具有手征对称性的随机同轴电缆结构中拓扑相变的观测

《Physical Review B》：Observation of a topological phase transition in random coaxial cable structures with chiral symmetry

　　

我们报告了一项关于无序Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型的实验研究，该模型在由同轴电缆组成的系统中实现，其射频特性可以映射到SSH哈密顿量上。通过测量具有随机跳跃项的多个链，我们证明了拓扑保护态的存在，在系综中频率变化小于0.2%，这是近完美手征对称性的证据。当链的两端连接成环路时，我们观察到拓扑相变，其特征是带隙的关闭以及尽管存在强无序，仍出现离域态。

I. 引言

Su-Schrieffer-Heeger（SSH）模型[1]最初是描述聚乙炔中电子态的模型，是拓扑物理中最简单的系统之一。它由一系列位点组成，代表碳原子，通过交替强度的跳跃项连接，对应于二聚化分子的化学键。在这种周期性形式中，当两种跳跃强度相同时，带隙关闭。带隙的关闭分隔了两个拓扑相，其由跳跃振幅的相对大小决定。通过适当的端点终止，SSH链可以支持局域的边界态，这些态被称为拓扑保护的，因为它们的能量独立于跳跃振幅中的无序。这些非平庸的拓扑性质是SSH模型的手征（或子晶格）对称性的结果[2,3]；位点可以被划分为两个子晶格，使得只有连接两种类型的跳跃项存在。

SSH模型的拓扑性质在无序存在时是稳健的，前提是手征对称性不被破坏。一条具有随机跳跃振幅序列的链仍然可以被归入两个拓扑相之一。因此，我们可以讨论随机SSH环路系综中的拓扑相变，由概率分布参数驱动，跳跃振幅即从中随机抽取[4]。随机链中相变的物理比其周期性对应物丰富得多，这是参数空间更大的结果。在周期性情况下，只有两个参数——弱跳跃振幅和强跳跃振幅，相边界对应于这些振幅相同时的平庸均匀链。对于长度为$L$的随机链，参数空间是$2L+1$维的，每个跳跃振幅一维，相边界上的结构是有序的。

这种具有非对角无序的拓扑临界随机链的理论有着悠久的历史，可以追溯到Dyson的工作[5–7]，并延续到现代Anderson转变的标度处理[8–12]。与更常见的局域位能无序不同，即使在一维系统中，也预期会发现离域态，出现在零能处。因此，对局域化性质的测量可以提供拓扑相变的特征标志。在无限长链中，该转变还预言伴随着态密度的奇异性。

使用电磁波、光子结构和微波结构[13–17]、声学晶格[18]以及分立电子学[19–21]实现SSH模型的实验研究已有诸多报道。通常很难控制这些系统中的所有耦合以维持足够精确的手征对称性来观测我们所讨论的效应，尤其是在引入受控无序的同时。因此，大多数演示集中在周期性结构上，而未涉及保持对称性的无序所涉及的拓扑显著问题。然而，在冷原子系统的动量空间SSH结构中[23]，已经观测到拓扑相边界处的离域现象[22]。

II. 同轴电缆网络

同轴电缆网络是一个非常简单的电磁系统，可用于研究无序[24]和拓扑[25–28]物理。我们已经证明[29]，可以制造射频特性精确映射到SSH哈密顿量的电缆结构。跳跃振幅由相应电缆的阻抗决定，因此很容易制造具有完全手征对称性的随机链系综。在本工作中，我们使用电缆结构来实验研究随机SSH链的性质。通过进行阻抗和传输测量，我们展示了态的非常精确的拓扑保护，并证明了相变处的离域现象和带隙关闭。

同轴电缆网络的矩阵描述推导见附录A。我们考虑一个由一组位点组成的网络，标记为$i$，由同轴电缆段连接，所有电缆段的传输时间相同，为$t_d$，即长度除以传输速度。连接位点$i$和$j$的电缆具有电气阻抗$Z_{ij}$。该网络具有射频共振，由矩阵特征值方程$H\psi = \omega\psi$决定，其中无量纲"能量"$\omega$与频率$f$的关系为$\omega = 2\pi f t_d$。向量$\psi$的分量是位点上的电压，缩放使得实际电压为$V_i = Z_0 \psi_i$，其中$Z_0$是参考阻抗。这里$\omega_i$是位点$i$的连接位点的求和。"哈密顿量"的矩阵元则是跳跃振幅

$$H_{ij} = \frac{1}{t_d}\left(\frac{Z_0}{Z_{ij}} - 1\right)\delta_{\langle i,j\rangle} \quad (1)$$

从连接位点的电缆到跳跃振幅的这种一对一映射意味着可以创建对应于任何有限实矩阵哈密顿量的网络，尽管在实践中这受到具有任意阻抗的电缆可用性的限制。

我们使用矢量网络分析仪（VNA）测量电缆结构的射频特性。有两种测量类型是有用的。单端口反射测量$S_{11}$参数给出在特定位点测量的结构阻抗。在附录A的公式(A27)中，我们表明其虚部与局域态密度成正比，仅由电缆损耗展宽。这使我们能够准确确定结构的共振频率。双端口传输测量（$S_{21}$）提供了态空间范围的信息，使我们能够检测相变附近发生的离域现象。

III. 谱和拓扑保护

当位点可以被分为两个子晶格，我们称为"黑"和"白"（图1），且只有不同子晶格之间的跳跃存在时，哈密顿量具有手征对称性。不存在子晶格内项，包括局域位能。在这种情况下，将基重新排序使得所有黑位点排在白位点之前，则得到块反对角形式：

$$H = \begin{pmatrix} 0 & K \\ K^\dagger & 0 \end{pmatrix} \quad (2)$$

其中$b$和$w$分别是黑位点和白位点上振幅的向量。由此我们得到$H = \tau_x K + \tau_y K^\dagger$（在适当基下），所以本征值必须为零或以对称对（符号相反）的形式出现。立即可以得出，对于具有奇数位点数的链，至少必须存在一个零能态。由于这个结论不依赖于构成$H$矩阵元的跳跃振幅的值，该零能态在无序面前是拓扑保护的。更一般地，对于具有$b$个黑位点和$w$个白位点的手征网络，至少有$|b-w|$个受保护态。

图1. SSH链的子晶格着色，黑位点和白位点分别标记为$b$和$w$，如式(2)所示。跳跃振幅$g_i$遵循式(3)。

图2展示了由16段电缆首尾连接组成的多个结构的局域态密度测量结果[30]。单个电缆随机从两种阻抗中选取：50$\Omega$和$Z_0 = 50\Omega$。这些结构因此映射到具有随机化跳跃项的有限长度SSH链。电缆的更多细节见附录B。图2(a)展示了未成环链的谱，测量在结构末端的一个位点上进行。16段电缆对应17个晶格位点，因此我们看到预期的拓扑保护$\omega=0$态，频率约为114 MHz。拓扑保护非常好：插图展示了该态在41个随机结构中的综合结果。共振频率的标准差约为0.22 MHz，我们认为这是由于电缆长度的微小误差造成的。

图2. (a) 选取的一些未成环长度$L=16$随机SSH链的测量阻抗谱（局域态密度）。颜色用于辅助区分曲线。谱显示出关于手征频率（$\omega=0$）的预期对称性，对应于SSH哈密顿量中的零能。$\omega=0$处态的拓扑保护显而易见。插图展示了一个41条此类链的系综中受保护态的放大和归一化结果。峰值频率的标准差为0.22 MHz，证明了电缆结构中极小的手征对称性破缺。(b) 具有各种约化长度的成环长度16随机链的阻抗谱，式(5)：$l=2$（红色）、$l=4$（紫色）和$l=6$（蓝色）。随着$l$减小，带隙关闭，导致拓扑临界$l=0$结构在手征频率处出现二重简并态。插图展示了$l$在0附近相邻位点上测量的谱，揭示出两个态，每个子晶格上各一个局域态。与(a)相比，存在更多的手征对称性破缺，以及由于插入环路中T型连接器以增加的额外长度而导致的轻微手征频率降低。

在无限周期性SSH结构中，拓扑相边界仅在胞间和胞内跳跃项完全相同时的平庸情况下出现。然而，在无序链中，临界结构的可能性更有趣。相变由零能处一对简并态的存在标志，等效于周期性结构中的带隙关闭。当$\omega = 0$时，这对应于行列式$D = 0$的条件[31]。对于我们的未成环结构，$D$是跳跃振幅的简单乘积，即式(3)中的第一项，在不切断链的情况下无法使其为零，因此平庸地只有一个拓扑相。然而，通过将链的两端连接成环路，我们可以观测到SSH模型两个相之间的转变。

为了具有手征对称性，环路必须由偶数位点组成，因此由偶数段电缆构成。在一个有$m$段电缆的环路中，标记跳跃振幅而不是位点，$g_i$（图1），我们得到

$$D = \prod_{i \in \text{even}} g_i - \prod_{i \in \text{odd}} g_i \quad (3)$$

然而，由于$g_i$包含缩放因子$Z_0/Z_i$以及电缆阻抗，式(1)，因此查看两项之比更方便，其中这些因子会相消，并定义一个量

$$r = \frac{\prod_{i \in \text{even}} g_i}{\prod_{i \in \text{odd}} g_i} \quad (4)$$

对于我们的结构，阻抗取自二值分布，$Z_0$或$Z_1$，阻抗之比通常会有相消，我们可以写成

$$r = (-1)^{l/2} \quad (5)$$

其中$l$是偶数整数，我们称之为结构的"约化长度"。对于长度为2的偶数倍（$l=0$）的环路，当$l=0$时我们得到$r=1$。因此$l$的符号是一个拓扑不变量：阻抗以及对应的跳跃振幅是实数，因此如果它们连续变化，则不可能在不经过$l=0$的临界结构的情况下翻转$r$的符号。对于2的奇数倍（$l=2$），$r$展开中的两项符号相同，因此虽然$r$可以为零，但要形成一个拓扑临界结构需要环路中有负的跳跃振幅。注意$r$的符号，以及由此的相归属，是任意的，因为它是环路结构的性质，取决于起点和编号方向的选择。然而，如果这样做是一致的，符号差异就能区分两个相。

如果，不将链做成环路，而是将其无限重复形成周期性结构，我们发现由约化长度符号给出的拓扑分类总是与布里渊区基计算获得的广义Berry相[32]和缠绕数不变量一致。这些方法还预言当$l=2$时在具有奇数对电缆的链中会发生相变。在周期性结构中这是正确的，因为无论是偶数对还是奇数对，布里渊区中某处都会存在带隙关闭。

这两种情况有所不同，因为对于偶数个对，闭环形成于某个波数处，此时状态在每个周期结束时相同，对应于环路的边界条件。对于奇数个对，闭环形成于另一处，因此环路边界条件不被满足。然而，如下文所示，与相变相关的去局域化现象在偶数和奇数个对的情况下均可观察到。该条件也对应于文献[4]中发现和文献[22]中实验观测到的相边界；这些工作中边界所呈现的异常重入形状是由于跳变振幅采样时特别选用了矩形概率分布。

在图2(b)中，我们绘制了若干长度为、具有不同约化长度值的一些随机环链的局域态密度。如预期所示，在附近总是存在一个能隙，除了在临界情况下，此时存在一对简并的零能态。从这一对态可以构造完全局域在不同子晶格上的态。插图通过比较两个相邻位点（分别位于不同子晶格上）的谱来实验验证了这一点。峰值对应于两个不同的态，从它们之间微小的能量间隔即可看出。

IV. 透射与局域化

为了探索零能态的局域化特性，我们利用非环链上的透射测量。这可以最简单地用转移矩阵方法来描述，该方法将进入和离开结构的电流和电压联系起来。在零能下，附录A公式(A6)给出单根电缆的转移矩阵为

(6)

表示N根电缆序列的矩阵即为每根电缆转移矩阵的乘积，即。矩阵的非零元素与公式(4)中出现的阻抗乘积比值相同，因此对于偶数N，我们写出

(7)

在处的测量透射振幅t为

(8)

对于我们的二元分布，这与周期链的透射相同，即，其中电缆数量等于约化长度（对于负的，序列以开始）。这是因为在处，相邻一对阻抗相同的电缆的转移矩阵恰好等于负的单位矩阵，因此在计算时，我们可以迭代地从结构中去除这样的对，直到将其简化为周期链。

公式(8)表明，在处的透射仅取决于的值，并且在的值对应的链中具有单位值，这些链在连接成环或周期性重复时处于拓扑临界态。处于拓扑临界态的电缆中受拓扑保护的态是去局域化的[6,7]，即它们在两端的振幅相同。偏离时，态变为局域化，在某一端具有更大的振幅，具体取决于的符号，从而取决于拓扑相。推导公式(8)的简单处理未考虑电缆中发生的微小电阻损耗，但这些损耗通过数值计算可以轻易纳入考量。这些损耗总是降低透射，但它们也会导致给定值下的值展宽。

我们长度为16的链的实验透射结果见图3，其中我们绘制了t作为频率的函数，对应不同的约化长度x值。谱由对应于图2测量中找到的态的峰值组成，但展宽大得多，这是由于矢量网络分析仪有限的（）输入和输出阻抗引起的损耗所致。如预测所示，在ω=0处的t值对于具有相同x的所有结构相当相似。在插图中，在ω=0处的t平均值作为x的函数被绘制出来，并与公式(8)中预测的双曲正割依赖关系进行了比较（按常数因子缩放以考虑电缆损耗）。在进行了这种缩放后，吻合良好，绝对值和展宽都与根据图2中峰值展宽推导出损耗的数值计算结果一致。

图3. 选择的长度为N的随机非环链的测量透射谱t。曲线根据结构的约化长度着色，公式(5)：（红色）、（紫色）和（蓝色），与图2相同。零能处的透射（顶部标尺），在忽略损耗的情况下，预测仅依赖于x。插图展示了该透射对约化长度的依赖关系（点），对每个x平均了七到九个结构。误差棒显示了测量值的标准差。实线是公式(8)中预测的行为，带有常数缩放以考虑损耗。

除了我们已经展示的去局域化之外，文献[6–12]预测了无限长拓扑临界随机结构的态密度在ω=0附近存在一个奇异峰，即戴森奇点。其函数形式为。然而，在有限结构中，该奇点被替换为一个更宽的峰，随着N的增加而变窄。数值模拟表明，以我们选择的阻抗，在我们研究的短结构中无法观察到这样的特征。然而，如果在集成中将长度增加到50–100根电缆，应该可以实现。

V. 讨论与结论

我们证明了，当环状手性结构被切开时，如果没有损耗，对应的链的透射为单位值，前提是原始环路处于拓扑临界态。因此，这种完美透射是拓扑相边界的实验标志。该结果在加上一些限制条件下可以推广到更复杂的手性对称网络。如果从平衡结构开始——即每个子晶格上的位点数量相等——并通过拔出电缆来断开环路，我们就会分割一个位点，产生不平衡，从而产生一个受拓扑保护的态，透射可以通过该态发生。决定断口两侧透射的转移矩阵，在零能下总是对角的，如同公式(7)的形式，为

(9)

如我们所见，当[条件满足]时，这将导致完美透射[33]。然而，这也是未分割结构处于拓扑临界态的条件；此时断口两侧的电压和电流是相同的，这是连接它们时获得零能态所需满足的边界条件[34]。

然而，拓扑相边界与完美透射之间的联系并非普遍成立。在更复杂的网络中，存在结构虽然处于拓扑临界态，但可以被切开使得端点间透射小于1（有时为零）的情况。虽然完整的讨论超出了本文的范围，但这发生在被分割的结构中，受拓扑保护的态在输入位点或输出位点上振幅为零，或者同一子晶格上存在多个零能态。

最后，我们对映射到SSH模型的同轴电缆系统的拓扑性质进行了实验研究。在一个随机结构集成中，受拓扑保护的态频率变化小于0.2%，展示了这种映射的准确性。通过改变随机分布中的参数，我们证明了环状结构可以通过拓扑相变，其特征是能隙的关闭和零能处去局域化态的出现。同轴电缆结构为这类拓扑物理实验提供了极好的平台。可以获得高度手性对称的结构，并且可以以可控方式引入无序而不破坏对称性。本文所考虑的简单链可以很容易地扩展为代表更复杂哈密顿量的网络，其中预测可以观测到类似的相变特征。