具有随机重置和有限速度回报的Lévy搜索：从无响应的开销到有响应的检测

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Lévy search with stochastic resetting and finite-speed return: From non-reactive overhead to reactive detection

　　•针对具有有限速度返回的Lévy搜索，我们开发了一个两阶段模型。•只有当??>1时，完整的两阶段稳态才是可标准化的。•非反应性返回能够保持瞬时重置的MFAT指数。•对于1
引言
从一般意义上讲，随机动力学的数学基础，包括随机微分方程、Fokker–Planck描述、首次通过问题和边界值公式，是非平衡统计物理和随机建模中的标准工具[1]、[2]、[3]。在生物学和软物质背景下，随机传输通常与空间异质性、内部状态、间歇性切换和搜索过程交织在一起；系统性的讨论可以在以生物学为重点的随机过程文献中找到[4]、[5]。
随机重置已成为现代非平衡随机过程、首次通过现象和搜索优化研究中的核心范式之一。在其最简单的形式中，重置会中断一个正在进行的随机运动，并将粒子重新定位到一个预定位置，通常是初始点或回家位置。然而，历史上这种类型的随机中断机制并不局限于最近的“重置”术语。与之密切相关的想法较早出现在杀死、重启和灾难过程的理论中，在这些理论中，连续的随机演化在随机时间点被泊松控制事件中断。在这种表述中，概率密度通常遵循与重置过程相同的基本结构的演化方程，即一个自由演化项加上由泊松中断产生的损失项以及一个更新或重新分布项。对于重置到固定点??0的情况，这种结构可以示意性地表示为???????(??,??)=?????(??,??)???????(??,??)+??????(?????0)，更一般的灾难或重启模型则用适当的灾后分布来替换最后一项。分支、生死和带有灾难或灾变的移民过程在20世纪70年代和80年代就已经被研究过[6]、[7]、[8]、[9]。因此，Evans和Majumdar[10]的工作最好被视为一种特别透明且有影响力的物理表述，用于扩散的随机重置，这引发了将随机重置作为一个广泛的框架来研究非平衡稳态、首次通过控制和搜索优化的最新发展。从那时起，已经证明随机重置可以深刻改变随机动力学的时间和空间统计特性。
特别是，重置可以在原本会无限扩散的过程中产生一个非平凡的非平衡稳态（NESS），并通过抑制过长的不成功徘徊来使首次通过的可观测量变得有限且可优化[10]、[11]、[12]。这种基本的重置机制随后被扩展到更广泛的首次通过和重启框架中，包括最优重启和普遍的首次通过波动[13]、[14]。它也已经在有界域和空间异质环境中进行了研究[15]、[16]、[17]。进一步的发展包括局部时间统计、局部重置以及具有重置的相互作用粒子系统[18]、[19]、[20]。有关该领域的最新综述，请参见参考文献[12]、[21]。
最近的研究还表明，泊松重置的几个定性后果被非常不同的随机过程所共有。对于幂律异常扩散，重置可以恢复遍历特性并产生稳态统计[22]。对于指数级快速的过程，如几何布朗运动，重置会导致稳态但非遍历的行为和非平凡的时间平均可观测量[23]。对于对数级慢或超慢的扩散，泊松重置再次产生一个非平衡稳态，并且有一个优化重置率，该重置率可以最小化平均首次通过时间[24]。这些例子强调，尽管未重置的动力学和缩放律非常不同，泊松重置可以生成类似的优化结构。特别是，目标定位或首次通过时间对重置率的非单调依赖性是重置控制搜索的一个稳健特征，而不是普通布朗扩散的特有现象。这种更广阔的视角激发了人们思考当底层搜索动力学是非局部的时候，相同的重置诱导优化机制如何被修改，例如在Lévy搜索中。
在非局部搜索模型中，一个特别重要的研究方向是基于Lévy统计的随机搜索。对称的Lévy飞行和Lévy行走是非局部探索的典型模型，其中罕见但非常长的位移与许多较短的移动共存[25]。它们已被用来描述和优化生态学、生物学和物理背景下的随机搜索，在这些背景下，局部探索与长距离重新定位之间的平衡至关重要[26]、[27]。因为重尾运动可能会加速发现或产生无效的超出，Lévy搜索的最优性严重依赖于目标几何形状、检测规则以及用于量化搜索性能的可观测量。
Ku?mierz和Gudowska-Nowak[28]系统地分析了Lévy飞行的瞬时重置问题，他们推导出了平均首次到达时间（MFAT）的精确表达式，并表明最佳策略强烈依赖于目标距离。在这种瞬时重置设置中，稳态轮廓是对称的Linnik密度。在下面的符号中，它通过其傅里叶变换最方便地定义，即??????(??;??,??)=11+|?????|??,????=????，在??=2的布朗极限下，这个表达式简化为拉普拉斯密度。这一系列分布可以追溯到Linnik早期关于线性形式和统计标准的工作[29]，并与几何稳定律及其后来的表示形式密切相关[30]。同样的Linnik律自然地出现在瞬时重置的Lévy飞行的稳态密度中[28]。特别是在短距离内，布朗搜索更受青睐，而对于足够远的目标，则可能更倾向于??<2的重尾策略。此后，还研究了连续时间随机行走和Lévy行走、在随机重置下的Lévy飞行和Lévy行走，以及在中断驱动的Lévy搜索中的跃过优化[31]、[32]、[33]。这些研究表明，重置不仅仅简单地截断重尾运动；相反，它重新组织了长距离重新定位、重复重启和目标检测之间的竞争。
对于Lévy搜索来说，首次到达和首次通过之间的区别至关重要。因为Lévy飞行具有不连续的轨迹，一条路径可能跳过一个点目标而不访问它。因此，到达点目标的首次到达时间并不等同于首次穿过该点的时间[28]、[34]、[35]。这一特性在当前的有限返回设置中尤为重要，因为重置可能发生在超出现象之后，随后的返回轨迹可能会穿过目标。
尽管有上述进展，现有的许多理论仍将重置视为一种瞬时重新定位。这个假设在数学上很方便，但在物理搜索过程中往往过于局限。在现实情况中，搜索者可能需要一定的时间才能返回到回家位置；被传输的粒子可能需要被主动驱动回到重置点；生物觅食者可能需要返回到巢穴或庇护所；算法重启可能会带来真正的开销。例如，在觅食动物返回巢穴、移动机器人或自主代理返回基站、被外部场驱动的活跃或被传输的粒子，以及需要重新初始化时间的随机算法中都会出现这种情况。在这些例子中，返回阶段可能纯粹是一个非反应性的开销，比如在重新定位期间代理无法进行搜索；或者它可能仍然是反应性的，比如返回路径仍然能够检测或与目标交互。这种区别激发了我们下面分析的两种检测协议。最近关于活性粒子窄孔穿越和重置诱导的棘轮效应的研究也表明，重置可以用作一种主动传输或控制机制，而不仅仅是一个抽象的更新操作[36]、[37]、[38]。一旦考虑到这种有限时间的返回，重置就不再是一个零时间的更新事件，而是过程的额外动态阶段。这种更广泛的观点得到了最近关于有限速度返回、有限时间随机重置、随机或噪声性回家返回协议、有限时间重置的热力学成本以及具有重置的跳跃过程的首次通过的研究的支持[39]、[40]、[41]、[42]、[43]、[44]。
有限速度返回已经在布朗和带有开销的重置设置中显示出非平凡的效果。例如，Pal、Ku?mierz和Reuveni表明，对于具有随机重置和有限速度返回的布朗扩散，完整的时间依赖密度可以显示出对返回速度的非平凡不变性[39]。实验和实验理论研究也证明了在受控布朗系统中可以实现和优化重置现象[45]、[46]。更最近，Biswas、Kundu和Pal为有限时间回家协议开发了一个统一的更新框架，并表明当返回阶段本身具有有用的随机结构时，搜索甚至可以被加速[40]。这些结果表明，一旦重置被赋予一个明确的返回阶段，就必须区分作为纯重启机制的重置和作为搜索动态一部分的重置。
对于Lévy搜索来说，这种区别变得特别重要。因为Lévy飞行可能会在未首先到达目标的情况下超过目标，所以重置可以从目标的远端发生。如果目标在返回期间是非反应性的，那么这样的超出现象返回轨迹只会导致时间成本。然而，如果目标在返回期间仍然是反应性的，那么相同的轨迹可以转化为一个成功的检测事件。在传统的瞬时重置模型中，返回到原点是瞬时的，动态中没有明确的返回轨迹。一旦为返回分配了一个有限的速度，返回期间的目标检测规则就成为了模型定义的一部分。因此，有限速度返回可以扮演两个根本不同的角色：它可能是一个非反应性的开销，或者它可能成为搜索机制的活跃部分。
基于这些考虑，在本文中，我们研究了一个受泊松重置影响的一维对称??稳定Lévy飞行，重置率设为??，其中重置不会立即将粒子重新定位到原点，而是启动一个具有有限速度??的弹道返回。我们将动态表述为一个两阶段过程，区分活跃搜索阶段和确定性返回阶段。在这个框架内，我们分析了两种目标检测协议。在案例A中，目标仅在搜索阶段是反应性的，因此返回阶段是一个非反应性的开销。在案例B中，目标在返回期间仍然是反应性的，因此超出现象返回轨迹可以直接贡献于检测。
我们的第一组结果关注非平衡稳态（NESS）。我们展示了有限速度返回改变了稳态的结构和存在范围。对于0我们的第二组结果关注首次到达特性。在案例A中，目标仅在搜索期间是反应性的，我们推导出了MFAT的精确表达式，并表明有限速度返回作为一种非反应性的开销。它保留了瞬时重置问题的近目标和远目标指数，即?????1和????+1，同时重新标准化了前因子并在慢返回极限下产生1/??的散度。在案例B中，目标在返回期间也是反应性的，返回路径成为另一个检测通道。超出现象返回轨迹修改了更新结构，保持了近目标指数不变，并使远目标的MFAT缩放从????+1变为????。这种机制在布朗终点中是不存在的，因为路径连续性禁止在没有先到达的情况下超出现象。
最后，我们研究了在公平比较规定下改变Lévy指数[28]时对最优搜索的影响。优化表明，非反应性返回会惩罚长时间的徘徊，而反应性返回可以利用它们。对于足够远的目标，案例B更强烈地支持类似Lévy的策略，并且一旦返回速度超过一个有限的交叉值，就可以优于瞬时重置基准。因此，有限速度返回不仅仅是对瞬时重置的修正；其效果取决于返回阶段是成本还是搜索机制的活跃部分。
本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们推导了包括重新注入电流、阶段权重、存在范围和远尾行为在内的两阶段过程的NESS。在第3.1节中，我们分析了案例A的首次到达问题，并推导出了精确的MFAT及其短距离和长距离渐近性。在第3.2节中，我们对案例B进行了相应的分析，并展示了反应性返回如何改变更新结构和远距离目标缩放律。在第3.3节中，我们在公平比较的准则下优化了MFAT，比较了三种协议作为目标距离的函数，并分析了反应性返回优于即时重置的返回速度阈值。最后，第4节总结了主要结论并讨论了可能的扩展。

在讨论首次到达特性之前，我们首先确定了两相过程的非平衡稳态（NESS）。在即时重置问题中，稳态起着核心作用，因为MFAT可以用重置过程的稳态Linnik密度来表示[28]。在当前模型中，重置不是一种瞬时重新定位。相反，重置事件将粒子从搜索阶段转移到一个确定性的返回阶段，在此期间，粒子以弹道方式返回。

案例A：仅在搜索阶段检测目标
我们现在转向目标仅在搜索阶段具有反应性的情况下的首次到达特性。在这种协议中，弹道返回阶段是完全非反应性的：粒子在返回过程中可能穿过目标，但这样的穿过不算作检测。因此，返回阶段仅作为时间上的开销。案例A因此是最接近标准即时重置问题的有限速度返回类比，重要的区别在于每个粒子都有...

在本文中，我们研究了具有一次性对称??-稳定Lévy飞行特性的首次到达特性，其中返回到原点的过程不是瞬时的，而是以有限速度??的弹道方式进行的。通过将动力学表述为一个由活跃的Lévy搜索阶段和确定性的返回阶段组成的两相过程，我们为分析NESS和MFAT提供了一个统一的框架。这种表述明确表达了主要的物理机制。

CRediT作者贡献声明
Yan Xu：监督、资金获取、写作——审阅与编辑。
Yali Xue：写作——原始草稿、方法论、形式分析、概念化、软件开发、验证。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的会影响到本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢
本工作得到了中国国家自然科学基金（NNSFC）（编号11801128、12171135和11771115）、河北省自然科学基金（编号A2018201109和A2020201021）以及河北大学跨学科研究计划（编号DXK202512）的支持。

Yan Xu | Yali Xue