将任意填充度下的迭代微扰理论扩展至非平衡稳态

《Physical Review B》：Extension of the iterated perturbation theory at arbitrary fillings to nonequilibrium steady states

　　

我们将Kajueter-Kotliar迭代微扰论（KK-IPT）[Phys. Rev. Lett. 77, 131 (1996)]从半填充推广到非平衡稳态。我们将所得的非平衡KK-IPT方法与辅助主方程方法（AMEA）进行对比验证，后者的精度在非平衡和平衡条件下均可控制。正如预期，在平衡条件下，KK-IPT以高精度重现了AMEA在不同填充下的结果，无论是在谱性质还是电子密度方面均如此。在非平衡条件下，我们研究了跨相关杂质的量子输运，并计算了微分电导和谱函数。我们发现，在AMEA可靠的参数区域内，非平衡KK-IPT与AMEA之间表现出非常好的吻合，特别是在中等温度和中等偏压条件下。尽管在AMEA变得不太可靠的低温、低偏压区域没有可用的受控基准，但我们表明，该非平衡KK-IPT杂质求解器在整个所研究的参数范围内均高精度地满足一阶和二阶精确谱求和规则。这些结果支持非平衡KK-IPT作为半填充以外非平衡稳态的近似描述。同时，将AMEA结果与由非平衡Galitskii-Migdal相互作用能表达式得到的双占据数进行比较显示，在半填充附近，对于中等和较大的偏压值，偏差仍然较小，但随着远离半填充，偏差显著增大，从而界定了该方法可以定量而非仅定性信赖的区域。

一、引言

动力学平均场论（DMFT）[1,2]的主要挑战在于准确且高效地求解由相关格点映射到有效Anderson杂质模型（AIM）所产生的量子杂质问题。在此框架内，周围格点的作用被编码在自洽确定的杂化函数中，而杂化函数的计算需要反复求解AIM，因此构成了该方法的主要计算瓶颈。事实上，DMFT计算的整体性能在很大程度上取决于是否存在能够快速可靠处理相关相互作用强度、温度和轨道复杂性的杂质求解器，这一局限性在非平衡问题中尤为严重[3]。

为此目的开发了多种数值技术，包括量子蒙特卡罗（QMC）[4,5]、数值重正化群（NRG）[6,7]、精确对角化（ED）[8]，以及强耦合[9,10]方法，每种方法都提供了互补的优势和局限。连续时间QMC求解器在数值上是精确的，但它们可能受到严重的费米子（动力学）符号问题的影响，或者在极低温度或非平衡设置中变得低效。此外，从虚频到实频的解析延拓是一个病态问题，通常会展宽谱特征，特别是在远离费米能级处。相比之下，NRG方法在低能量和低温下产生高度精确的谱信息，但其谱分辨率通常在较高能量下退化。基于ED的技术直接在实频率轴上工作，并通过有限数量的浴位来近似杂化，代价是许多体希尔伯特空间随系统大小呈指数增长。虽然朴素的（幺正）ED的缺点在于它无法处理稳态，但这一缺陷在辅助主方程方法（AMEA）[11,12]中通过采用开放量子系统形式体系[13-16]得到了解决。QMC算法的inchworm扩展可以缓解符号问题[17]，并可用于在Keldysh形式体系[18]下计算量子系统的非平衡性质，包括直接访问稳态性质[19,20]。然而，在强关联杂质问题中处理长时间动力学或稳态区域仍然是计算上具有挑战性的。除了NRG的扩展[21,22]和上述AMEA之外，基于张量列和十字交叉插值的方案最近作为有前途的杂质求解器出现[23,24]。这激励了寻找在广泛的参数区域内能够捕捉本质关联效应的计算成本较低的杂质求解器。这对于稳态计算尤其如此，因为虽然存在数值可控的方法，但通常比近似方案要求更高。

在近似杂质求解器中，迭代微扰论（IPT）提供了低计算成本与在平衡条件下与精确对角化良好吻合的结合，这对于AIM和Hubbard模型尤其如此，特别是在半填充时[25]。尽管其源于微扰方法，但IPT被构造为能够恢复弱耦合和原子极限，因此可以被视为两者之间的插值方案，这有助于解释其在弱耦合区域之外的有用性[26,27]。虽然朴素的IPT在半填充以外不可靠，但Kajueter和Kotliar [26]引入了对电子自能（SE）的修正，将其推广到任意填充（另见参考文献[28-30]）。该方法随后被精炼以捕捉费米液体行为[31]、在平衡条件下描述多轨道关联材料[32]以及在DMFT框架下的Bethe格点中表征金属-绝缘体转变[33]。引入更高阶弱耦合图元（无论是否自洽）的IPT扩展已被用于研究非平衡动力学[34]，但Kajueter和Kotliar的推广尚未在非平衡稳态条件下实施。

在参考文献[26]的基础上，我们将Kajueter-Kotliar迭代微扰论（KK-IPT）杂质求解器从任意填充扩展到Keldysh格林函数形式体系[35-37]下的非平衡稳态条件。特别地，我们研究了跨相关杂质的量子输运，并将所得的非平衡KK-IPT方法与AMEA进行对比验证。后者为任意填充的非平衡稳态问题提供了受控的参考基准，尽管它在低温、低偏压区域变得不太可靠。因此，我们还计算了杂质一阶和二阶谱矩的精确求和规则作为基准，以评估所提出的KK-IPT方法的有效范围。

本文其余部分组织如下。第二节简要介绍所涉及的模型。第三节介绍了非平衡KK-IPT求解器。第四节讨论了结果，第五节包含我们的结论性评述以及对该方法可能应用和扩展的简要展望。

二、Anderson杂质模型

AIM的哈密顿量为

(1)

其中杂质哈密顿量为

(2)

其中 ( ) 创建（湮灭）杂质上自旋为 的电子， 是相应的粒子数算符。 onsite能量和onsite排斥分别记为 和 [38]。浴哈密顿量为

(3)

其中 和 分别是引线 和 的onsite能量和化学势， ( ) 在引线 上创建（湮灭）具有量子数 的电子。杂质与引线自由度之间的相互作用为

(4)

其中 是引线与杂质之间的跳跃振幅。杂质与引线耦合产生的杂化函数为

(5)

其中 表示引线格林函数（GF）。与往常一样，下划线符号表示Keldysh结构

(6)

其中 ， 和 分别为GF的推迟、Keldysh和超前分量。大于（ ）和小于（ ）分量为

(7)

除另有说明外，推迟分量 选为与引线无关，

(8)

其中 定义了引线的半带宽度， 是一个抹去推迟分量边缘的虚拟温度， 是Fermi-Dirac分布函数。在全文中我们使用 ， 和 。要恢复平衡条件，只需设置 ；在这种情况下， 将被简单设为零。

三、非平衡迭代微扰论

在本节中，我们简要回顾了适用于任意填充的KK-IPT [26]，并介绍了其向非平衡稳态的扩展，在此称为非平衡KK-IPT。KK-IPT将电子SE扩展到局部相互作用 的二阶，通过组合三个Weiss场传播子 。对于给定的杂化函数 ，Weiss场 的Keldysh分量为

(9)

其中 是一个辅助化学势，将通过自洽方式确定，如以下讨论。遵循参考文献[26]，我们在此仅限于顺磁情况 。非平衡KK-IPT向自旋依赖情况的推广在形式上是直接的，遵循参考文献[39]，但其数值性能仍有待评估，并将作为未来工作的主题。

在本文中，我们保留了SE推迟分量的KK-IPT假设 [26]。其向Keldysh分量的扩展在稳态Keldysh框架内 [35-37] 是直接的。电子SE [26] 则为

(10)

其中我们引入了简写记号

(11)

其中 和 表示复共轭。方程(10)中SE的Keldysh分量的推导可在附录A中找到。方程(11)中（实）系数 和 的显式形式可参阅参考文献[26]，将在下文给出。值得注意的是，在半填充处，此时 ， 和 ，我们恢复了粒子-空穴对称情况，即 和 ，与先前的工作一致[40]。二阶图元 的Keldysh分量为

(12)

(12)中的大于和小于分量为

(13)

其中

(14)

与往常一样，(12)中推迟SE的实部可通过Kramers-Kronig关系计算

(15)

方程(11)中的系数 和 由 [26] 给出

(16)

其中粒子数 由

(17)

获得， 由杂质GF的推迟和Keldysh分量按方程(7)计算

(18)

方程(16)中的 是从Weiss场计算的粒子数密度

(19)

我们强调，占据数(17)和(19)的计算未显式使用Fermi-Dirac分布，因此在非平衡条件下同样有效。

本工作采用的算法基于所谓的IPT- 近似 [32,39]，其中Weiss场的占据被约束为等于杂质的占据。尽管简单，但该方案在平衡条件下表现良好 [39]。相比之下，其他方案，如实施Luttinger定理的方案，众所周知精度较低，因为它们无法重现高阶矩；例如，参见参考文献[39]中的讨论。

工作流程如下。对于给定的杂化函数 ，我们从初始猜测 出发，根据方程(9)、(10)和(18)分别计算Weiss场、SE和杂质GF。然后我们通过迭代求解两个方程 和 来确定自洽解 [41]。正如参考文献[26]中已报道的，通常在10次迭代内即可达到收敛 [42]。

四、结果

A. 平衡基准

为开始分析，我们聚焦于平衡条件，并研究了AIM在两个不同设置下的情况，其参数如表I所示。设置E1对应于略高于半填充的杂质，而E2中杂质大致处于四分之一填充。如参考文献[26]预期，KK-IPT求解器应为当前的平衡情况提供准确结果。事实上，两种设置都显示了AMEA和KK-IPT获得的结果之间的良好吻合（见图1）。特别地，由于接近半填充，设置E1的谱函数[图1(a)]仍然清晰地显示出下能带和上能带以及在 处的准粒子峰（QPP）。另一方面，设置E2中的谱[图1(b)]在两种方法中都显示出QPP与下能带的合并以及在 处对应于上能带的弱肩峰。对应于(a)和(b)的杂质GF的Keldysh分量分别显示在图1(c)和1(d)中。

图1. 使用AMEA和KK-IPT获得的平衡设置(a) E1（ ）和(b) E2（ ）的谱函数。(c)、(d) 分别显示了与(a)和(b)对应的GF的Keldysh分量的虚部。设置E1的占据数为 和 ，而E2为 和 。所有相关参数均可在表I中找到。为简洁起见，标签KK-IPT已缩写为IPT。

表I. 正文中讨论的两个平衡设置的参数。 的半带宽度记为 。所有参数均以 为单位。设置 E1 5.5 -3 0.05 10 0 E2 5.5 0 0.05 10 0

准确重现 对于获得正确的密度至关重要，因为这些密度是从小于GF计算的[见方程(17)]。两种方法的占据数精确值在图1的标题中给出。

为了验证等式（10）中的试探解能达到预期效果，图 2(a)–2(d) 展示了与图 1 各对应面板中光谱相关的自能的虚部分量。由于两种方法产生的格林函数高度一致，因此 KK-IPT 的自能轮廓在定性上与 AMEA 杂质求解器的结果相似并不令人意外，特别是在化学势 $\mu$ 附近的能量窗口内。然而需要注意的是，AMEA 的有限分辨率可能会引入虚假特征，因为辅助杂化函数 $\Delta^{\text{AMEA}}$ 无法精确复现物理杂化函数 $\Delta$ [43]。因此，AMEA 中自能的广义分布函数 $f_{\Sigma}^{\text{AMEA}}$ 即使在平衡态下也可能偏离费米-狄拉克形式，如图 2(a) 和 2(b) 的插图所示。相比之下，由于 KK-IPT 使用物理杂化函数 $\Delta$，它精确复现了费米-狄拉克分布；再次参见图 2(a) 和 2(b) 的插图。我们还注意到，AMEA 中格林函数和自能的广义分布 $f_G$ 和 $f_\Sigma$ 可能不同。这可以从以下事实得到理解：电子自能是通过 $\Sigma = G^{-1} - G_0^{-1}$ 得到的，其中 $G_0$ 是精确已知的，而 $G$ 则是近似的。这个问题在文献中已有记录（参见例如参考文献 [44]），并且可能导致自能分布中出现比格林函数分布更明显的伪影。

图 2 说明：平衡设置 (a) E1 和 (b) E2 的自能轮廓的虚部，由 AMEA 和 KK-IPT 获得。插图显示了自能的广义分布函数 $f_\Sigma$，由两种方法获得，并与具有相同颜色编码的费米-狄拉克分布函数 $f_{\text{FD}}$ 进行比较。(c)、(d) 分别显示对应于 (a) 和 (b) 的自能克勒希分量的虚部。所有相关参数可参见表 I。为简单起见，KK-IPT 的标签已缩写为 IPT。

B. 非平衡稳态

在本节中，我们考虑两个非相互作用储库之间通过相关杂质进行的电子输运，施加有限偏压电压。特别是，我们比较 AMEA 和非平衡 KK-IPT 获得的微分电导。通过杂质的电流由 Meir-Wingreen 公式给出 [45]

(20)

其中被积函数为 [46]

(21)

在式 (21) 中，我们定义了 $\alpha_{\sigma L}(\omega, V)$ 和 $\alpha_{\sigma R}(\omega, V)$ 并明确了对 $\omega$ 和 $V$ 的依赖关系。利用导线的态密度相同这一事实[参见式 (8)] 应用于 (21)，式 (20) 可简化为

(22)

其中我们使用了谱函数

(23)

的定义。导线化学势因施加偏压而对称地向相反方向偏移，即 $\mu_L = \mu + eV/2$ 和 $\mu_R = \mu - eV/2$。非平衡电导定义为

(24)

我们数值计算了所选相互作用强度 $U$ 和温度 $T$ 下非半填充处的非平衡电导 (24)。模拟中使用的温度选择为 $T = 0.01 T_K$ 和 $T = 0.1 T_K$，其中 $T_K$ 表示相应半填充杂质在参考文献 [12] 研究的相同 $U$ 下对应的 Kondo 温度。然而，我们注意到，在非半填充处杂质占据数发生变化，因此相关的 Kondo 温度与参考文献 [12] 中从 NRG 计算提取的值不同。尽管如此，我们仍然将这些值仅作为区分低温和高温区制的参考尺度。

正如参考文献 [12] 在低温 ($T = 0.01 T_K$) 下已观察到的那样，AMEA 获得的电导曲线仅在适度小电压 $eV$ 范围内可靠。对于本工作研究的两种填充，AMEA 变得不可靠的相应低电压区域随 Hubbard 相互作用 $U$ 增加而增大，反映了逐步减小的低温尺度；参见图 3(a)、3(c) 和 3(e)。这种行为可追溯至 AMEA 拟合过程，其在低温下以及在杂化函数具有更复杂特征时质量恶化，例如在有限但非常小的偏压下产生的特征，其中克勒希分量发展出紧密间隔的双阶梯结构。

图 3 说明：非平衡微分电导 [式 (24)] 作为偏压 $eV$ 的函数，对选定的在位能 $\epsilon_d$ 由 AMEA 和非平衡 KK-IPT 获得。上行、中行和下行分别对应于 $T = 0.01 T_K$、$T = 0.1 T_K$ 和 $T = 1.0 T_K$。[(a)、(b)]、[(c)、(d)] 和 [(e)、(f)] 分别显示 $U = 4$、$U = 6$ 和 $U = 8$。图 (b) 中的插图显示了仅 $U = 4$ 对应的情况，而阴影区域表示 AMEA 计算不可靠的电压区域（详情见正文）。电压根据 $eV = n \Delta V$ 采样，其中 $\Delta V = 0.01$ 和 $n = 0, 1, 2, \ldots, 100$。为简单起见，KK-IPT 的标签已缩写为 IPT。（此处 $T_K = 1$。）

相比之下，非平衡 KK-IPT 从物理杂化函数计算自能，因此不受此拟合相关限制的影响。因此，它在小电压和低温下表现出明显更少的振荡，对于两种填充和此处考虑的所有相互作用强度，产生更光滑的电导轮廓；再次参见图 3(a)、3(c) 和 3(e)。除了这些技术方面，我们强调 AMEA 和 IPT 获得的电导曲线之间的密切一致性，在 AMEA 结果可靠的整个电压范围内保持良好的一致性和定量一致性，特别是对于小到中等的相互作用 $U$ 值。

在附录 B 中，我们进一步通过独立于 AMEA 检查精确的第一和第二阶谱矩求和规则[参见其中式 (B2) 和 (B3)]来验证非平衡 KK-IPT；在整个研究参数范围内，包括低温、低偏压区（其中没有可控的 AMEA 基准），两者都满足至优于 $10^{-3}$。

在较高温度 ($T = 0.1 T_K$) 下，AMEA 获得的电导曲线在小 ($U = 4$) 和中等 ($U = 6$) 相互作用强度下保持可靠至较低的偏压电压 $eV \sim 0.1$，低于相应低温区的情况；参见图 3(b) 和 3(d)。仅对于考虑的最大的相互作用 $U = 8$，AMEA 结果变得更不稳定，如图 3(f) 所示。尽管如此，在 AMEA 结果可靠的电压范围内，非平衡 KK-IPT 再次显示出与 AMEA 的良好定性及定量一致性，特别是对于小到中等的相互作用 $U$ 值。

我们最后讨论低温 $T = 0.01 T_K$ 下选定的偏压电压的非平衡谱特征，这些特征提供了关于非平衡 KK-IPT 性能的互补信息。

对于 $U = 4$ 的谱未显示，因为精细特征很容易被热展宽效应抹平。对于略高于 $n_\sigma = 0.5$ 的填充[参见图 4(a)、4(c) 和 4(e)]，低偏压谱表现出三峰结构，类似于相应的平衡态谱，由分离大约 $U$ 的下带和上带以及位于 $\mu$ 的 Kondo 共振组成。对于 $U = 6$ 和 $U = 8$，这种结构清晰可辨，而对于 $U = 4$，能带仅表现为中央 Kondo 峰的肩峰；参见图 4(a)、4(c) 和 4(e)。

图 4 说明：选定的在位能 $\epsilon_d$ 和偏压电压 $eV$ 下的非平衡谱函数 $A(\omega)$ [式 (23)]，由 AMEA（实线）和非平衡 KK-IPT（虚线）获得。(a)、(b) 显示 $U = 4$ 和 $U = 6$ 的结果。(c)、(d) 显示 $U = 6$ 和 $U = 8$ 的结果。(e)、(f) 显示 $U = 8$ 和 $U = 10$ 的结果。未显示较高温度情况，因为热效应会模糊谱特征。对应于增大 $eV$ 值的谱函数为便于可视化向上平移了常数。为简单起见，KK-IPT 的标签已缩写为 IPT。（此处 $T = 0.01 T_K$。）

随着相互作用强度 $U$ 增加，位于 $\mu$ 的 Kondo 共振表现出偏压诱导的展宽和中央抑制，与峰值分裂在逐步更低的偏压电压 $eV$ 下开始出现的趋势一致；再次参见图 4(a)、4(c) 和 4(e)。这种行为反映了这样一个事实：较大的 $U$ 值需要更低的温度来分辨足够尖锐的 Kondo 峰，而后者更容易受到施加偏压电压的抑制；参见例如参考文献 [12]。总体而言，非平衡 KK-IPT 获得的谱与本工作考虑的所有相互作用强度 $U$ 下由 AMEA 获得的谱高度一致。然而，对于 $U = 6$ 和 $U = 8$，在 $eV = 0$ 时 IPT 获得的 Kondo 峰比 AMEA 更明显；参见图 4(c) 和 4(e)。这种差异可能与前述 AMEA 在低偏压下的局限性有关，因为随着电压增加一致性再次改善。

对于远离 $n_\sigma = 0.5$ 的填充（参见图 4 右侧的面板），低偏压下非平衡 KK-IPT 与 AMEA 的一致性在小和中等的相互作用 $U$ 值下保持良好；参见图 4(b) 和 4(d)。在此区制内，非平衡 KK-IPT 令人满意地复现了由 Kondo 共振与下带合并形成的低能峰，以及大约高出第一峰 $U$ 的上带，后者表现为肩峰。然而，对于较大的相互作用 $U$ 值，非平衡 KK-IPT 低估了上带的振幅，倾向于将其抹平并将部分谱权重转移到更高能量；参见图 4(f)。随着偏压 $eV$ 进一步增加，低能峰表现出向高能量的明显谱权重转移，非平衡 KK-IPT 很好地捕捉了这一点。随着相互作用 $U$ 增加，这一效应更加明显。因此，上带似乎逐步与低能峰的高能尾部合并；再次参见图 4(b)、4(d) 和 4(f)。

附录 B 中详细讨论的粒子数和双占据的非平衡行为遵循与上述谱函数和电导类似的模式。在整个研究参数范围内，粒子数在非平衡 KK-IPT 和 AMEA 之间一致性良好，最大偏差出现在非半填充的强相互作用处。然而，双占据是一个更具挑战性的测试：在半填充附近以及 AMEA 可靠的偏压窗口 $eV \leq 0.1$ 内，两种方法在 $10^{-2}$ 以内一致，但偏差增长到 $10^{-1}$ 非半填充处，特别是对 $U = 8$（表 II）。这种区制依赖性，连同上述精确谱矩求和规则，用于在附录 B 中定量限定非平衡 KK-IPT 在单粒子水平之外可信任的范围。

表 II：双占据 $\langle n_\uparrow n_\downarrow \rangle$ [式 (B1)] 的平均绝对偏差，限于 AMEA 可靠的偏压窗口 $eV \leq 0.1$；另见图 3 及相关讨论。"接近半填充"和"远离半填充"指图 3-6 中为每个 $U$ 研究的两种在位能 $\epsilon_d$。

| 填充 | 平均绝对偏差 |
|------|------------|
| $U = 4$, $\epsilon_d = 0.1175$，接近半填充 | 0.00113 |
| $U = 4$, $\epsilon_d = 0$，远离半填充 | 0.00692 |
| $U = 6$, $\epsilon_d = 0.0525$，接近半填充 | 0.00179 |
| $U = 6$, $\epsilon_d = 0$，远离半填充 | 0.00986 |
| $U = 8$, $\epsilon_d = 0.025$，接近半填充 | 0.00190 |
| $U = 8$, $\epsilon_d = 0$，远离半填充 | 0.01028 |

图 5：粒子数 [参见式 (17)] 作为偏压 $eV$ 的函数，对应于图 3 讨论的设置。上行 [(a) 和 (b)] 显示 $U = 4$ 的结果，中行 [(c) 和 (d)] 显示 $U = 6$ 的结果，下行 [(e) 和 (f)] 显示 $U = 8$ 的结果。温度和在位能在图中标注。为简单起见，KK-IPT 的标签已缩写为 IPT。

图 6：双占据 [参见式 (B1)] 作为偏压 $eV$ 的函数，对应于图 3 讨论的设置。上行 [(a) 和 (b)] 显示 $U = 4$ 的结果，中行 [(c) 和 (d)] 显示 $U = 6$ 的结果，下行 [(e) 和 (f)] 显示 $U = 8$ 的结果。温度和在位能在图中标注。为简单起见，KK-IPT 的标签已缩写为 IPT。

V. 结论

在本工作中，我们将 Kajeuter 和 Kotliar 在迭代微扰理论框架内提出的电子自能试探解扩展到构建一个超越半填充的近似非平衡单杂质求解器。然后我们将所得的非平衡 KK-IPT 应用于偏压电压下的 Anderson 杂质问题。

作为第一步验证，我们在平衡态下对两种代表性设置进行了基准测试，分别对应于略高于半填充的杂质和大致四分之一填充。在这两种情况下，KK-IPT 在谱函数和格林函数的克勒希分量水平上准确复现了辅助主方程方法（AMEA）获得的结果，因此也给出了正确的杂质占据数。此外，KK-IPT 自能的推迟分量和克勒希分量密切遵循相应的 AMEA 结果，特别是在化学势附近的能量窗口内。

虽然AMEA的有限分辨率可能会引入虚假效应，并导致广义分布函数中自能偏离精确的费米-狄拉克表达式，但KK-IPT直接以物理杂化函数表述，能够精确重现平衡态分布。基于这一平衡态基准，我们随后将非平衡KK-IPT杂质求解器应用于非半填充下关联杂质上的非平衡稳态输运，并分析不同相互作用强度、温度和填充下的微分电导。在AMEA结果可靠范围内的电压区间内，非平衡KK-IPT与AMEA在定性和定量上均表现出良好的一致性，重现了本文研究参数范围内主要的输运特征。低温下的非平衡谱函数进一步支持了这一结论，为该方法的表现提供了互补信息。在半填充附近、低偏压条件下，非平衡KK-IPT重现了由下带、上带和低温能康普顿共振组成的特征三峰结构，以及该结构在偏压增大时的演化。偏离半填充时，非平衡KK-IPT也能捕捉到谱权向更高能量重新分布以及低能峰与上带之间分离逐渐减弱的趋势，尽管对于较大的相互作用强度，它在低偏压下倾向于低估后者的权量。考虑到非平衡KK-IPT相较于AMEA的近似性质和所需的计算代价，这一整体一致性尤为值得注意。同时，对比凸显了两种方法之间一个重要的实际差异：在低偏压、低温区域，相关低能特征在AMEA中变得越来越难以分辨，而非平衡KK-IPT保持数值稳定，电导行为显著更为平滑。尽管在该区域缺乏受控基准，但这表明非平衡KK-IPT可为非半填充条件下的非平衡稳态计算提供一种快速、尽管只是定性的替代方案，尤其是在参磁态下低温和低偏压时。我们强调，上述结果应在能够与AMEA严格对标的区域与无法对标的区域之间做出明确区分。在AMEA本身构成受控参考的条件下——中等至较大偏压以及取决于的中等至较低温度[47]——非平衡KK-IPT不仅在定性上，而且在定量上是准确的，甚至在半填充附近能将双占据数再现至之内（附录B）。这是一个非平凡的发现：IPT-自洽循环仅约束单粒子占据；其构造中没有任何内容保证双占据，作为一个真正的双粒子可观测量，能够以相当的精度被再现。相反，在AMEA拟合过程本身变得不可靠的小偏压、低温区域，我们无法得出同样确切的结论。此处KK-IPT与AMEA的粒子数仍然吻合良好；然而，由于缺乏受控基准，这种一致性并不具有决定性，因为它无法排除两种方法共享共同偏差的可能性，而且单粒子占据本身对涉及的近似也不如高阶可观测量敏感。因此，该基准仅能在AMEA可及的范围内定量验证非平衡KK-IPT；在该范围之外，特别是在强耦合、非半填充条件下，比较仅具有定性或半定量意义。另一项独立而互补的证据是：精确的一阶和二阶矩谱求和规则，即式（B2）和式（B3），在整个研究参数范围内均满足至以内，包括不存在AMEA基准的低温、低偏压区域（见附录B）。然而，这应当被视为非平衡KK-IPT可靠性的必要而非充分条件。两条求和规则均为关于推迟自能的渐近、大-陈述：第一阶矩源于精确的哈特里极限，这已在构造上被强制执行，第二阶矩则源于原子极限系数，后者同样仅依赖于而不依赖于有限频率下图解重求和的质量。进入两条系数中的占据当然来自于完整的非平衡解，因此并非独立于克莱因-戈登（Keldysh）部分；但求和规则仅将其作为与异步尾部相一致的单聚合数加以约束，而非作为决定中频和低频线形的频率分辨的和——后者才会进入双占据数等可观测量。因此，矩与精确值的高度吻合——这几乎由试探函数的结构所保证——本身并不意味着双占据具有相当的精度，因为后者需要推迟部分以及小于和Keldysh部分的完整频率依赖性均被正确捕捉，而我们已经表明，偏离半填充时这一点会明显恶化。我们将这一组合——即在整个范围内求和规则精确成立，同时高阶可观测量的受控且定量界定的有效区域——视为对非平衡KK-IPT的合理评估：处处数学自洽且数值稳定，但对单粒子层面以外的可观测量，仅在半填充附近以及AMEA可及的偏压和温度范围内才具有定量可信度。尽管如此，我们认为这是令人鼓舞的，因为它表明在真正的非平衡DMFT计算中，非平衡KK-IPT可能证明是有用的，尤其是在数值精确的杂质求解器往往难以企及或计算代价极高时，前提是对其高阶可观测量的预测需按照本文建立的注意事项加以解读。总体而言，我们的结果将非平衡KK-IPT识别为一种计算成本低的杂质求解器，适用于本文研究的平衡和非平衡稳态问题，并在任意填充下有效，同时鼓励将其进一步应用于其他可观测量和关联系统，尤其是动力学平均场理论。然而，我们强调，目前的非平衡构造可能并非唯一。例如，在平衡态中，人们已经考虑了IPT的多种变体，包括IPT-近似以及强制满足弗里德尔求和规则的方案。由于不存在弗里德尔求和规则的直接非平衡对应物，我们在本文中采用了最简单的推广，即IPT-的非平衡推广。本文所得结果表明这一选择是可行的，并且在所考虑的案例中表现令人满意。然而，为确定其适用范围，仍需更广泛的评估，特别是在更具挑战性的情况下，例如结构化或存在带隙的杂化函数或不等价的自旋物种，并澄清替代的非平衡KK-IPT构造是否能提供额外优势。相关方向的工作正在进行中。