基于后验不确定性最小化的多类型传感器部署优化的高效贝叶斯框架

《Journal of Sound and Vibration》：Efficient Bayesian framework for multi-type sensor placement optimization based on posterior uncertainty minimization

　　•基于运行负载统计的贝叶斯多类型传感器布置。•当传感器数量少于模式数量时，负载先验有助于重建的规范化。•一个无量纲的A-最优后验迹标准可以处理混合类型的传感器。•顺序浮动选择与秩一更新保持搜索效率。•低成本下的鲁棒响应重建，具有可信区间。

引言

现代大规模工程结构，如高层建筑、长跨度桥梁和航空航天器，在其使用寿命期间不可避免地会因复杂环境负载的综合作用而性能下降和损坏积累[1]，[2]。为了确保结构的安全性和完整性，已广泛实施了结构健康监测（SHM）系统，以基于测量的响应数据连续跟踪结构动态特性[3]。然而，对于具有大量自由度（DOFs）的实际工程结构来说，在所有空间DOFs上安装传感器在经济上是不切实际的，且在物理上也是不可行的。传感器配置受到有限的项目预算、数据采集系统的通道容量以及现场访问限制的固有约束[4]。为了最大化提取的结构动态信息量并保证后续状况评估的可靠性，确定有限数量传感器的最佳空间位置，即所谓的最佳传感器布置（OSP）问题，已成为设计可靠SHM系统的基本且关键的问题[5]。

迄今为止，许多经典OSP方法已在确定性理论框架内开发，并成功应用于各种工程领域，包括响应重建[6]、模态扩展[7]和损伤识别[8]。通常，OSP程序通过战略性的传感器空间分布来优化特定目标或成本函数。根据其底层的物理和数学原理，这些优化标准可以大致分为几类。第一类侧重于模态保证标准（MAC）[9]。其核心理念是最小化MAC矩阵的非对角元素，确保选定的测量位置保持目标模式的最佳空间线性独立性，以防止系统识别过程中的模态混叠。第二类依赖与节点处测量能量相关的指标，例如经典的模态动能（MKE）[10]和模态应变能（MSE）方法[11]。这些策略主张将传感器放置在表现出最大结构振动能量的自由度（DOFs）上，以保证获取信号的足够高信噪比（SNR）。第三类包括基于Fisher信息矩阵（FIM）特性的方法，其中Kammer提出的有效独立性（EFI）方法最具代表性[12]。通过最大化FIM的行列式[13]或迹[14]，这些方法试图从信息论的角度最小化模态坐标无偏估计的方差[15]。最近的发展进一步将EFI类型的公式从基本的独立误差假设扩展到涉及完整测量误差协方差矩阵的一般FIM，从而在存在相关或非均匀误差时提高了传感器重要性评估的严谨性[16]。此外，文献中还持续研究了其他各种标准，如平均驱动点残差（ADPR）[10]、基于主成分分析（PCA）的指标[17]以及量化冗余信息的指标[15]。

一旦确定了优化标准，OSP的后续阶段就是解决一个组合优化问题，以确定使目标函数最大化的最佳传感器配置。当候选传感器位置的集合相对较小时，可以采用穷举搜索来评估所有可能的组合，从而在该受限的候选集合中找到最优解。或者，可以采用启发式方法来高效探索接近最优的传感器配置[18]。这些方法通常从基线集合开始，依次移除（或添加）对预定义的结构性能指数贡献最小的（或最大的）空间自由度（DOFs）。虽然现代智能全局优化算法，如模拟退火（SA）[19]和遗传算法（GA）[11]已被应用于OSP，以减少对局部最优解的敏感性，但它们通常计算负担过重且收敛速度慢，特别是对于具有庞大搜索空间的大规模结构。此外，随着近年来多源传感技术的快速发展，在SHM领域集成多种类型的传感器（例如应变计、位移传感器和加速度计）[20]越来越受到关注。这种多度量融合提供了一种有前景的方法，可以协同捕获结构系统的局部应力状态以及全局低频和高频动态特性。还出现了集成多种既定布置标准的综合软件框架，并接受数值和实验输入，从而简化了在真实结构上应用经典OSP方法的过程[21]。有两类文献与本工作相关。Adarsh和Ray-Chaudhuri[22]通过贝叶斯系统识别在建模不确定性下定位了用于动态应变恢复的应变和加速度传感器，并表明基于方差的性能度量可以揭示Fisher信息指标可能无法捕捉到的病态条件。在全尺度钢结构上分别展示了优化布局的应变计操作模态分析[23]，这支持在设置异构布置问题时从测量数据而不是模型中组装模态基础。

在实际的SHM应用中，监测过程不可避免地会受到各种不确定性的影响[24]。这些主要包括理想化数值仿真模型与实际物理结构之间的差异引起的建模误差[7]、受传感器干扰的固有测量噪声[25]，以及由多种随机运行负载引起的动态干扰[17]。在这种复杂条件下制定OSP策略需要严格考虑这些不确定性的来源和幅度，分析它们对最终传感器配置的不利影响，以及评估特定布置方案如何有效地缓解不确定性传播。因此，考虑不确定性的OSP方法引起了相当多的研究兴趣。例如，An等人[26]通过整合模态动能和MAC指标，优化了传感器数量和空间布局以进行损伤检测。从信息论的角度来看，Ercan等人[27]使用Kullback–Leibler（KL）散度量化了特定传感器布局的信息价值，该散度基于模型参数的先验和后验分布之间的差异。为了解决严重的建模不确定性问题，Gonen等人[28]提出了一种 robust 框架，用于确定识别民用结构模态特性的最佳传感器位置，并在铁路桥上成功验证了该方法。此外，为了提高结构形状感测的准确性和鲁棒性，Nie等人[29]提出了一种最佳OSP方法，该方法明确考虑了测量不确定性，建立了传感器布局与系统响应重建精度之间的直接映射关系。

上述关注不确定性的OSP研究主要集中在两个层次的不确定性：模型参数不确定性（例如模态频率和形状误差）和测量噪声不确定性。运行负载的作用通常仅限于定义Fisher或KL信息评估的系统输入，而负载统计本身并未作为结构规范传播到布置目标中。因此，当传感器数量与保留的模式数量相等或较少时，底层信息矩阵会变得病态或秩不足，无法唯一确定重建的响应。相比之下，本工作将负载引起的广义响应的先验协方差??????视为一级对象：它作为物理上可解释的Tikhonov型精度矩阵进入最大后验（MAP）重建，并同时通过相同先验下评估的后验协方差进入布置目标。因此，所提出的框架在两个方面不同于KL散度（D-最优）BOED研究。首先，相同的负载先验同时用于布置标准和下游响应重建，因此选定的布局和部署的重建变换矩阵是明确对齐的。其次，为任何候选布局产生的后验协方差可以直接解释为重建响应的可信区间生成器，这提供了一种先验不确定性诊断，这是纯确定性OSP方法（如有效独立性类型标准）所不具备的。

在更广泛的贝叶斯最优实验设计（BOED）框架内，可以通过不同的后验不确定性标量化来比较传感器布局，包括基于行列式的D-最优标准、基于最大特征值的E-最优标准、基于积分方差的I-最优标准以及基于后验协方差迹的A-最优标准[30]，[31]。在高斯线性设置中，信息论的KL散度标准与后验体积的D-最优减少密切相关。相比之下，本工作采用了无量纲后验协方差的爱优标量化，因为迹直接解释为重建的广义响应的总均方误差，并且对模态基础的正交变化是不变的。表1将本框架与代表性布置方法进行了比较，考虑了先验是否与重建变换矩阵共享、设计时是否提供可信区间以及是否可以在一个目标中混合不同类型的传感器。

为了实现共享先验、可信区间和适用于混合传感器类型的特性，本文提出了一种由后验不确定性的全面量化和最小化驱动的新结构动态传感器布置方法。首先，在贝叶斯推理框架内建立了广义物理系统响应与广义模态响应之间的严格映射关系。通过结合关于随机运行负载和系统固有属性的先验知识，后验协方差矩阵得到了解析公式化。随后，采用重建响应的后验协方差最小化作为目标函数，引入了顺序浮动前向选择（SFFS）算法。这种迭代启发式方法使用灵活的回溯机制系统地消除不同结构节点之间的空间信息冗余，其秩一协方差更新保持了大型候选池的搜索可行性。最重要的是，在全局响应重建过程中，先验协方差本质上起到了等效的规范约束作用（类似于Tikhonov规范），防止了病态矩阵求逆。因此，即使在严重不利条件下（例如传感器数量极有限和信噪比（SNRs）极低的情况下，所提出的方法也表现出卓越的重建准确性和鲁棒性。

本文的其余部分组织如下：第2节推导了多类型传感器的广义观测模型和贝叶斯重建理论。第3节介绍了先验响应协方差的统计构建方法。第4节详细介绍了无量纲目标函数的公式化和带有SMW秩一协方差更新的SFFS搜索程序。第5节介绍了两个数值验证示例。第6节提供了冲击激励悬臂板的实验验证。最后，第7节提供了结论性意见。首先，对于给定的悬臂板撞击响应实验验证，本节使用悬臂薄板撞击响应数据来验证所提出的传感器布置和全场响应重建方法。实验设置和全场位移测量基于[32]中报告的悬臂板测试，其中采用了基于单目仿射的成像技术来测量平面外的振动。在本研究中，使用测量得到的位移数据来评估稀疏位移传感器布置的有效性。

结论

本文开发了一个考虑不确定性的贝叶斯最优传感器布置框架，用于单类型和多类型传感器候选者的稀疏动态响应重建。该框架结合了高斯MAP重建模型、先验协方差正则化、无量纲A-最优后验迹目标以及SFFS搜索程序和SMW秩一协方差更新。主要研究结果总结如下：

•所提出的公式将传感器布置与响应重建联系在一起。

作者贡献声明

黄策：撰写——原始草稿、验证、研究、概念化。
冯敦：可视化、软件开发、研究、数据管理。
刘婷：验证、研究、数据管理。
王丽：撰写——审稿与编辑、监督、方法论、概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能会影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。