上，Djanan[16]研究了安装在同一振动板上的两个URs在同步状态下的相位差，并得出了稳定的反相位差。Zhang[17]研究了两个URs在超共振区域内的同步现象，展示了刚性框架（RF）的运动是如何由相位差决定的。这些研究为双UR振动机械的成功工业应用[18]奠定了基础，标志着双UR单RF系统的技术成熟度。然而，对于更大规模的结构和更多样化的运动要求，简单地增加UR的质量在机械上是不可行的。因此，研究方向转向了使用多个URs。Chen等人[19]探索了在单个RF上对称布置的四个URs的系统。虽然这增加了激励力，但仍然存在一个显著的限制：大量振动会传递到地基上，需要强大的振动隔离。

为了解决这个问题，提出了串联连接的多RF系统以增强振动隔离。Sun[20]和Zhao[21]对这类系统的研究代表了重要的进展。这些系统由于具有多个自然频率，在不同频带内表现出丰富的动态特性。然而，这些研究中存在一个共同的限制：它们的激励源布置大多遵循传统思路，即少数URs集中在单个RF上。这种配置无法充分利用多RF系统的动态潜力或实现对振动能量的精确控制。为了解决这一限制，我们的研究团队将重点从“激励源的数量”转向“激励源的空间分布”。我们的初步探索性工作[22,23]首先实现了一个三RF系统，其中两个UR分别安装在两个内部RF（IRFs）上（即“每个框架一个转子”），初步证实了改变激励源分布对控制系统运动状态的实际价值。这项研究揭示了由不同激励源空间分布引起的两种全局运动状态，清楚地展示了分布式配置的有效性。然而，由于每个RF只有一个激励源，这种配置无法形成系统动态中的关键组成部分——即同一RF上多个UR之间的强耦合。

基于此，本研究旨在通过整合三种耦合关系来构建更完整的动态图景：“同一RF内UR之间的耦合”、“不同RF间UR组之间的耦合”以及“UR组与RF之间的耦合”。为此，我们引入了当前的工作：一个由四个反向旋转的UR驱动的垂直耦合三RF系统，这些UR战略性地分布在两个IRFs上（每个RF上安装两个UR）。这种分布式激励配置使我们能够研究UR-RF网络中的同步现象，包括在高振幅振动状态和由于激励力自我抵消而产生的全局静止状态之间的可控切换。

本文的主要研究目标包括：(1) 建立分布式四UR三RF系统的动态模型；(2) 揭示系统在频率变化过程中表现出的多模式同步特性；(3) 通过理论和实验相结合的方法阐明从强振动到全局静止状态的状态转换机制。研究结果为设计可以在两种不同状态下运行的系统提供了理论基础：对于需要高振幅振动的专用振动机械，可以采用叠加状态（同相同步）；而对于振动不希望出现的多转子设备，则可以采用力抵消（抑制）状态（反相同步）。通过改变激励频率，可以根据实际需要灵活地在两种状态之间切换，避免不必要的振动、磨损和噪声。

本文的结构如下：第2节介绍动态模型并展示关键实验现象；第3节提供同步的理论分析；第4节进行全面的数值和实验分析；最后，第5节给出结论。

系统描述
图1展示了系统的结构组成和动态模型，该系统由三个RF（mi,i=1,2,3）组成，由四个UR（m0j,j=1,2,3,4）驱动。符号r代表每个UR的偏心半径。外部RF（ORF）m3通过外部线性弹簧（ky）连接到固定基座，并受到垂直导轨的限制，只能沿y方向移动。两个IRFs（m1,m2）各自通过内部线性弹簧（k1,k2）连接到ORF，并受到水平方向的约束。

系统同步的理论分析
当前系统的同步运动是一种动态耦合现象，起源于驱动电机的扭矩平衡。如图5所示，可以通过两个相互连接的层次来理解：驱动层（电机和UR）和振动层（IRF和ORF）。在驱动层中，电机j提供电磁扭矩Tej来驱动其UR，而UR则受到一个与Tej相反的负载扭矩TLj的作用。当电机的剩余输出扭矩不同时，

状态转换和同步动态
本节基于前面的理论框架进行了数值分析，使用的系统参数如下：m1=1.548kg, m2=1.548kg, m3=5.977kg, m01=0.046kg, k1=5780N/m, k2=5780N/m, ky=95000N/m, ξx1=0.0707, ξx2=0.0707, ξy=0.0707, fd1=0.05N·m·s/rad, fd2=0.05N·m·s/rad, r=0.02m。将这些参数代入方程(1)，计算得到水平方向的自然频率为ωnx=ωnx1=ωnx2=59.4rad/s，垂直方向的自然频率为ωy=101.3rad/s。

结论
本研究系统地研究了具有两个IRFs上的分布式四UR配置的新型振动系统的同步动态。通过理论分析、数值模拟和实验验证，我们证明了这种分布式激励架构导致了在两UR系统中不存在的独特涌现行为。主要发现是：
(1) 系统表现出由频率引起的两种稳定同步状态之间的转换，

作者贡献
所有作者都参与了研究的构思和设计。XC提出了方法论并起草了手稿。CZ进行了理论分析和数值模拟。JZ进行了实验数据收集。VS监督了研究并修订了手稿。所有作者都阅读并批准了最终手稿。

资助
本研究得到了中国国家自然科学基金（项目编号51905081）的支持。

数据可用性
在当前研究中生成和分析的数据集可以根据要求从相应的作者处获得。

未引用的参考文献
[29]

作者贡献声明
Xiaozhe Chen：撰写——初稿，方法论，资金获取，概念化。
Chengbin Zhang：软件，调查。
Jiaqi Zhang：验证，调查。
Vladislav Sorokin：撰写——审稿与编辑，监督。