使用具有空间和时间跨度的贝叶斯双广义贝塔回归来构建有界幸福指数模型

《Spatial Statistics》：Modeling bounded well-being indices using Bayesian double generalized beta regression with spatial and temporal borrowing

　　• 贝叶斯双广义贝塔回归模型，该模型使用个体级别的协变量来拟合均值，并使用邮政编码级别的协变量来拟合邮政编码内间的离散度。
• 基于驾驶时间从相邻邮政编码中借用信息。
• 通过先验公式在年度调查之间借用信息，以改善对邮政编码效应的估计。
• 使用边际效应对贝塔回归的结果进行有意义的解释。

引言
在精细的地理尺度上量化健康和福祉对于识别特定社区的挑战和为有针对性的政策干预提供信息至关重要。已经开发了几个公开的指数来衡量不同地理层面的健康和福祉结果。例如，罗伯特·伍德·约翰逊基金会（Robert Wood Johnson Foundation）的县健康排名（County Health Rankings）根据超过30个健康结果和健康因素指标来对全国各县的排名（Remington等人，2015年）。盖洛普健康方式福祉指数（Gallup-Healthways Well-Being Index）每天调查大约500名成年人，并在州或大都市统计区（MSA）层面汇总五个主要维度的回应——身体、社区、财务、社会和目的（Skopec等人，2014年；Wood和Riffkin，2015年）。其他指数，如整体健康指数（Whole Health Index）（Chi等人，2023年）和环境保护署的人类福祉指数（Environmental Protection Agency’s Human Well-Being Index）（Summers等人，2017年）也主要在县级层面进行操作。然而，美国退休人员协会（AARP）的宜居性指数（Livability Index）提供了更细粒度的空间单元的得分，包括人口普查区块组（Census block groups）（Guzman和Douglas，2015年）。

许多这些指数，包括本研究中分析的福祉指数（WBI），都是在有界范围内定义的。然而，很少有建模框架明确考虑这一限制。贝叶斯回归模型非常适合这类数据。虽然通常用于模型化率和比例（Ferrari和Cribari-Neto，2004年；Douma和Weedon，2019年），但贝叶斯回归也被用来分析有界得分和指数。例如，Hunger等人（2012年）使用纵向贝叶斯回归模型来分析与健康相关的生活质量得分，而Rogers等人（2012年）开发了一个贝叶斯回归框架来模拟阿尔茨海默病研究中的认知得分。贝塔分布的一个关键优势是其双参数结构，这使得可以灵活地建模均值和精度（离散度）。双广义贝塔回归——也称为变差贝塔回归——将均值和方差共同作为外部协变量的函数来建模（Simas等人，2010年；Cepeda-Cuervo，2015年；Zhao等人，2014年），这一方法最初由Cepeda（2001年）在贝叶斯背景下提出。这些模型已应用于教育研究，以模拟学生在数学、语言和阅读能力方面的表现（Cepeda-Cuervo和Nú?ez Antón，2013年；Bayer和Cribari-Neto，2017年）。

在本文中，我们提出了一个新颖的贝叶斯双广义贝塔回归框架，使用2021年至2023年在马萨诸塞州收集的年度调查数据来建模个体层面的WBI。尽管每年的受访者有所不同，但回答被地理标记到邮政编码统计区（ZIP Code Tabulation Areas，ZCTAs），从而实现了空间和时间信息的整合。

现有的贝叶斯回归应用很少结合空间或时间依赖性，这在处理如州或县这样的大而异质的地理单元时是合理的。然而，在涉及较小地理单元（例如ZCTAs）且内部数据有限的情况下，利用空间结构对于提高估计精度至关重要。在我们的框架中，我们使用基于ZCTA人口中心之间的驾驶时间构建的图拉普拉斯矩阵（graph Laplacian matrix）来纳入空间结构。Cepeda-Cuervo和Nú?ez Antón（2013年）在贝叶斯双广义贝塔回归模型中纳入了空间滞后，而Martínez-Minaya等人（2019年）在点参考数据中使用了空间结构化的随机效应。我们的方法将这些想法适应于ZCTA级别的区域数据。此外，在我们的双广义建模设置中，我们使用个体级别的协变量来拟合均值，使用ZCTA级别的协变量来拟合离散度，从而能够捕捉ZCTA内部和ZCTA之间的福祉变异性。我们的目标是捕捉ZCTAs的特征，这些特征可以揭示ZCTAs内部的不平等或福祉差异。此外，我们还开发了实现我们模型的软件，可以在https://github.com/abhijainstats/BayesBadger找到。

我们对连续三年的年度福祉调查数据分别拟合贝叶斯贝叶斯回归模型。在不同年份之间借用时间信息对于小的地理单元特别有价值，在这些单元中数据可能稀疏或高度异质。这种方法通过利用持久的空间模式来稳定估计，并通过引入前一年的信息来减少过拟合。在贝叶斯框架内，它还提供了一种将先验知识跨时间整合的原理性方法。具体来说，我们使用一年的ZCTA级别空间效应的后验估计作为下一年的信息性先验——这一策略在概念上类似于贝叶斯借用，在临床试验设置中也有应用，其中数据通常是批量收集的（Muehlemann等人，2023年）。我们提出的框架结合了（i）通过地理信息丰富的邻域结构来引入空间信息，以及（ii）通过利用前一年的后验估计来引入时间信息，在本文的其余部分我们将这统称为借用。

据我们所知，这是首次应用双广义贝塔回归框架来同时整合空间和时间依赖性的案例，此前尚未有人探索过。空间依赖性是通过图拉普拉斯（graph Laplacian）来确定的，其中邻居是基于ZCTA人口中心之间的驾驶时间来定义的，这与更标准的空间平滑技术（如条件自回归（CAR）模型（Besag，1974年）不同。使用ZCTA人口中心之间的驾驶时间来定义邻居可以更准确地反映个人对其所在ZCTA以外的资源和设施的利用情况。具体来说，我们使用30分钟的阈值来定义邻居，即平均通勤时间为28分钟（Burd等人，2021年），并且94%的美国人居住在距离HRSA支持的医疗中心30分钟车程范围内的地方（Rankin等人，2024年）。使用图拉普拉斯来定义空间依赖性的另一个优势是，我们的模型可以通过从相邻ZCTAs借用信息来估计没有观测数据的ZCTAs的ZCTA级别效应。此外，通过使用贝叶斯框架，模型还可以通过对先验的采样来估计没有观测数据和邻居的ZCTAs的ZCTA级别效应，其协方差已经是空间化的。除了在空间上借用信息外，我们还在时间上从 previous years 的数据中借用信息。通过使用前一年模型中的ZCTA级别效应的后验估计作为下一年的先验，我们 implemented 了一种时间正则化形式，这是现实的，因为我们预计ZCTA级别的效应每年不会显著变化。这种时间借用方法也与标准的时间序列模型（如AR(1)模型）不同，后者需要足够的时间点来可靠地估计自相关性。相比之下，我们的方法通过先验直接编码时间依赖性，使得信息可以随时间共享，而在我们的案例中只有三年的调查数据，这是特别有优势的。

为了评估我们的方法，我们进行了一个模拟研究，展示了借用空间和时间信息的好处。然后我们将模型应用于马萨诸塞州的真实世界福祉数据，识别出西马萨诸塞州、科德角（Cape Cod）和波士顿郊区具有最高ZCTA空间效应的ZCTAs。此外，从我们的模型中，我们发现收入、婚姻状况和高等教育与福祉的关联最大。本文的其余部分组织如下：第2节概述了建模框架和估计方法；第3节介绍了模拟研究；第4节介绍了数据并详细介绍了真实数据分析的结果；第5节总结了发现、局限性和未来的研究方向。

**节选**
**贝叶斯贝塔回归与借用**
我们感兴趣的结果WBI的取值范围在[0,100]之间。由于贝塔分布的支持范围是(0,1)，我们相应地对WBI得分进行了转换。如果数据排除了边界值，那么简单的除以100的缩放就足够了。然而，由于WBI得分可能恰好等于0或100，我们应用了Smithson和Verkuilen（2006年）提出的转换，以确保所有转换后的值严格位于(0,1)范围内：

$$
\mathbf{Y} = \frac{\mathbf{Y}'}{100} + 0.5N,
$$
其中 $\mathbf{Y}' = \frac{\mathbf{W} \mathbf{I}}{100}$，$\mathbf{W}$ 是样本矩阵，$\mathbf{N}$ 是样本大小。

**模拟研究**
模拟研究旨在评估我们建模框架的三个关键方面。首先，我们评估模型在均值模型和精度模型中准确捕捉协变量效应的能力。其次，我们检验模型估计ZCTA级别空间效应的准确性。第三，我们研究每年之间借用信息（通过使用一年的ZCTA效应的后验估计作为下一年的先验）是否能提高估计精度。

**数据描述**
我们使用了由Sharecare收集的个体级别的调查数据，Sharecare是一家在美国管理健康和福祉评估的数字化健康公司。这些调查评估了福祉的五个关键维度：身体、财务、社会、社区和目的。我们将在分析中使用整体的WBI得分——一个介于0到100之间的得分。Sharecare每年收集大约500,000份回应；对于本研究，我们关注的是每年进行的调查数据。

**讨论**
在本文中，我们开发了一个具有空间和时间借用的贝叶斯双广义贝塔回归框架，用于模拟2021年至2023年马萨诸塞州的个体福祉。我们的新方法在均值模型中纳入了个体级别的协变量，在精度模型中纳入了ZCTA级别的协变量，同时利用空间结构和跨时间的先验信息来改善估计，特别是在数据稀疏的地区。在精度模型中使用ZCTA级别的协变量。