面向异质性效应的环境问责研究中的贝叶斯因果方法

《Current Environmental Health Reports》：Bayesian Causal Methods for Environmental Accountability Studies with Heterogeneous Effects

　　

综述目的：环境问责研究评估监管干预是否实现了预期效益。这类研究分为两大类别：间接问责（indirect accountability），即估计暴露于较高空气污染水平的影响，并利用这些影响间接预测政策效果；以及直接问责（direct accountability），即直接评估特定干预措施。本综述旨在评估因果推断与灵活贝叶斯统计建模的最新进展，以支持环境问责研究。近期发现：近期在直接与间接环境问责领域的研究均深度依赖因果推断，以产生稳健的推断，并为政策制定者和实践者提供相关且可操作的见解。在此背景下，异质性处理效应（heterogeneous treatment effects）对两种路径均至关重要，因为理解哪些亚群最为脆弱（或最具韧性）极为关键，这需要能够刻画效应变异的方法。贝叶斯非参数（Bayesian nonparametric, BNP）方法因其灵活性以及将单元聚为连贯亚群的能力，已被提出用于此任务。总结：研究人员呈现了一组为每种问责类型设计或改编的BNP方法，重点关注基于贝叶斯加性回归树（Bayesian Additive Regression Trees, BART）和依赖狄利克雷过程（Dependent Dirichlet Processes, DDP）的互补方法。通过蒙特卡洛模拟，研究人员比较了这些方法，识别了它们各自的优势，并为在环境问责研究中的采用与实施提供了建议。

引言：因果推断为环境健康中的问责框架提供信息
健康效应研究所引入了“环境问责”框架，以系统评估空气污染暴露的健康效应，以及旨在减少此类暴露的环境法规能否实现其预期公共卫生目标[1]。该框架认识到，证明空气质量改善带来的健康效益需要超越关联性研究，转向对特定干预措施的严格因果评估[2, 3]。问责框架将监管行动与排放、环境浓度、暴露以及最终健康结果的变化联系起来，其中每个环节都需要不同的方法论[3]。里程碑式的队列研究确立了长期细颗粒物（PM_2.5）暴露会增加心血管和呼吸系统死亡率[4, 5]，这些结果随后被覆盖数千万美国老年人的行政数据所证实[6]。这些基础性发现，连同在低于当前监管标准浓度下仍存在健康效应的证据[7]，突显了对能够严格量化暴露-反应关系幅度并评估旨在减少暴露的政策有效性的方法的需求。
Zigler和Dominici[3]在健康效应研究所[1]提出的框架基础上，区分了环境问责的两种不同路径：间接问责和直接问责。间接问责回答：“污染暴露与健康之间有何关系？”这些研究估计暴露于较高水平空气污染（通常按政策相关阈值二分，下文将看到）的影响，并利用这些影响来预测政策影响，假设估计的关系在监管实施下仍然成立。直接问责回答：“这一特定的环境监管干预是否确实影响了健康？”在Zigler和Dominici[3]援引的因果推断框架下，这些研究有潜力评估明确界定的政策（如未达标指定、洗涤器安装）以及它们是否引起了健康变化。这一区分是根本性的：间接研究告知在假设干预下可能发生什么，而直接研究揭示在实际政策实施后发生了什么。两种路径的证据都需要，以提供对暴露-健康关系以及减少暴露行动有效性的互补且全面的评估，最终指导保护与缓解策略[3, 8]。
两种路径都必须处理异质性处理效应（HTE），由于差异性易感性、暴露模式和政策实施，HTE在环境健康中普遍存在[2, 9,10,11]。大量证据表明，空气污染健康效应因年龄而异，老年人表现出更高的脆弱性[11, 12]；因社会经济地位和种族/民族而异[6]；还因已有健康状况（包括糖尿病、心力衰竭和慢性肺病）而异[13]。这些易感性模式对环境健康公平具有直接影响：承受不成比例污染负担的社区往往是那些对其影响具有更高脆弱性的社区[14]。在间接问责中，关键的异质性效应问题包括谁最容易受到污染暴露的影响，以及干预措施将在何处产生最大影响。在直接问责中，重点转移到干预措施在何处起作用（以及可能通过何种机制）。基于预先指定亚组的传统方法存在局限：它们可能遗漏沿未预期维度的重要异质性，并遭受多重检验问题[15, 16]。因此，需要能够发现异质性组同时保持原则性推断的数据自适应方法。
贝叶斯非参数（BNP）方法通过在灵活函数空间上放置先验来提供数据自适应解决方案，允许数据揭示异质性模式，同时跨相似观测借力[17,18,19]。本综述聚焦于四种BNP方法，它们在环境健康中为HTE估计提供灵活、数据自适应的解决方案：用于间接问责的贝叶斯因果森林与事后聚类（BCF+CART）和混杂依赖贝叶斯混合模型（CDBMM）[20, 21]；用于直接问责的混杂感知共享原子贝叶斯混合（CASBAH）和贝叶斯主因果森林（BPCF）[22, 23]。
研究人员要强调的是，在因果推断的BNP方法格局中，重点关注这四种方法是因为它们代表了研究人员所知的、当前在四个定义性标准交叉点上专门构建的BNP方法集合：(i) 结果-暴露关系的BNP建模，(ii) 异质性处理效应估计与亚组发现，(iii) 环境健康监管评估问责框架的无缝整合，以及(iv) 代码可用性，确保可复现性并促进更广泛环境研究社区的采用。这使它们区别于应用于环境健康、目标为暴露-反应曲线或平均因果效应的BNP方法[24,25,26]，或那些未提供完全可复现代码的方法。此外，研究人员指出，鉴于这四个定义性标准，本工作应被视为选择性综述，而非环境健康中贝叶斯因果方法的广泛综述。
这四种选定方法还跨越了环境健康政策评估中两个概念上不同的维度：问责路径（间接与直接）和异质性发现机制（基于树的划分与混合模型聚类），在连贯组织结构内提供了当前方法论选择的全景视图。此外，研究人员注意到，虽然也有替代的频率派方法可用[16, 27]，但所综述的贝叶斯因果推断方法共享对环境健康有吸引力的关键特征：它们为不确定性量化提供全后验推断，提供对较高空气污染暴露与健康结果之间关系的灵活建模，并在无需预先指定的情况下实现异质性发现[28, 29]。
这些方法通过受控条件下的广泛蒙特卡洛模拟进行评估，针对间接和直接问责研究。在因果推断设置中，研究人员通常无法获得真实值（即研究中每个单元的真实因果效应）。因此，模拟研究对于评估方法在具有受控真实值的场景下对不同定义和结构的处理效应异质性如何反应至关重要。在这些设置中，模型性能可以与数据生成过程的真实值进行比较，以评估方法性能[30]。在间接和直接问责模拟研究中，研究人员比较了异质性因果效应的两种不同规范：(i) 将其建模为协变量的连续函数，或(ii) 假设单元属于由协变量定义的潜在组。前者对应于两个模拟研究中的场景1，后者对应于场景2。这种比较使研究人员能够评估哪些建模方法更适合每种数据生成过程，以及它们如何有效地解决相应的因果研究问题。
本文其余部分组织如下。第2节介绍因果推断框架，区分间接和直接问责及其各自的估计量和假设。第3节和第4节详述四种方法，强调它们各自的优势以及每种方法最适用的设置。在这些部分中，研究人员还通过蒙特卡洛模拟评估了它们的性能。第5节提供实践指导、方法讨论和未来方向。
环境健康中的因果推断：估计量、假设和因果识别
设置与符号
研究人员采用潜在结果框架进行因果推断[31]。对于单元i，设Y_i表示观测结果。对于每个单元i，研究人员假设存在两个潜在结果Y_i(1)和Y_i(0)，分别表示处理组和对照组下的潜在结果。设X_i表示预处理协变量向量。在环境健康问责研究中，单元可以是个人、地理区域（如邮政编码、县）或时间段，取决于研究设计。在稳定单元处理值假设[32]下，观测结果为Y_i = T_iY_i(1) + (1-T_i)Y_i(0)，其中T_i∈{0,1}指示处理分配。在以下部分中，研究人员介绍直接和间接问责试图回答的因果问题，以及相应的因果假设和识别结果。研究人员回顾这些组成部分是因为，尽管它们并不新颖，但它们构成了任何应用因果分析的支柱：没有估计量、假设和识别，因果方法无法提供因果估计。
研究人员注意到，二元处理通常需要对连续暴露进行二分[16, 33]。虽然这减少了暴露的丰富性，但正如Lee等人[34]所论证的，仍然可以定义适当的因果估计量。这些作者还强调，当二分阈值对应于现实世界的政策截止点（如国家环境空气质量标准（NAAQS）的情况）时，二分化特别有价值，使估计量对监管决策直接可操作（这是问责研究的最终需求）。事实上，在此框架下，处理并不预设已实施的干预：相反，它表示暴露制度之间一个明确定义的假设对比。在下文中，与文献一致，研究人员将这种处理称为暴露。
连续暴露框架也存在[35]并已应用于环境流行病学[36]，但所有这些方法都没有提供对暴露效应异质性的数据驱动表征，而无需事先指定分析亚组（关于预先指定HTE分析的局限性，读者可参考Athey和Imbens[15]）。此外，研究人员指出，对贝叶斯因果推断框架的全面讨论超出了本文范围。对感兴趣于该框架专题讨论的读者，推荐参考Oganisian和Roy[37]、Li等人[38]以及Linero和Antonelli[39]的出色综述。
间接问责
如上所述，间接问责研究如何回答问题：高于某一阈值的污染暴露与健康之间的因果关系是什么？这些研究估计较高水平空气污染暴露对健康结果的影响，例如PM_2.5对死亡率的影响。这些估计可用于间接预测拟议或实施政策的健康影响，特别是当使用政策相关值（如NAAQS）作为二分阈值时。此情况下的潜在假设是，估计的因果关系在监管实施下会持续存在。
因果估计量
在间接问责框架下，可以定义几个因果估计量，即与研究问题相关的因果量。从平均处理效应（ATE）开始，定义为τ_ATE = E[Y_i(1) - Y_i(0)]，代表暴露在整个人群中的预期因果效应。在此设置中，ATE可能代表高与低PM_2.5暴露对死亡风险的平均效应。如上所述，高和低暴露可以基于政策相关阈值（如NAAQS）定义，如Lee等人[16, 33]所提议。
当暴露效应在不同亚群间变化时，条件平均处理效应（CATE）捕获这种异质性：τ(x) = E[Y_i(1) - Y_i(0) | X_i = x]。CATE对间接问责至关重要，因为它揭示谁对较高污染暴露最脆弱，并间接表明干预可能在何处产生最大影响。例如，较高PM_2.5暴露的效应可能因年龄、社会经济地位、基线健康或地理区域而异。
较粗略的总结是组平均处理效应（GATE）[21]：τ_g = E[Y_i(1) - Y_i(0) | G_i = g]，其中G_i表示组成员身份。当组对应于协变量区域R_g?X时，GATE简化为该区域上的CATE平均值：τ_g = E[τ(X_i) | X_i ∈ R_g]。组可以基于政策相关类别（如种族、年龄、城市性）预先指定，或使用本文综述的数据自适应方法从数据中发现。值得注意的是，依赖预先指定亚组的传统方法（在文献中广泛探索[6, 36]）存在局限：它们可能遗漏重要的效应异质性并遭受多重检验问题[15]。下面综述的BNP方法在保持原则性推断的同时，提供异质性组的数据自适应发现。
在此先阐明本综述中反复援引的三个概念——异质性效应估计、亚组发现和聚类——之间的关系是有用的，因为它们是不同但嵌套的目标，而非相互竞争的目标。估计涉及量化效应本身，无论是通过CATE τ(x)在个体水平还是通过GATE τ_g在组水平[40, 41]。CATE是异质性最细粒度的表征，描述效应如何跨完整协变量空间X变化；GATE是一种粗化，将τ(x)在区域R_g上平均，产生少量可解释的、政策相关的摘要[40, 41]。发现涉及从数据中确定划分{R_g}本身——即组间边界在何处绘制——而非事先固定[16, 42]。聚类是发现可以通过其进行的一种数据自适应机制，是下面综述的BNP混合方法所采取的路径[21]；基于树的方法则通过X的递归分割直接恢复划分[15, 16]。在所有情况下，GATE是实质性目标——它们回答谁对较高暴露最脆弱——而划分是报告它们的可操作粒度的手段。
识别假设
间接问责背景下的因果识别依赖于三个核心假设，这些在观察性研究的因果推断文献中是标准的[43]：稳定单元处理值假设（SUTVA）、无混杂性和阳性性。
首先，SUTVA要求单元之间无干扰且无隐藏的暴露版本[32]。研究人员注意到，正确定义潜在结果需要此假设。在环境问责中，当一个地区的污染影响邻近地区（空间溢出）或个人在高和低暴露区域之间迁移时，SUTVA可能被违反。将连续暴露二分可能违反假设的暴露无隐藏版本成分。因此，问责研究应仔细定义分析单元和暴露对比，以最小化这些担忧[34]。考虑空间溢出的贝叶斯方法已被提出[44,45,46,47]，但不在本综述范围内。
第二，无混杂性要求暴露分配在给定协变量的条件下独立于潜在结果：(Y_i(1), Y_i(0)) ⊥ T_i | X_i。这一假设通常称为“无未测量混杂”，是观察性研究的核心[43]。在空气污染的环境问责研究中，关键混杂因素包括社会经济地位、医疗保健可及性、基线健康状况、气象因素和共污染物。可忽略性的合理性关键取决于可用协变量的丰富性；当怀疑违反时，敏感性分析可以评估稳健性[48,49,50,51,52]。
第三，阳性性要求所有单元都有非零概率接受每种暴露水平：0 < P(T_i = 1 | X_i = x) < 1对于X支持中的所有x。当某些协变量组合确定性地预测暴露时，例如所有城市地区超过污染阈值而所有农村地区低于该阈值，就会发生违反。阳性性违反限制了可以估计因果效应的亚群，并可能需要将推断集中在协变量重叠区域[53, 54]。总之，无混杂性和阳性性被称为强可忽略性。
识别
在SUTVA和强可忽略性下，因果估计量可以用可观测量表示，即可以从观测数据中识别。对于ATE：τ_ATE = E_X[E[Y_i | T_i = 1, X_i] - E[Y_i | T_i = 0, X_i]]，其中内部期望是观测结果的条件均值，可从数据估计。类似地，CATE（和GATE）被识别为：τ(x) = E[Y_i | T_i = 1, X_i = x] - E[Y_i | T_i = 0, X_i = x]。下面综述的BNP方法（即BCF+CART和CDBMM）灵活地估计这些条件期望，同时提供全后验不确定性量化和效应异质性的数据自适应发现。
直接问责
直接问责研究回答：这一特定的环境监管干预是否确实影响了健康？这些研究并非估计一般的暴露-反应关系，而是评估明确定义的政策干预（以下简称干预），如《清洁空气法》下的未达标指定或洗涤器安装要求[55,56,57,58,59]，以及它们是否引起可测量的健康变化。间接研究告知在拟议政策下可能发生什么，而直接研究揭示在特定政策实施后实际发生了什么。
直接问责的一个根本挑战是，环境法规并不统一地影响所有地区的污染水平。因此，比较受管制和未受管制地区的健康结果混淆了法规效应与合规性或实施中的异质性。主分层通过询问以下问题来解决这一挑战：干预在何处起作用？通过何种机制？研究人员注意到，中介分析提供了互补视角：主分层针对政策合规性或实施中的异质性，而中介分析将效应分解为直接和间接路径[60,61,62,63,64]。由于篇幅限制，本综述聚焦于主分层；关于环境健康中的中介方法，参见[63, 65, 66]。
通过主分层的直接问责
主分层为当干预后的（通常称为处理后）中间变量P_i位于干预和结果之间时提供因果推断框架[67]。每个单元属于由S_i = (P_i(0), P_i(1))定义的主层，即中间变量在每种干预条件下的联合潜在值。由于主层由两种干预条件下的潜在结果定义，它们是潜在的，但概念上代表单元的内在特征，不依赖于干预分配[68]。层s内的主因果效应为：τ(s) = E[Y_i(1) - Y_i(0) | S_i = s]。
作为示例，研究人员使用2005年NAAQS修订版来说明主分层[22, 69]。该修订将超过PM_2.5阈值的县指定为“未达标”，要求它们制定州实施计划以减少污染。这里，干预T_i是未达标指定，中间变量P_i是后续PM_2.5浓度变化，结果Y_i是死亡率变化。主层由每个县的污染如何响应指定来定义。关联负向层包括未达标指定降低了PM_2.5的县，即这些是“依从者”，其污染水平响应了监管压力。分离层包括污染不受指定影响的县，要么因为它们已经在改善，要么因为实施无效。关联正向层包括尽管指定但PM_2.5仍增加的县，可能反映更广泛的经济趋势、行为响应或测量问题。
分别估计每个层内的主因果效应回答不同的政策问题。关联负向效应揭示健康效益是否惠及实现实际污染减少的地区。分离效应评估法规是否通过污染减少以外的途径影响健康，例如通过增加指定地区的健康监测或行为变化。
识别假设
由于S_i涉及中间变量在两种干预条件下的潜在值，主层从不会被直接观测。因此，识别需要超出间接问责所使用假设之外的假设[52, 70]。下面研究人员回顾主分层文献中最常见的假设，尽管如Schwartz等人以及最近Zorzetto等人[22, 71]所讨论的，其中一些假设（如单调性）可以在对潜在主层的贝叶斯建模下放宽。
主层可忽略性要求干预分配在给定观测协变量和主层成员身份的条件下独立于潜在结果。在NAAQS背景下，这意味着在属于同一层的县（例如，那些无论是否指定污染都会减少的县）中，实际指定在给定基线特征条件下实际上是随机的。
单调性假设没有单元以“错误”方向响应干预。对于NAAQS，单调性要求没有县仅在未被指定为未达标时才经历污染减少。这一假设排除了“违抗者”，并简化了层结构。当监管机制以一致方向运作时，单调性可能是合理的，但如果发生补偿行为，则可能失败[68, 72]。
识别
在SUTVA、强可忽略性和上述主层特定假设下，主因果效应可以表示为可观测量的函数。对于层s，主效应被识别为：τ(s) = ∫_X[E[Y_i | T_i = 1, X_i = x, S_i = s] - E[Y_i | T_i = 0, X_i = x, S_i = s]] dF_X(x | S_i = s)，其中对S_i = s的条件通过给定协变量的P_i(0)和P_i(1)模型来操作化。下面综述的BNP方法——CASBAH和BPCF——通过联合建模结果和中间变量分布、插补缺失潜在结果以及通过后验推断传播层成员身份的不确定性来估计这些量。
环境健康研究中假设的关键作用
上述因果解释完全依赖于识别假设。没有统计方法，无论贝叶斯还是频率派、参数还是非参数，都能验证这些假设在给定应用中是否成立。SUTVA不能从观测数据中检验，因为干扰模式涉及其他单元干预分配的反事实比较。无混杂性无法确认，因为未测量混杂因素根据定义是未观测的。阳性性违反有时可以凭经验诊断，但接近违反可能难以检测。主层可忽略性和单调性涉及从未直接观测的潜在层。
当这些假设失败时，无论估计方法多么灵活或复杂，因果识别都会失败。贝叶斯非参数方法提供了重要优势，即复杂关系的灵活建模、诚实的不确定性量化以及缺失潜在结果的原则性处理，但它们无法补救根本的识别问题。因此，研究人员必须利用实质性知识来证明假设的合理性，采用敏感性分析来评估对违反的稳健性[52, 74]，并适当谨慎地解释结果。在环境健康研究背景下尤其如此，其中某些假设可能需要专家知识来证明其合理性。
因此，研究人员要强调，以下部分综述的方法应被理解为在识别成立的条件下进行估计和推断的工具，而非仔细因果推理的替代品。
间接问责：评估暴露效应
如前所述，间接问责研究评估健康结果如何受到较高污染暴露的影响。在此背景下表征异质性对于识别脆弱人群、揭示这些差异背后的关键社会经济和人口因素，以及设计更有效、更有针对性的政策干预和缓解策略至关重要。
所涉变量之间的复杂关系，加上异质性效应的可能存在，激发了使用灵活建模策略（如BNP）的动机。众所周知的BNP方法包括采用狄利克雷过程先验[75]的模型，及其扩展到依赖狄利克雷过程（DDP）[76, 77]，以及贝叶斯加性回归树（BART）[78]。近年来它们在因果推断中的使用大幅增长[39]，归因于几个理想特征，包括：(i) 通过灵活模型规范捕获复杂响应分布的能力，(ii) 在概率框架内自然处理缺失数据的能力，(iii) 用于估计不确定性量化的直接后验采样，以及(iv) 纳入关于研究现象的先验知识的可能性。
研究人员强调，在贝叶斯范式下，统计推断以从数据似然与编码未知模型量信念的先验分布相结合获得的后验分布为目标。对于所考虑的DPP和基于BART的模型，后验分布解析上难以处理。因此，通过基于模拟的算法（特别是马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC））获得样本。然后使用获得的后验样本直接进行推断。模型参数（如均值或方差）的估计，以及感兴趣的导出量（包括总体、组或单元级因果估计量），通过在每个MCMC迭代评估这些泛函来实现。点估计通常通过考虑后验均值或中位数获得，而不确定性量化依赖于从给定样本的经验分位数构建的置信区间。
在本节中，研究人员比较两个贝叶斯因果推断模型。第一个是Hahn等人[20]引入的贝叶斯因果森林（BCF），利用BART先验。第二个是由Zorzetto等人[21]提出的混杂依赖贝叶斯混合模型（CDBMM），基于probit stick-breaking过程[79]，这是DDP大类中的一个特定构造。因果推断中BNP的其他重要贡献包括Hill（2011）[17]，她帮助将BART引入该社区，以及后续将基于DDP的方法扩展到因果估计量的工作[18, 80]。
BCF+CART：两阶段方法
BCF的关键创新[20]是定义了一个新颖的非线性回归模型，结合两个BART先验，并将倾向得分纳入结果建模。这一设计针对效应量小且观测协变量混杂强的设置，改善异质性暴露效应估计的正则化和可解释性。
BCF遵循S-learner规范[38]，即通过单个回归函数联合建模两个暴露组：Y_i | x_i, T_i = t_i ~ μ(x_i, π?(x_i)) + τ(x_i)·t_i + ε_i；其中μ(·)和τ(·)被分配独立的BART先验[78]，误差项ε_i遵循标准高斯分布。这里，π?(x_i)是倾向得分[81]π(x_i) = Pr(T_i = 1 | x_i)的估计。当结果模型使用S-learner指定时，纳入倾向得分有助于减弱混杂因素与暴露之间的相关性，促进观测协变量分布在暴露组间的平衡，并最终支持更稳健的因果推断[82, 83]。
在式4中，μ(·)捕获混杂因素的预后贡献，而τ(·)直接建模暴露效应作为协变量依赖的量，适应潜在的效应异质性。BART先验有助于检测协变量之间的复杂交互和局部不连续性，允许预测变量的单调变换不变性，并且通常需要最少的参数调整[20, 78]。具体而言，BART先验将未知函数表示为许多分段回归树的和。每棵树由一组内部决策节点（定义协变量空间的划分）和一组对应每个元素的终端节点/叶（每个关联一个参数值）组成。
虽然估计的τ?(x_i)提供单元级异质性，但随着混杂因素数量增加，解释变得困难。在此设置中，估计GATE（见式1）可以帮助识别特别脆弱或抵抗的亚组。随后，可以将分类和回归树（CART）[84]应用于估计的τ?(x_i)，以总结和解释BCF模型的结果，识别组内共享相似暴露效应而组间不同的单元组。具体而言，CART通过二元树结构按变量值的相似性将单元划分为非重叠组。树在深度d处分裂的先验概率等于αΔ(1+d)^-β，其中α控制分裂的基础倾向，β控制该比率随深度衰减的速度。给定树结构，分配给同一终端节点（叶）的观测定义具有相似协变量特征的聚类。
这种BCF+CART方法允许研究人员在个体暴露效应和异质性暴露效应水平捕获不确定性，尽管在组水平量化不确定性并不直接。该过程常被称为拟合拟合方法，由Hahn等人[20]的开创性BCF论文引入，并在近期贡献中得到进一步扩展[40, 72]。
CDBMM：通过混合的原生组发现
CDBMM利用混合模型的一个关键性质：基于潜在结果和混杂因素诱导单元的数据驱动划分的能力。具体而言，它对给定暴露水平的结果条件分布放置DDP先验[76, 77]，遵循T-learner规范[38]，即用两个函数分别建模每组：Y_i | x_i, t ~ ∑_l≥1 ω_l^(t)(x_i) N(η_l^(t), σ_l^2(t))，对所有t∈{0,1}。两种暴露水平的边际结果分布被建模为独立高斯混合，而混杂因素通过权重序列(ω_l^(·)(x_i))_l≥1进入。这些权重(i)控制单元间响应分布的异质性，(ii)诱导两个暴露特定边际分布之间的依赖性，这被利用来插补缺失的潜在结果，以及(iii)确定混合模型诱导的单元边际划分。具体而言，权重遵循probit stick-breaking过程[79]定义：ω_l^(t)(x_i) = V_l^(t)(x_i)∏_{r{1 - Vr^(t)(xi)}，Vl^(t)(xi) = Φ(αl^(t)(xi))，αl^(t)(xi) ~ N(β0l^(t) + xi^Tβl^(t), 1)，βl^(t) ~ iid N(0, 20)。其中序列(Vl^(t))l≥1是取值在[0,1]的独立随机过程，函数Φ(·)表示probit函数。高斯核中参数的先验定义如下：ηl^(t) ~ iid Norm(0,20)，σl^(t) ~ iid InvGamma(5,1)，其中超参数设置为HTEBayes包吉布斯采样算法中使用的默认值。η的超参数指定弱信息先验，表明平均因果效应以零为中心且分布相对分散。相比之下，σ的超参数选择使先验分布集中在零附近，从而先验地在每个聚类内诱导小变异性。当先验知识可用时，可以相应修改这些超参数。
T-learner分别估计处理组和对照组的结果模型，从而提供更大的灵活性来捕获复杂的结果曲面和异质性处理效应。相比之下，S-learner依赖包含处理指示符作为协变量的单个预测模型，通常产生更稳定的估计，特别是当处理效应较小时。因此，在样本量有限的设置中，S-learner可能更可取，而T-learner通常更适合于以显著处理效应异质性为特征的场景。
CDBMM允许直接估计组的划分空间以估计GATE（见式1）及其点估计。划分空间通过两个边际模型的聚类划分的笛卡尔积获得，其中点估计使用Wade和Ghahramani[85]提出的基于决策理论的解决方案，最小化使用Binder损失[86]或变异信息[87]的损失函数的后验期望。在CDBMM中，最终划分可以通过两个暴露特定混合模型诱导的聚类的笛卡尔积来解释。
此处需要澄清术语，因为BNP混合机制区分两个划分。与BNP文献一致，研究人员使用聚类（cluster）表示单个暴露水平t∈{0,1}内划分观测的集合，通过无限混合规范经由Wade和Ghahramani[85]的过程作为副产品获得。这些特定臂的聚类然后跨t组合形成组（groups）：计算不同GATE的最终划分。这种区分不仅仅是记号上的。聚类是模型内部中间、特定臂的装置；组是携带实质解释的效应相关对象。两个单元可能在t=1下落入同一聚类，但在t=0下落入不同聚类，正是这种组合——而非臂内聚类本身——定义了它们共享或不同的因果效应[21]。
模拟研究
为了评估这两种竞争方法在受控条件下的操作特征，研究人员进行了广泛的模拟研究。数据生成过程分别按照两篇论文[20, 21]中提出的模拟场景构建：场景1模拟异质性因果效应和非线性函数情况下的BCF构造，场景2是Zorzetto等人[21]中的场景5，其中真实聚类数已知且等于5。两个场景都对结果施加非线性数据生成过程，并设定一组同时影响暴露和结果的混杂变量。两种模型都在R软件环境中通过公开可用的算法实现直接估计。具体而言，使用GitHub上可用的bcf包估计BCF；使用rpart进行基于CART的分析；使用同样在GitHub上可用的HTEBayes包估计CDBMM。函数使用参数默认设置。特别是，rpart使用10折交叉验证，其中树通过在数据的9折上拟合来估计，其预测性能在剩余折上评估以选择最佳树大小。给定最终剪枝树，每个观测映射到一个叶/节点。
图1比较了方法在平均因果效应的偏差和均方根误差（RMSE）以及估计聚类数方面的表现，基于100次重复，样本量n=500。BCF+CART的灵活性在两种场景中都在偏差和RMSE方面带来强劲表现。然而，CART后处理倾向于在不同设置中选择相似数量的聚类，具有约八个聚类的主导众数，即使底层数据生成机制差异很大（从场景1的无聚类到场景2更清晰的五聚类结构）。相比之下，CDBMM显示对数据是否包含底层聚类结构的敏感性：它在场景1（无聚类）中表现不佳，但在场景2中实现良好的偏差和RMSE。此外，在场景2中，CDBMM诱导的划分集中在真实聚类数附近，而场景1中估计的较大聚类数表明缺乏明确定义的聚类划分。
MCMC的收敛诊断是贝叶斯模型估计中的一个重要方面，特别是对于BNP方法等复杂模型。由于DDP模型中参数数量高，以及基于树模型中每次迭代的树结构不同，通过检查因果效应（特别是ATE）的估计来评估收敛。图2报告了BCF和CDBMM在两种模拟场景前五次重复中ATE后验抽样的MCMC链。理想的MCMC收敛模式应显示链稳定在恒定水平，围绕稳定均值随机波动。几乎所有链都实现了这一点。场景1中CDBMM第三次重复的估计在迭代450附近显示均值的小幅移动，而相同设置的第五次重复在迭代650附近显示峰值。这表明当异质性因果效应特别复杂时，可能更倾向于运行CDBMM算法更多迭代并增加烧入期。
直接问责：评估特定干预
直接问责研究评估特定环境政策（如未达标指定、控制技术安装）是否导致可测量的健康改善。主要挑战在于将可归因于政策诱导的污染减少途径的健康效应与通过其他渠道运作的效应或来自异质性实施和合规性的效应分开。}