多带系统中的反杂化相变：一种重整化群方法

《APS Open ScienceNEW》：Dehybridization transition in multiband systems: A renormalization group approach

　　

在强关联多能带系统中，如金属间化合物、重费米子和Kondo绝缘体，电子-电子相互作用导致有限温度下电子准粒子的阻尼。这一现象导致大导带中的电子与窄的关联带中的电子之间发生有效的反杂化。反杂化效应已被用于解释金属间化合物、重费米子和锕系化合物的多种物理性质的温度依赖性。近年来，非厄米系统理论的最新进展为这一问题提供了新的视角。在本工作中，我们通过重正化群（RG）方法采用这一观点。我们推导了一个一维双能带模型的重正化群方程，以识别该系统的例外点并表征其拓扑性质。我们的发现表明，对于一个拓扑非厄米粒子-空穴对称链，反杂化可以被解释为一种拓扑相变，其特征由我们计算的临界指数来描述。我们在重费米子相图的背景下讨论了反杂化能量标度的本质。

一、引言

在低温下，在重费米子系统的费米液体区域，稀土或锕系元素的f电子与导带中的电子杂化，产生重准粒子的相干态。在Kondo绝缘体中，这种杂化导致绝缘态或半金属基态。然而，随着温度升高，多体效应和其他与温度相关的散射机制（如电子-声子散射）导致电子准粒子的阻尼并破坏相干态。这是由于有限寿命效应引起的f电子态与导带之间的反杂化[1,2]。在非相干高温区域，f态独立地行为，与导带解耦。

关于多能带系统中电子-电子或电子-声子散射可能改变这些能带之间杂化的概念已在文献[1–3]中讨论。这些工作为理解寿命效应的本质[2]以及它们如何在有限温度下通过使杂化变得不那么有效，最终导致反杂化转变奠定了基础。这种方法已被用于理解金属间系统[3]和f带金属[4–17]的输运性质。此外，在重费米子CeCoIn?的角分辨光电子能谱（ARPES）实验中观察到的随温度降低而出现能隙的现象，已在这一情景内得到解释[18–20]。

一般来说，无序或相互作用会为准粒子引入寿命，而判断准粒子是否仍有用的普遍标准是将它们的能量与阻尼进行比较。在阻尼（即逆寿命）相对于能量较小的区域，这些模式仍然是明确定义的，准粒子的概念仍然有效。这就是为什么长波长声子在玻璃中存在、自旋波在非晶态铁磁体中存在的原因[21]。由于无序引起的这些激发的阻尼对动量的幂律依赖比其能量大。因此，在流体力学极限k→0下，它们仍然明确定义。在电子系统中，相互作用引起准粒子阻尼，在接近费米面时趋近于零的速度比其能量快[21,22]。这种行为的高频对应物出现在液体中[23]，其中明确定义的横向声子激发仅在高频率或大动量下出现[24]，产生有间隙的动量态[25]。

最近，由于非厄米系统、例外点及其拓扑性质研究的进展[26–34]，对反杂化现象有了新的认识。在本文中，我们从这一视角出发，使用重正化群（RG）方法讨论强相互作用多能带系统中的反杂化。导致耗散的相互作用效应以半唯象的方式包含在内[3]，并通过微观计算验证[2,31]。我们的结果强调了例外点与反杂化之间的内在联系。

重费米子中强关联电子自能的参数化，使用局域密度近似和动力学平均场理论（DMFT）[35]计算得到，用于获得准粒子的温度相关寿命，该寿命满足低温和高温极限下的约束条件。

重正化群特别适用于研究非厄米粒子-空穴对称链中的反杂化。由于该链在厄米情况下具有拓扑非平庸相，它允许对多能带材料中拓扑与非厄米性之间相互作用的全面研究。RG方法将反杂化与拓扑相变联系起来，并得出其临界指数。识别出在反杂化转变处发散的表征长度，使得能够数值计算有限链中的关联长度指数。与非厄米链的无相互作用不动点处相互作用的关联相关的交叉指数被直接计算。我们发现，无相互作用、粒子-空穴对称链的边缘模在相互作用达到临界值之前是鲁棒的。

最后，我们讨论了反杂化发生的特征温度的本质，以及它如何与重费米子相图中的Kondo温度和相干温度相关联。

二、零温相干基态

在双能带费米系统中，在零温度下，存在能带间杂化时准粒子的色散关系由下式给出[19]

E±(k) = ?[εc(k) + εf(k) ± √(εc(k) - εf(k))2 + |V(k)|2] (2.1)

其中εc(k)是大导带中粒子的色散，εf(k)是窄带中的色散，V(k)是它们k依赖的杂化。在这里，我们将这些量视为由窄带中的相互作用重正化的有效参数，在这个意义上它们包含了多体效应[36]。然而，为了完全包含多体相互作用和有限温度效应，必须考虑来自自能虚部的准粒子阻尼[2]。自能的实部分通过能量偏移和有效质量包含在有效色散关系中。下面的阻尼将使用半唯象方法考虑。

首先，我们考虑一个费米系统，其中没有杂化时能带的色散由

εc(k) = μ - k2/(2mc)，εf(k) = Ef + μ - k2/(2mf) (2.2)

给出，其中m = mc/mf是有效质量的比值，μ是化学势，Ef是窄带的底部。费米能级取在ε = 0处。在图1中，我们绘制了这些色散关系，其中m = 0.001，μ = -0.01，Ef = 0.5。我们在图1中标出了三个特殊波矢量：首先，k?，两个能带交叉的地方；其次是kf和kc，分别为未杂化的f带和c带的费米波矢量。

图1. 无杂化时双能带系统的色散关系。费米能级在ε = 0处。我们强调了三个特殊波矢量：能带交叉处的k?以及导带和窄带的费米波矢量kc和kf。我们取m = 0.001，μ = -0.01，Ef = 0.5。

对于杂化，我们取反对称的V(k)，适合不同宇称轨道之间的混合，如d和f轨道[37,38]。在二维方形晶格中，我们得到V(k) = iV?sin(kx)sin(ky)。V(k)的这种形式来源于V(r)在实空间中的性质。这种形式的V(k)破坏了对称性，但由于它是纯虚数，它保持了系统的时间反演不变性。我们考虑小k展开，使得V(k) = iV?kx ky。对于对称杂化，保持空间反演和时间反演对称性的情况，V(k)是实数[27]。我们这里关注反对称情况，因为它与非常规拓扑性质有关，如下所述。

对于V(k) ≠ 0的杂化能带色散关系如图2所示。所有能量都由V(k)重正化。注意在kx = ky线上出现的一对节点，这是由反对称杂化产生的。

图2. 杂化能带的色散关系，V(k) = iV?kx ky，m = 0.001，μ = -0.01，Ef = 0.5，显示出沿kx = ky线的两个节点。

三、反杂化转变

为了在方程(2.1)中完全纳入多体和温度效应，我们必须包含准粒子的阻尼。这里，我们只考虑重准粒子的阻尼。我们采用通常的设定[2,3]，在这些模式的能量色散中引入虚部，即E→E - iΓ。这种方法在多篇论文中得到论证，包括文献[2]和[31]。我们还假设Γ与k无关，但有温度依赖性。

准粒子的能量现在由下式给出

E±(k) = ?[εc(k) + εf(k) - iΓ ± √((εc(k) - εf(k) - iΓ)2 + V2(k))] (3.1)

其中

Δ(k) = (εc(k) - εf(k) - iΓ)2 + V2(k) (3.2)

其中我们使用了上述表示。

如文献[2,31]所指出的，由于多体效应引起的f模式的寿命与它们自能的虚部有关：

Γ = -ImΣ(E=0) (3.3)

这个量对于重费米子系统CeCoIn?使用DMFT方法计算[35]。它显示在图3中，连同对DMFT结果[18]的参数化：

Γ(T) = A[T/(T + Tk)]2 (3.4)

图3. CeCoIn?中f电子自能虚部作为温度的函数，由文献[35]中的DMFT计算得到（点）。线是对计算点数的参数化，由Γ(T) = A[T/(T+Tk)]2给出，其中A = 0.01，Tk = 120K [18]。

这个函数对CeCoIn?的结果给出了很好的描述，如图3所示。对于这种化合物，它给出A = 0.01和Tk = 120K。当T→0时，f准粒子的寿命变得非常大，τ→∞，系统处于相干基态，具有完全杂化的能带。在低温下，方程(3.4)给出费米液体逆寿命的T2温度依赖性。特征温度Tk标志着随着温度降低费米液体区域的开始。在高温下，逆寿命饱和于一个有限值，这基本上是重准粒子的带宽。这种在τ~1/T时的饱和是一个重要特征，可以看作是不确定性原理的结果[3]。从输运性质的角度来看[3,4]，在这些高温下，由于f散射的电阻率饱和，因为导带和f电子解耦，输运性质由其他散射机制主导。最常见的是电子-声子散射[3]，它产生与温度线性相关的电阻率。

我们现在更详细地考虑反杂化过程，分为两种情况。

A. 节点半金属

首先考虑能带恰好在费米能级交叉的情况，即Ef = 0（见图1）。这意味着k? = 0或k = 0。系统的能量由下式给出

E±(k) = ?[-iΓ ± √(-iΓ)2 + V2(k)] = ?[-iΓ ± √(V2(k) - Γ2)] (3.5)

其中V2(k) = V?2(kx2 + ky2)。在T = 0，Γ = 0时，相干基态在kx = ky线上费米面处有两个节点，如图2所示。基态是节点半金属[39]。随着温度升高，Γ增大，费米点发展为费米弧，如图4所示，其中我们使用了由方程(3.4)给出的Γ参数化。

图4. 费米面上无间隙区域，费米弧，在不同温度下（Γ/T）。(a) Tk/Γ = 10，(b) Tk/Γ = 5，(c) Tk/Γ = 2，Γ由方程(3.6)给出。

如文献[31]所指出的，在这种情况下反杂化逐渐发生，费米面上每个角度都有不同的反杂化温度。随着温度升高，费米弧增大，直到在反杂化温度Td时整个费米面变得无间隙，此时Γ = Γ?，如图4(c)所示。费米弧的出现与能量的例外点有关，在例外点处能量退相[31]。它们也是杂化的角度或动量依赖性的直接结果，决定了费米面上它们出现的位置。因此，尽管图4显示了特定杂化形式下的结果，但它说明了在V(k)的零点处节点随温度升高反杂化而扩展为弧的一般特征。在这种情况下反杂化是一个渐进过程，是一种交叉现象，其能量标度可由反杂化温度Td表征，在该温度下整个费米面变得无间隙。

对于小杂化值，即Γ < V?k，这发生在Γ ~ V?k时。使用方程(3.4)，我们得到

Td = Tk[V?2k/(A)]^(1/2) (3.6)

其中k ~ kc。对于k = kc，我们得到Td ≈ 20K。注意反杂化发生在非厄米哈密顿量色散的例外点处[31]。如方程(3.6)所示，交叉温度Td正比于V?，这一点我们在下面更详细地讨论。

一般来说，关联函数|?cf?ck?|2是有用来表征反杂化的。对于二维（2D）双能带电子系统，这个量在费米面上的平均值如图5所示，作为标度温度的函数。这个关联函数已被与晶格系统中的Kondo效应联系起来[40]。由于反杂化导致窄带和大带中的电子解耦，它意味着Kondo效应的破坏。

对于[空白]，杂化关联函数出现了显著下降。此外，图5中关联函数的行为是交叉转变效应的典型特征。

**图5.** 在[空白]处、对费米面平均的关联函数[空白]，作为缩放温度（[空白]）的函数。参数为[空白]，且[空白]。能带在费米能级处交叉，[空白]和[空白]。弛豫时间的温度依赖性由[空白]给出。关联函数在[空白]处的值在附录A中获得。

**B. 金属态**

我们考虑基态为金属态的情形。这可以通过假设色散关系交叉的线不在费米面上，而是接近费米面来描述。我们取[空白]，在由[空白]给出的交叉线上。杂化系统中准粒子的能量由下式给出：

(3.7)

其中[空白]。在波矢[空白]（能带交叉处）的频率依赖性谱密度由格林函数的虚部给出[21]（见附录A）：

(3.8)

该量在费米面上的平均值在低温[空白]和高温[空白]情况下分别如图6(a)和6(b)所示。我们使用的参数为[空白]，且[空白]。在低温（[空白]）下，在[空白]处的谱密度在接近能量[空白]处有一个峰，以及由于杂化排斥而分开的两个峰。随着温度升高，去杂化发生。[空白]态的贡献倾向于聚集在[空白]附近，而传导态则在能量上保持弥散分布，如图6(b)中[空白]所示。两种体制之间的交叉由特征温度[空白]决定，在该温度下谱权重发生显著变化。

**图6.** （a）[空白]在[空白]下的平均谱密度。（b）[空白]在[空白]下的平均谱密度。两图使用的参数均为[空白]，且[空白]。

当[空白]时，即对于近似局域的[空白]能级，[空白]。在这种情况下，在[空白]处贡献于态密度的谱密度可以变得非常大，即使[空白]，当[空白]更接近费米能级时，情况亦是如此。这可能与系统趋向磁不稳定性的趋势有关。

**IV. 一维问题**

在本节中，我们研究具有周期链、每格点两个轨道且其中一条能带存在电子关联的一维情形。反对称杂化考虑了这些轨道的不同宇称。在无相互作用情况下，该系统可能实现了拓扑绝缘体的最简单例子[38]，具有拓扑转变和零能端态[38]。在这里，我们将这些链推广到包含相互作用（因而具有非厄米性）的情形，以研究其对拓扑性质和去杂化转变的影响。哈密顿量可以写为矩阵形式：

(4.1)

其中：

(4.2)

(4.3)

(4.4)

我们利用[空白]进行旋转变换，得到：

(4.5)

其中：

(4.6)

(4.7)

(4.8)

正比于单位矩阵的项[空白]将在拓扑性质的研究中被忽略。剩余的矩阵：

(4.9)

其特征值由下式给出：

(4.10)

可以写为：

(4.11)

其中：

(4.12)

(4.13)

注意[空白]。非厄米哈密顿量的例外点[26]分别由[空白]和[空白]的零点给出：

(4.14)

和：

(4.15)

分别。对式(4.14)和(4.15)中的各项平方，我们得到：

(4.16)

因此例外点位于半径为1的圆上。式(4.16)将具有不同拓扑性质的两个相分开，由不同的涡旋度值[27,28]表征，如图7所示。涡旋度是非厄米系统的拓扑不变量，定义为[空白][27,28,41,42]，其中：

(4.17)

对[空白]的定义类似，其中[空白]对应于式(4.12)中的[空白]，在式(4.17)中用[空白]替代。积分在整个布里渊区上进行[28]。它可以数值计算，我们发现对于式(4.16)中圆内的点，即[空白]和[空白]；否则两者均为[空白]。涡旋度量子化为[空白][28,41]，但在非厄米二带链中，成对的点要么在单位圆内，要么在单位圆外[式(4.16)]，因此[空白]在非平庸拓扑相中为1，在平庸相中为0。系统的相图如图7所示。线[空白]对应具有反对称杂化的厄米链。

**图7.** 具有杂化非厄米能带的线性链的相图（第一象限），具有由平凡和非平庸涡旋度[空白]值表征的两个相。

在第四节中，我们忽略弛豫时间[空白]的温度依赖性，它应被视为驱动相变的控制参数。

**A. 粒子-空穴对称链**

二带问题的粒子-空穴对称情形特别有趣。它提供了允许详细研究相互作用、非厄米性和拓扑性质在去杂化转变中相互作用的结果。在前一节的方程中，这形式上对应取[空白]和[空白]。在厄米、无相互作用情形下，该系统在[空白]时具有具有零能表面态的拓扑绝缘相，并在[空白]时发生从平庸绝缘体的拓扑量子相变[38]。该转变由一个特征长度的发散所表征，该特征长度被识别为拓扑相中端态的穿透深度。相关的临界指数为关联长度指数[空白]和动力学指数[空白] [38]。

非厄米情形中能带的色散关系为：

(4.18)

例外点满足：

(4.19)

并位于半径为1的圆上，[空白]。

**B. 重整化群分析**

我们对链进行消元操作，消除每隔一个格点，使得晶格参数[空白]被缩放因子[空白]重新标定，其中[空白] [21]。对于波矢，这对应于取[空白]，其中[空白]为重新标定的动量。利用式(4.19)以及三角关系[空白]和[空白]，我们得到以下递推关系：

(4.20)

以及一个关于比值[空白]的附加方程：

(4.21)

式(4.20)以初始约束[空白]进行迭代。圆内的初始点在迭代后仍然保持在半径为1的圆内，如图8(a)所示。这些点沿圆混沌迭代[21]。事实上，式(4.20)中[空白]的递推关系是著名的逻辑斯谛映射[21]，它是混沌的。

**图8.** 递推关系[式(4.20)]的迭代映射。（a）初始点位于例外点所在的半径为1的圆上。这些点沿圆混沌迭代。（b）对于圆内具有涡旋度[空白]的初始点，即图10相图中的区域I。（c）对于圆外、但内接于圆的正方形内的初始点，在涡旋度为零的区域II中。在这种情况下，对应于[空白]实数值的迭代点不形成闭合曲线而是形成一段弧。对于区域III中的初始点也发现相同的行为。每种情况下我们使用了300次迭代。迭代点沿圆的分布不均匀。这最容易通过关注式(4.21)中比值[空白]的重整化群方程来观察。该映射在实轴上有一个排斥不动点[空白]。我们从圆上的一个初始点出发，根据式(4.21)计算该点经过[空白]次迭代后的像。图9显示了圆上任意初始点经过式(4.21)中映射迭代后，在实轴上访问给定比值[空白]值的次数。在重整化下，大多数点集中在比值的小值处，因为访问分布的峰值在[空白]处。对于非常大的迭代次数，该分布收敛为以[空白]为中心、宽度为1的柯西分布，如图9中的拟合所示。其归一化形式为[空白]，其中[空白]是图9中显示的裸访问分布。

**图9.** （a）以半径为1的圆上的点为初始点，经过式(4.21)中映射迭代后，对给定比值[空白]值的访问次数[空白]。访问次数与例外点的态密度相关，用宽度为1的柯西分布表示。我们使用了[空白]次迭代。归一化分布的表达式在正文中给出。

更一般地，具有不同参数值的初始点迭代到不同的吸引子，如图8所示。这允许构建图10所示的相图。区域I中的点具有有限的涡旋度，沿闭合曲线迭代，如图8(b)所示。区域II和III中涡旋度为零的初始点，在实动量情况下沿弧段重整化，如图8(c)所示。最后，区域IV中的初始点，其[空白]，在两个变量中都迭代到无穷远。在厄米情形下，[空白]，具有[空白]的初始点迭代到[空白]。

**图10.** 非厄米链的相图。由I、II、II和IV标记的不同区域中的点迭代到不同的吸引子，如前一图（图8）所示。区域IV中的点迭代到[空白]。[空白]处的红线代表具有非平庸拓扑性质的无相互作用链。

重整化群方程[式(4.20)]有两个不稳定不动点，分别在[空白]和[空白]处。后者，(1, 0)，是有趣的那个。它控制着无相互作用厄米链从非平庸拓扑相到平庸绝缘相的相变，在[空白]处发生。它还描述了当打开相互作用时从厄米到非厄米行为的交叉转变。与该不动点相关的临界指数通过在该不动点处计算的重整化群方程[式(4.20)]的雅可比矩阵获得。我们得到：

(4.22)

其中我们使用了[空白]，且在该不动点(1, 0)处交叉导数为零。由于雅可比矩阵是对角的，重整化轴是正交的，对应于轴[空白]和[空白]。关联长度指数[空白]由关系式[空白] [21]获得。由于缩放因子[空白]，我们得到[空白] [21,38]，这与下文讨论的色散关系分析[43,44]一致。缩放因子[空白]的2次方出现的原因如下。在不动点[空白]或[空白]附近，利用式(4.19)，我们得到[空白]和[空白]。当我们用因子[空白]重新标定波矢时，我们得到[空白]，这意味着变量[空白]的重整化因子为[空白]。另一方面，从式(4.19)可以看出，变量[空白]的缩放因子在不动点[空白]附近与波矢[空白]的相同。由于[空白]，在接近(1, 0)时，雅可比方程(4.22)的第二个本征值通过关系式[空白]定义动力学指数[空白]，由此得到[空白]。由于在厄米不动点处[空白]，我们得到动力学指数[空白]。然后，由量[空白]表征的非厄米性是厄米量子临界点(QCP) (1, 0)处的相关扰动。此外，比较变量[空白]和[空白]的重整化比值，我们得到交叉指数[空白]，其中[空白]。该交叉指数描述了临界线[空白]的形状，该临界线在不动点(1, 0)附近分隔具有平凡和非平庸涡旋度值的区域。我们从重整化群方法得到的指数等于从数值方法[38]和链色散关系分析得到的指数，如下文讨论。

厄米情形的临界指数[空白]可以直接从色散关系[式(4.11)][43,44]在能隙闭合波矢[空白]附近的展开中获得。它们的形式为：

(4.23)

由于激发能隙[空白]，我们得到能隙指数[空白]。同时，[空白]，意味着动力学临界指数[空白]。这些关系给出[空白]，与重整化群结果一致。在非厄米情形下，我们考虑[空白]使得能隙在[空白]处的实部以临界指数[空白]趋于零。其虚部[空白]始终是有限的。另一方面，对于[空白]，我们得到：

(4.24)

这对于[空白]在线性于[空白]，符合动力学指数[空白]的预期。对于[空白]，当[空白]时色散为实数。解上述方程中的[空白]而非[空白]，我们得到：

(4.25)

其中[空白]。然后，在[空白]的极限下，我们恢复动力学指数[空白]。式(4.24)令人想起有间隙动量态的理论[25]，在该理论中传播模式仅在临界动量[空白]以上才出现。

在这种方法中，与逆临界动量相关的长度标度是表征电磁波在系统中渗透深度的趋肤深度[25]。为求完整起见，我们在图11中展示了图10相图不同区域中准粒子色散关系的实部。比较无杂化的裸能带色散关系[图11(a)]与区域II和III中的色散关系[图11(c)和11(d)]，在这些区域中，能带完全去杂化。在区域I中，图11(b)所示的色散关系实部具有能隙。在相图的这个区域中，如下文通过有限链的数值模拟所展示，系统是带有表面态的拓扑绝缘体。在区域IV中，色散关系如图11(e)所示，系统是有能隙的平庸绝缘体。

图11. 图10相图不同区域中准粒子色散关系的实部。面板(a)显示裸能带。(b)在区域I中，系统是有能隙的拓扑绝缘体。(c)在区域II中，系统是金属性的（参见正文）。(d)在区域III中，系统是完全没有杂化的金属[与面板(a)比较]。在面板(c)中，系统是有能隙的平庸绝缘体。

C. 有限链

为了全面表征相互作用对具有粒子-孔洞对称性的链拓扑性质的影响，我们在开放边界条件下对其进行数值研究。由于非厄米性，在这些计算中我们区分右特征向量和左特征向量，特别是在获取相关模式的波函数时。

我们从厄米链开始，即处于其拓扑相内部，那里存在定义明确的边缘模式[38]。我们打开相互作用并研究它们如何修改这些拓扑表面模式。我们发现，在半径为1的圆内，对应于图10相图的区域I，其中涡度为有限值，非厄米链中始终存在定义明确的边缘模式。这在图12中对区域I的代表点进行了展示。在圆外，即相图的区域II和III，其中涡度为零，零能模式的波函数沿整条链都有延展，如图12所示。仅绘制左特征函数或右特征函数，或在周期边界条件下，都能得到相同的结果。

图12. 有限链（长度 ）的实部本征值以及最接近零能的本征模式波函数，对于固定参数 和 ，分别对应图10所示相图的区域I、II和III[分别为 ]。插图显示了这些模式能量的虚部。

区域I中边缘态的波函数在体内指数衰减，如图13所示，即 ，其中 是边索引， 是特征长度。表面模式的穿透深度 随着从内部接近由例外点组成的圆（即区域I有限涡度的相边界）而增加。此外，对于固定的 值，当改变 值时，这个特征长度似乎在该边界处发散。我们发现 ，其中指数 ，如图13所示。因此，分离零涡度和有限涡度态的圆 是一个临界边界，在那里发生拓扑相变，伴随相关长度的发散以及具有良好定义的临界指数 。这个临界边界也是系统例外点所在的位置。它分离了圆内具有边缘态的拓扑绝缘态与 区域IV（图9中的平凡绝缘体），或者分离了完全去杂化的金属态，对应于相图的区域II和III。这里所说的金属态是指费米子系统中一种态，其费米面处具有延展波函数的低能激发，并在低温下产生线性比热，如附录B所示。这些激发不是定义明确的准粒子[45]，因为它们过度阻尼，能量具有虚部（参见图12，大于实部）。从这个意义上说，将这种态称为具有模糊费米面的奇异金属是恰当的。

图13. (a) 对于较大的 ，区域1中边缘模式的波函数在体内指数衰减，其中 是位格数， 是关联长度。这由半对数图上 关于 的直线展示。不同斜率的直线给出不同的 值，对应于图10中到临界边界的距离。这里，我们取 固定，通过改变 来接近 处的边界。(b) 面板(a)中直线斜率关于 的对数-对数图。穿过数据点的直线为 。由于 ，我们得到 。

还有一个剩余转变，即从区域II和III的金属态到区域IV的平庸绝缘体，沿着由竖直线 表示的边界。这个转变由 处的强阻尼不动点控制。另一方面，拓扑相的边界是一个奇异吸引子，不受单个不动点控制。我们强调，上述相图的表征在使用周期边界条件的链或使用开放边界条件的有限链（如图11和12所示）时都是一致的。

我们在不同边界条件下的有限链上进行的数值计算没有为非厄米链中皮肤模式[42,46–51]的存在提供任何证据。这得到了使用文献[47]相同方法的直接解析计算的支持。一致地，在链的周期边界条件下，我们没有在复数能量平面上发现闭合回路[50,51]。图14显示了图10相图区域III中一个初始点在重整化群方程下的迭代。这个点的像在相图区域II中大多对应于动量的实数值。因此，我们预期相图区域II和III中体态的性质不会有显著差异。

图14. 图10相图区域III中一个初始点（红点）在重整化群方程下的像，类似于图8(c)。大多数点落在阴影正方形区域II中，对应实动量（参见图9）。

在有限 处接近边界时获得的相关长度的临界指数 ，与厄米情况[38]的数值 相同。由于 在厄米不动点处是一个相关微扰，按照重整化群方法的框架，我们预期在边界中找到另一个不动点，最终可能属于不同的普适类，从而控制单位圆上的临界行为。然而，在所研究的案例中，边界是一个混沌吸引子，它将厄米不动点作为唯一的完全不稳定不动点包含其中。因此， 对于 的相等值可能不仅仅是一个数值巧合，暗示厄米不动点控制整个边界的临界行为。

V. 讨论

在本工作中，我们从非厄米系统理论的角度研究了多带材料中的去杂化现象。这为这一现象提供了洞见，该现象已在多项研究中被用来解释金属间化合物、肯多绝缘体[52]和重费米子的物理行为。例外点和涡度等概念在这一分析中起着重要作用，特别是在理解伴随去杂化的费米面变化方面。

最初，我们将去杂化视为一种有限温度效应，它发生在准粒子寿命因相互作用而随温度升高而缩短时。这个寿命是从使用密度泛函理论和动力学平均场理论方法的数值计算中获得的，并呈现出一般特征，如低温下的费米液行为和高温度下的饱和，饱和温度约为窄关联带带宽的数量级。这些体制之间的过渡设置了去杂化发生的尺度。一个相关点是关于去杂化过渡温度在强关联多带系统中是否是一个新的能量标度，或者能否与重费米子相图中的肯多温度或相干温度联系起来。对于研究透彻的重费米子化合物系列 （M = Co, Rh, Ir; = 1, 2;）[18,19]，特征温度 和去杂化温度 远高于这些材料中磁性或超导相变的临界温度。特别是，在第III节中为 得到的 远高于该系统的超导临界温度[35,54]。因此，与这些材料中的任何有序温度相比，去杂化是一个相对高温现象。它发生在非相干区域，其中不同类型准粒子之间的关联基本是局域的。在这种情况下，将特征温度与肯多温度联系起来似乎是自然的，即 ，因为后者标志着费米液区域的起始。这得到了文献[29]结果的支持，该文献表明与去杂化过渡相关的例外点出现在肯多温度处，那里磁矩被屏蔽。同时，两带关联函数 在由 决定的温度范围内变化。注意，去杂化意味着肯多效应的破坏，因为它使材料的不同能带解耦。在本文方法中，这是随着温度升高发生的一种过渡，不与不同类型的零温肯多不动点相关。

另一种情况发生在系统基态是一个相干杂化费米液，接近但在非临界一侧处于磁性不稳定量子临界点时[53,55]（参见图15）。在这种情况下，费米液区域起始的相关标度是相干温度[53]， ，如图15所示。这里， 是到量子临界点的距离， 和 分别是关联长度和动态临界指数[53]。在相图的这个区域，是相干温度给出去杂化的尺度，因为它标志着向费米液区域的过渡。

图15. 由肯多晶格模型描述的重费米子系统相图[53]。 是局域电子与传导电子之间的肯多相互作用， 是传导带的带宽。分离长程有序磁态和费米液基态的量子临界点在 处。摘自文献[53]。

一个有趣的案例是材料恰好位于磁性量子临界点的情况，即图15中的 。在这种情况下没有特征标度，因为系统处于临界点。根据简单标度的弛豫时间随温度发散 或在更复杂的方法中随 的不同幂次发散，这取决于量子临界点的维度 和动态指数 [56]。即使量子临界点处，随着温度升高，由于临界慢化，去杂化也会发生。

本文还研究了由每个位格两个轨道组成的链模型中的去杂化，具有位格间反对称杂化，并存在相互作用。这是一个特殊模型，因为其厄米版本是一个刻画良好的拓扑绝缘体，具有拓扑量子相变。我们引入了重整化群从临界现象的角度处理非厄米情况[57]。在这个模型中，去杂化可以与拓扑相变相关联，其中拓扑指数——涡度——在例外点处从非平凡值变为平凡值。我们获得了相关不动点并解析和数值计算了临界指数。数值和解析结果排除了该系统中皮肤模式的存在。

去杂化的这些不同方面表明，它是理解多带强关联电子系统物理的重要概念，对实验和理论都有影响。

VI. 结论

本文中，我们使用重整化群研究了多带关联电子系统中的去杂化现象。我们重点关注不同宇称的电子轨道之间发生的反对称杂化，如 和 混合轨道。

我们特别研究了非厄米粒子-空穴对称链，这些链允许对能带效应、拓扑性和相互作用在产生解杂化过程中所起的协同作用进行详细研究。我们采用重正化群方法，将这些链的拓扑行为与基于临界现象理论的一般方法联系起来。在这种情况下，解杂化可以与由相互作用或能带效应所驱动的拓扑相变相关联。解杂化是一个描述多带金属、Kondo绝缘体和f电子带金属的输运性质与磁性质温度依赖性的有用概念 [4–17]。此外，它还提供了一个理解与费米面变化相关的光谱性质随温度演化的框架，正如ARPES实验中所观察到的 [18]。准粒子寿命的温度依赖性——它设定了解杂化的尺度——可以通过解析方法 [2] 和数值方法 [31,35] 获得。非厄米系统理论和临界现象理论所提出的新方法，为这一问题的本质提供了全新而深刻的见解。一般而言，多体系统中的解杂化转变是一种与温度相关的交叉现象，与费米面的逐渐变化以及谱权重的重新分布有关。我们讨论了与该现象相关的能标，根据系统所处的相图区域将其分别与Kondo温度或相干温度联系起来。我们指出，即使对于处于磁量子临界点的系统，随着温度的升高也会发生解杂化。在本工作中，Kondo效应的失效是解杂化的结果，它将窄带和导带解耦。这是一种交叉效应，与随温度变化而出现的某种新的不动点无关。